高中数学必修一至必修五知识点总结完整版.docx
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高中数学必修一至必修五知识点总结完整版
高中数学必修1知识点总结
第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义：
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：
1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性
说明：
（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：
{„}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合：
A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
2．集合的表示方法：
列举法与描述法。
非负整数集（即自然数集）记作：
N
正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于”属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：
a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作aA
列举法：
把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：
将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号含有有限个元素的集合
（2）．无限集含有无限个元素的集合
（3）．空集不含任何元素的集合例：
{x|x2=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
有两种可能
（1）A是B的一部分，；
（2）A与B是同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2．“相等”关系（5≥5，且5≤5，则5=5）
-1-
实例：
设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：
A=B
任何一个集合是它本身的子集。
AA
②真子集:
如果AB,且BA那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）
③如果AB,BC,那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
三、集合的运算
1．交集的定义：
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．
2、并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。
记作：
A∪B（读作”A并B”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．
3、交集与并集的性质：
A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
（1）补集：
设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
（2）全集：
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。
通常用U来表示。
四、函数的有关概念
1．函数的概念：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：
y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．注意：
如果只给出解析式y=f（x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
（1）分式的分母不等于零；
（2）偶次方根的被开方数
-2-
不小于零；（3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（6）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（又注意：
求出不等式组的解集即为函数的定义域。
）
构成函数的三要素：
定义域、对应关系和值域
注意：
（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：
①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）（见课本21页相关例2）
值域补充
（1）、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2）.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。
3.函数图象知识归纳
（1）定义：
在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（x∈A）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数y=f（x）,（x∈A）的图象．集合C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上.即记为C={P（x,y）|y=f（x）,x∈A},图象C一般的是一条光滑的连续曲线（或直线）,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。
（2）画法
A、描点法：
根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以（x,y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x,y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
（3）作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。
提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4．了解区间的概念
（1）区间的分类：
开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，
-3-
那么就称对应f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射。
记作“f：
A→B”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对于映射f：
A→B来说，则应满足：
（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2解析法：
必须注明函数的定义域；3图象法：
描点法作图要注意：
确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4列表法：
选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．解析法：
便于算出函数值。
列表法：
便于查出函数值。
图象法：
便于量出函数值.
补充一：
分段函数（参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。
分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．
（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；
（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
补充二：
复合函数
如果y=f（u）,（u∈M）,u=g（x）,（x∈A）,则y=f[g（x）]=F（x），（x∈A）称为f、g的复合函数。
例如:
y=2sinxy=2cos（2x+1）
7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a<b时，都有f（a）<f（b），那么就说f（x）在区间D上是增函数。
区间D称为y=f（x）的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区间D上的任意两个自变量的值a，b，当a<b时，都有f（a）＞f（b），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.
注意：
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D内的任意两个自变量a，b；当a<b时，总有f（a）<f（b）。
（2）图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
-4-
（A）定义法：
任取a，b∈D，且a<b；2作差f（a）－f（b）；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f（a）－f（b）的正负）；5下结论（指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）．
（B）图象法（从图象上看升降）_
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关
注意：
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？
8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f（x）的定义域
（2）、利
-5-
用图象求函数的最大（小）值（3）、利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）；如果函数y=f（x）在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
第二章基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：
一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号a表示．式子a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radicalexponent），a叫做被开方数（radicand）．
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号－a表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并成±a（a>0）．由此可得：
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00。
注意：
当n是奇数时，aa，当n是偶数时，a
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
mnn（a0）a|a|a（a0）
ana（a0,m,nN,n1），am*m
n1
m1anam（a0,m,nN,n1）*
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．
3．实数指数幂的运算性质
（1）ar·aa
rrrrs
（2）（a0,r,sR）；（a）arsrs（a0,r,sR）；（3）（a0,r,sR）．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：
一般地，函数yax（a0,且a1）叫做指数函数（exponentialfunction），其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：
指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
（ab）aas
-6-
（1）在[a，b]上，f（x）ax（a0且a1）值域是[f（a）,f（b）]或[f（b）,f（a）]；
（2）若x0，则f（x）1；f（x）取遍所有正数当且仅当xR；
（3）对于指数函数f（x）ax（a0且a1），总有f
（1）a；（4）当a1时，若x1x2，则f（x1）f（x2）；二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：
一般地，如果axN（a0,a1），那么数x叫做以．a为．底．N的对数，记作：
xlogaN（a—底数，N—真数，logaN—对数式）
1注意底数的限制a0，且a1；说明：
○
2axNlogaNx；○
3注意对数的书写格式．○
两个重要对数：
1常用对数：
以10为底的对数○
2自然对数：
以无理数e2.71828为底的对数的对数lnN．○
对数式与指数式的互化
x
logaNxaN
对数式
指数式
-7-
对数底数←a→幂底数对数←x→指数真数←N→幂
（二）对数的运算性质
如果a0，且a1，M0，N0，那么：
（1）loga（M·N）logaM＋logaN；
（2）log
（nR）．
M
a
N
log
a
M
－logaN；（3）logaM
n
nlog
a
M
注意：
换底公式logab
loglog
cc
ba
（a0，且a1；c0，且c1；b0）．
m
利用换底公式推导下面的结论
（1）log
a
b
n
nm
log
a
b
；
（2）logab
1log
b
a
．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：
函数ylogax（a0，且a1）叫做对数函数，其中
．x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）
1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
注意：
○
如：
y2log2x，ylog
x
5
5
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
2对数函数对底数的限制：
（a0，且a1）．
○
-8-
三、幂函数
1、幂函数定义：
一般地，形如yx（aR）的函数称为幂函数，其中为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,）上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；
（3）0时，幂函数的图象在区间（0,）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：
对于函数yf（x）（xD），把使f（x）0成立的实数x叫做函数yf（x）（xD）的零点。
2、函数零点的意义：
函数yf（x）的零点就是方程f（x）0实数根，亦即函数yf（x）的图象与x轴交点的横坐标。
即：
方程f（x）0有实数根函数yf（x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点．
3、函数零点的求法：
求函数yf（x）的零点：
1（代数法）求方程f（x）0的实数根；○
2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf（x）的○
图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数yax2bxc（a0）．
１）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．
２）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．
-9-
高中数学必修二知识点
一、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当时，；当时，；当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点斜式：
直线斜率k，且过点
注意：
当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：
（）直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：
（A，B不全为0）
注意：
各式的适用范围特殊的方程如：
平行于x轴的直线：
（b为常数）；平行于y轴的直线：
（a为常数）；
（5）直线系方程：
即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：
（C为常数）
（二）垂直直线系
垂直于已知直线（是不全为0的常数）的直线系：
（C为常数）
-10-
（三）过定点的直线系
（ⅰ）斜率为k的直线系：
，直线过定点；
（ⅱ）过两条直线，的交点的直线系方程为
（为参数），其中直线不在直线系中。
（6）两直线平行与垂直
当，时，
；
注意：
利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（7）两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解；方程组有无数解与重合
（8）两点间距离公式：
设是平面直角坐标系中的两个点，
则
（9）点到直线距离公式：
一点到直线的距离
（10）两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆的方程
1、圆的定义：
平面当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：
如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
-11-
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】
（3）过圆上一点的切线方程：
圆（x-a）2+（y-b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2
4、圆与圆的位置关系：
通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当时两圆外离，此时有公切线四条；
当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，当时，为同心圆。
注意：
已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
几何特征：
两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
几何特征：
侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
几何特征：
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成
几何特征：
①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
-12-
（5）圆锥：
定义：
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：
①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：
以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成
几何特征：
①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：
以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：
①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：
正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注：
正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：
①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线）
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
（4）球体的表面积和体积公式：
V=；S=
4、空间点、直线、平面的位置关系
公理1：
如果一条直线的两点在一个平面应用：
判断直线是否在平面内
用符号语言表示公理1：
公理2：
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
-13-
符号：
平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。
符号语言：
公理2的作用：
①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：
交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
公理3：
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：
一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理3及其推论作用：
①它是空间②它是证明平面重合的依据公理4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行
空间直线与直线之间的位置关系
①异面直线定义：
不同在任何一个平面B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
（7）等角定理：
如果一个角的两边和另一
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