学年人教A版必修4 平面向量数量积的物理背景及其含义 优秀经典公开课比赛教案.docx

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学年人教A版必修4平面向量数量积的物理背景及其含义优秀经典公开课比赛教案

教学设计

2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

教学设计

（一）

作者：

林文财，泉州市泉港五中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖

教学内容分析

本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程．

学生学习情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法．在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律，对于运算律不一定给全或给对，对运算律的证明可能会存在一定的困难，教学中教师要注意引导学生分析判断．

设计思想

遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系．

教学目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义．

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算．

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力．

教学重点和难点

重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用．

活动一：

创设问题情境，引出新课

1．提出问题1：

请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？

这些运算的结果是什么？

答：

向量的加法、减法及数乘运算．这些运算的结果是向量．

2．提出问题2：

请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？

我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

答：

物理模型→概念→性质→运算律→应用．

3．新课引入：

本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算．导入课题：

平面向量数量积的物理背景及其含义．

设计意图

1．明白新旧知识的联系性．

2．明确研究向量的数量积这种运算的途径．

活动二：

探究数量积的概念

1．给出有关材料并提出问题3：

（1）如图1所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：

W＝|F||s|cosθ.

图1

2）这个公式有什么特点？

请完成下列填空：

①W（功）是________量，②F（力）是________量，

③s（位移）是________量，④θ是________．

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？

答：

功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积．

（4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？

答：

两个向量的大小及其夹角余弦的乘积．

2．明晰数量积的定义

（1）数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝︱a︱︱b︱cosθ.

（2）定义说明

①记法“a·b”中间的“·”不可以省略，也不可以用“×”代替．

②“规定”：

零向量与任何向量的数量积为零．

设计意图

1．认识向量的数量积的实际背景．

2．使学生在形式上认识数量积的定义．

3．从数学和物理两个角度创设问题情境，使学生明白为什么研究这种运算，从而产生强烈的求知欲望．

3．提出问题4：

向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？

影响数量积大小的因素有哪些？

答：

线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关．

4．学生讨论，并完成下表：

θ的范围

0°≤θ<90°

θ＝90°

90°<θ≤180°

a·b的符号

设计意图

引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义．

5．研究数量积的几何意义

（1）给出向量投影的概念：

如图2，我们把|b|cosθ（|a|cosθ）叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影，记作：

OB1＝|b|cosθ.

图2

（2）提出问题5：

数量积的几何意义是什么？

答：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

设计意图

这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识．

6．研究数量积的物理意义

（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：

功是力与位移的数量积．

（2）尝试练习：

一物体质量是10千克，分别做以下运动：

①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上的位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米．分别求重力做功的大小．

设计意图

通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为数量积的性质埋下伏笔．

活动三：

探究数量积的运算性质

1．提出问题6：

（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？

（2）比较︱a·b︱与︱a||b︱的大小，你有什么结论？

2．请证明上述结论．

3．明晰数量积的性质

设a和b都是非零向量，则

（1）a⊥b⇔a·b＝0；

（2）当a与b同向时，|a·b|＝|a||b|；

当a与b反向时，|a·b|＝－|a||b|，特别地a·a＝|a|2或|a|＝

；

（3）|a·b|≤|a||b|.

设计意图

将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识．

活动四：

探究数量积的运算律

1．提出问题7：

我们学过了实数乘法的哪些运算律？

这些运算律对向量是否也适用？

答：

（1）交换律：

ab＝ba；

（2）结合律：

（ab）c＝a（bc）；

（3）分配律：

（a＋b）c＝ac＋bc.

猜想：

①a·b＝b·a；②（a·b）c＝a（b·c）；

③（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

2．分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的．

关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：

猜测②的左右两边的结果各是什么？

它们一定相等吗？

答：

左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的．

设计意图

要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律，通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性．

3．明晰：

数量积的运算律：

已知向量a、b、c和实数λ，则：

（1）a·b＝b·a；

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

4．学生活动：

证明运算律

（2）

在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：

当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向的关系如何？

此时，向量λa与b及a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗？

5．师生活动：

证明运算律（3）

设计意图

学会利用定义证明运算律

（1）

（2），运算律（3）的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成．

活动五：

应用与提高

1．学生独立完成：

已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，求a·b.

设计意图

通过计算巩固对定义的理解．

2．师生共同完成：

已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求（a＋2b）·（a－3b），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？

3．学生独立完成：

对任意向量a，b是否有以下结论：

（1）（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，

（2）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2.

设计意图

让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与实数运算的异同．

4．师生共同完成：

已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？

并讨论：

通过本题，你有什么体会？

设计意图

学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程来求解，体现向量的工具性．

5．反馈练习

（1）判断下列各题正确与否：

①若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0.

②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c.

（2）已知△ABC中，

＝a，

＝b，当a·b<0或a·b＝0时，试判断△ABC的形状．

设计意图

1．加强学生的练习．

2．通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握．

活动六：

小结

1．本节课我们学习的主要内容是什么？

2．平面向量的数量积有哪些应用？

3．我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？

在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4．类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

设计意图

通过学生讨论总结，加强了学生对概念、法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义．

活动七：

布置作业

1．课本习题2.4A组1、2、3.

2．拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．（本题供学有余力的同学选做）

设计意图

通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的．

教学反思

本节课从总体上说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情境来引入数量积概念，能激发学生的学习兴趣．通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数量积的几何意义提前，有助于学生更好地理解数量积的结果是数量而不是向量．数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，这两方面的内容按照创设一定的情境，让学生自己去探究、去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明．这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则学习研究的重要性，例题和练习的选择都是围绕数量积的概念和运算律展开的，这能使学生更好地掌握概念法则．

教学设计

（二）

作者：

苏元东，福建龙岩二中教师，本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖

教学内容分析

以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律．

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（A版）第二章、第4节第1课时．它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具．

本节的知识结构：

学生学习情况分析

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用．但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然．通过情境创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容．利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆．利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点．由向量的线性运算迁移，引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望．

设计思想

《高中数学课程标准》指出：

“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求．《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标．为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题、研究问题，并解决问题．重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观．

教学目标

通过师生互动、学生的自主探究：

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系；（4）通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想；通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯．

教材重点和难点

重点是平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用．

难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用．

情境1

问题回忆物理中“功”的计算，它的大小与哪些量有关？

结合向量的学习你有什么想法？

若一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功W等于多少？

图3

设计意图

以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念作铺垫．

师生互动

生：

W＝|F||s|cosθ（其中θ是F和s的夹角）．

师：

功是一个矢量还是标量？

它的大小由哪些量来确定？

显然功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．从中我们得到一个启发：

能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果呢？

从而得出平面向量的“数量积”的概念．

情境2

1．定义向量数量积．弄清定义中涉及哪些量？

它们有怎样的关系？

运算结果是向量还是数量？

2．如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？

设计意图

使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，并掌握相关的性质及几何意义．同时加深对投影的认识．

师生互动

1．仿照物理问题建构“数学模型”，引入“向量数量积”的概念：

已知两个非零向量a与b，把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作：

a·b，即a·b＝|a||b|cosθ（其中θ是a与b的夹角）．|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．

图4

2．规定：

零向量与任何向量的数量积为0.

3．

（1）数量积运算结果的符号取决于a与b的夹角θ（θ∈[0，π]）的大小；

（2）两个向量的数量积是一个数量，它与两个向量的长度及其夹角有关；（3）符号a·b不能写成ab或a×b的形式；（4）找向量的夹角时，应将两向量的起点平移到同一个点上．

4．探究其性质：

（1）a⊥b⇔a·b＝0（a与b都是非零向量）；

设置情境：

若a·b＝0，则向量a与b至少有一个是零向量．类比a，b∈R时，若ab＝0⇔a＝0或b＝0.而且此性质在解决有关线段垂直问题时具有很好的作用．

（2）当向量a与b共线同向时，a·b＝|a||b|；当向量a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.特别地a·a＝a2＝|a|2或|a|＝

＝

（与二次根式性质：

＝|a|进行类比）．这是求向量长度的又一重要方法．

情境3

由学生自主学习来完成书本例题1.

设计意图

通过计算巩固对数量积定义的理解，进一步引导学生对|a·b|和|a||b|的大小关系进行一般的研究比较．

师生互动

从例1容易得出性质|a·b|≤|a||b|和数量积的几何意义．

情境4

给学生2～3分钟时间，阅读教材，并对前面所学的内容及研究方法作一个归纳小结．

设计意图

培养学生的阅读能力和及时进行归纳小结的学习习惯．把课堂还给学生，体现师生间的合作探究，不管是老师还是课件，都是为学生服务的，都在同步配合学生的学习和探索．

师生互动

学生通过自主阅读、总结并发表自己的看法，老师可以有针对性的进行学习方法点拨，并指出对学习过程进行及时反思的重要性．

情境5

运算律和运算是紧密相联的，类比实数运算中的运算律，探究平面向量数量积的运算律．

设计意图

通过类比、探究使学生得出数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和研究问题的能力．

师生互动

1．回顾实数运算中有关乘法的运算律．类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究．

已知向量a、b、c和实数λ，则

（1）a·b＝b·a；

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；

（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c.

2．对向量数量积的运算律进一步研究．

（1）a（b·c）＝（a·b）c成立吗？

显然，等式左边与向量a共线，右边与向量c共线，而向量a与c不一定共线，因此结论不一定成立；

（2）由a·b＝b·c能否推出a＝c？

（反例：

当a＝0，b⊥c时，有a·b＝b·c＝0.但不能得到c＝0）．结合实数a，b，c（b≠0），有ab＝bc⇒a＝c进行类比，辨析．

3．老师可以通过学生的讨论进行纠错，理解不同的运算具有不同的运算律，体会到数学的法则与法则之间的区别与联系．同时注意利用学生的错误这一重要资源，让学生更容易找到易错点和易混点，从而更清晰、准确地掌握知识．

情境6

例2、例3、例4的教学．

设计意图

1．要求学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异曲同工．

2．学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律带来的优越性．

3．上面几个例题，层层递进，都是把较难的问题转化为已经解决的较易的标准问题，体现了知识和方法上的转化．

师生互动

1．老师可以将例题内容与多项式乘法运算进行类比．

2．让学生自己体会用数量积将“几何问题”化归为方程问题来求解的简练，进一步体现向量的工具作用．

情境7

课后反思：

让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法．

设计意图

让学生整理相关的学习内容，使得“知识系统性、技能熟练性”得到更加充分的体现，体会所学知识的引入基础及探究、解决问题时用到的数学思想和数学方法，培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力．

教学反思

本节课教学效果不错，主要是把学习的主动权交还给学生，注意学生的主动探索、思考及师生互动，还以物理知识为背景，建立了数学的平面向量数量积的概念和运算．使得学习内容直观、生动，抓住重点．使学生懂得对已有的知识进行迁移、采用类比的方法让学生主动学习合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力．在课堂中会体现自我，学会自己寻找解题的突破口，在探究中学会思考，在合作中学会推进，在观察中学会比较，进而推进整个教学程序的展开．但自我感觉“讲”的还是偏多了一点，对于学生解题中出现的错误这一资源展开、分析得不够，以后应该更加注意引导．