人大附中高三数学练习三.docx

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人大附中高三数学练习三

数学练习三

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知

A．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i

2．原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，则直角坐标为的点的极坐标是

A．B．C．D．

3．在中，“”是“”的

A．充要条件B．必要非充分条件

C．充分非必要条件D．既非充分又非必要条件

4．若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为

A．0B．C．D．

5．已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为

A．　　B．　　C．　　D．

6．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为3时，输出的结果恰好是，则？

处的关系式是

A．B．

C．D．

7．如果直线y=kx+1与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称，则不等式组表示的平面区域的面积是

A．1B．2C．D．

8．在边长为1的正方体中，分别为的中点，点从出发，沿折线匀速运动，点从出发，沿折线匀速运动，且点与点运动的速度相等，记四点为顶点的三棱锥的体积为，点运动的路程为，在时，

与的图像应为

AB

CD

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．代数式的展开式中的系数为．

10．样本容量为200的频率分布直方图如右图所示，根据样本频率分布直方图估计,样本数据落在内的频数为，数据落在内的概率约为.

11．已知分别是△的三个内角,,所对的边，若=2,=,，则=．

12．如图，CE为圆O的直径，PE为圆O的切线，E为切点，PBA为圆O的割线，交CE于D点，CD=2，AD=3，BD=4，则圆O的半径为；PB=.

13．已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与轴相交于点，若△（为坐标原点）的面积为，则抛物线方程为；

14．如果对于函数定义域内任意的两个自变量的值，当时,都有，且存在两个不相等的自变量值,使得,就称为定义域上的不严格的增函数。

则①②

③④

四个函数中为不严格增函数的是，

若已知函数的定义域、值域分别为、，,,且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的有个．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题共13分）

设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ），在线段上找一点，使得二面角的余弦值为，求的长．

17．（本小题满分13分）

某射击游戏规定：

每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为，求随机变量的分布列及数学期望．

18．（本小题满分13分）

函数．

（Ⅰ）试求的单调区间；

（Ⅱ）求证：

不等式对于恒成立.

19．（本小题共14分）

已知椭圆的离心率为，原点到过两点的直线的距离是，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值．

20．（本小题共13分）

设为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，是集合元素的个数，而是集合元素的个数（），规定，例如：

对于排列3，1，2，

（Ⅰ）对于排列4，2，5，1，3，求

（Ⅱ）对于项数为2n-1的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列

（Ⅲ）证明

答案

一．CBABCDDC

二．9．0；10．64，0.4；11．；12．4，20；13．或；14．①③，10．

15．（本小题共13分）

设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

解：

（Ⅰ）………3分

．………6分

故的最大值为；

最小正周期．………8分

（Ⅱ）由得，故．

又由得，故，解得．………12分

从而．………13分

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点，

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

平面平面；

（Ⅲ），在线段上找一点，使得二面角的余弦值为，求的长．

（1）设,连接，易知是的中点，

∵是中点．∴在△中，∥，………2分

∵平面，平面，

∴∥平面．…………4分

（2）平面平面,,

平面平面平面,又平面,

又，,平面,……6分

在中，为的中点，

平面，

又平面，

平面平面．………8分

（3）如图建立坐标系，设AE=1，则B（2，0，0），D（0，1，2），C（2,0,2），F（1,0,1），设P（0，a，0），，，

设⊥面BDF，且，则

由⊥得

由⊥得

令得，从而………10分

设⊥面BDP，且，则

由⊥得

由⊥得

令得，从而

，解得或（舍）

即P在E处………14分

17．（本小题满分12分）

某射击游戏规定：

每位选手最多射击3次；射击过程中若击中目标,方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第次射击时击中目标得分，否则该次射击得分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为，且其各次射击结果互不影响．

（Ⅰ）求甲恰好射击两次的概率；

（Ⅱ）设该选手甲停止射击时的得分总和为，求随机变量的分布列及数学期望．

解：

（Ⅰ）设选手甲第次击中目标的事件为，

则

依题可知：

与相互独立

所求为：

……6分

（Ⅱ）可能取的值为0，3，5，6．　……6分

分布列为：

0

3

5

6

0．2

0．16

0．128

0．512

………10分

．……12分

18．（本小题满分14分）

函数．

（Ⅰ）试求的单调区间；

（Ⅱ）求证：

不等式对于恒成立.

解：

（1）

当时，只有单调增区间为

当时，在上为减函数，在上为增函数；………6分

（2）由于，有，变形不等式为

因此只需证在恒成立………8分

作函数（），则

在

（1）中取，有，由

（1）知在（1,2）上为增函数，

从而有，说明在（1,2）上单调增

于是，即

所以。

………14分

19．（本小题共14分）

已知椭圆的离心率为，原点到过两点的直线的距离是，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线交椭圆于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值．

解：

（Ⅰ）方法1：

由已知得直线的方程为：

，

即，

根据点到直线的距离公式得：

即：

①

又②

③

由①②③联立得：

∴椭圆的方程为：

．………5分

方法2：

∵是直角三角形，为斜边，

故，

即，

以下同解法1．

（Ⅱ）设，的中点为，

由得：

④

则，

=

=．………10分

∴

∴

而又在以为圆心的圆上，故

，

∴，

即

解得：

，经检验满足④，

∴的值为．………14分

20．（本小题共13分）

设为1，2，…，n按任意顺序做成的一个排列，是集合元素的个数，而是集合元素的个数（），规定，例如：

对于排列3，1，2，

（1）对于排列4，2，5，1，3，求

（2）对于项数为2n-1的一个排列，若要求2n-1为该排列的中间项，试求的最大值，并写出相应得一个排列

（3）证明

解：

（1）由题意可知，是指排列中第K项后小于（该项）的个数。

是指排列中第K项前大于（该项）的个数。

所以对于排列4，2，5，1，3，，=6。

………3分

（2）此排列为

所以的最大值为。

………8分

（3）证明考虑集合的元素个数。

一方面，固定先对求和，然后再对求和，得；另一方面，固定先对求和，然后再对求和，又得到，所以得。

………13分