初中1年级数学练习题第3单元.docx
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初中1年级数学练习题第3单元
初中1年级数学练习题第3单元
测试时间：
15分钟姓名_________测试成绩_________
1、求下图中阴影部分的面积：
【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
所以阴影面积：
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
2、从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_________平方厘米.（【解】最大正方体的边长为6，这样剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为（8×7+8×6+7×6）×2-6×6×2=220.
3、有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（见左下图）.这60个小长方体的表面积总和是______平方米.
【解】原正方体表面积：
1×1×6＝6（平方米），一共切了2＋3＋4＝9（次），
每切一次增加2个面：
2平方米。
所以表面积：
6＋2×9＝24（平方米）．
4、右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_______厘米.（
＝3.14）
【解】可见大圆的半径是小圆的3倍，所以半径为3，那么阴影部分的周长就等于7的小圆的周长加上1个大圆的周长，即7×
×2+
×6=20
。
5、有四个半径为3厘米的圆如图摆放，求阴影的面积。
【解】如图，连接四个圆心，那么有阴影部分面积为正方形面积减去4个
圆的面积。
则阴影部分面积为（3×2）2－4×
×32×π＝9×（4－3.14）＝7.74平方厘米。
6、一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？
【解】：
共有10×10×10＝1000个小正方体，其中没有涂色的为（10－2）×（10－2）×（10－2）＝512个，所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000－512＝488个。
第三讲小升初专项训练几何二：
圆和立体
引言：
立体图形是近两年来小生初的考察新热点，由于立体图形考察学生的空间想象能力，更反映学生的本身潜能，所以越来越受到学校的欢迎；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。
【典型题目解析】：
一、圆与扇形
【例1】．（★★★）在图中，一个圆的圆心是O，半径r＝9厘米，∠1＝∠2＝15º。
那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
（π取3.14.）
[方法一]：
[思路]：
要求扇形面积，只有知道圆心角的度数，所以我们退求圆心角。
解：
各角标号后见下图，因为OA=OB=OC=半径，∠1＝∠2＝15º，所以∠3＝∠1＝∠2＝∠4＝15º
∠1+∠3＝15º+15º=30º，∠5＝∠6＝180º-30º=150°，所以∠7＝360º-150°×2=60°
所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
[总结]：
基础知识一定要牢记，象这种题就是考察学生的基础知识能力。
[方法二]：
运用定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
解：
圆周角定义：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．这样的话，我们很快发现∠7＝2×（∠1+∠2）＝2×（15º+15º）=60°，所以面积=（60/360）×π×9×9=42.39
[总结]：
这种结论的运用对解题速度的提高有很大的提升，所以见过以后尽量学会运用！
【例2】、（★★★★）如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1。
求阴影部分的面积。
[方法]：
面积的加减
[思路]：
由于直接求阴影面积太麻烦,所以我们考虑用增加面积的方法来构造新图形.
解:
由图可见,阴影面积等于1/6大圆面积减去一个小圆面积,再加上120°的小扇形面积
所以面积=
×5÷6
【例3】（★★★）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。
问：
这只羊能够活动的范围有多大？
【解】：
（此题十分经典）如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，
所以羊活动的范围是
二、立体几何
小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。
见下图。
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
【例4】.（★★）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
[思路]：
整体看待面积问题。
解：
不管叠多高，上下两面的表面积总是3×3；再看上下左右四个面，都是2×3+1，
所以，总计9×2+7×4=18+28=46。
[方法二]：
[思路]：
所有正方体表面积减去粘合的表面积
解：
从图中我们可以发现，总共有14个正方体，这样我们知道总共的表面积是：
6×14=64，但总共粘合了18个面，这样就减少了18×1=18，所以剩下的表面积是64-18=46。
[方法三]：
直接数数。
[思路]：
通过图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1，这样总共的表面积就是46。
【例5】．（★★）如图是一个边长为2厘米的正方体。
在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。
那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
[思路]：
立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去是都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方形的下底面正好和剩下的面积等于原来的面积，这样就只增加了3个小正方体的各自侧面。
解：
原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，增加的面积1×4+（
×
）×4+（
×
）×4，所以总共面积为24+1×4+（
×
）×4+（
×
）×4=29
[方法二]：
[思路]：
原正方体的表面积是2×2×6=24平方厘米，在顶部挖掉一个边长为1厘米的正方体小洞后，原大正方体的顶部表面被去掉了一个1×1的小正方形，但是内部增加了5个1×1的面，所以总共增加了4个1×1的面，即正方形小洞的4个侧面-同样，再往下挖掉一个边长为
的正方体后，大正方体的表面积又增加4个
×
的小正方形的面积.最后挖掉一个边长为
厘米的正方体后，大正方体的表面积又增加了4个
×
的小正方体的面积.所以最终大正方体的表面积=24+1×4+（
×
）×4+（
×
）×4=29
[总结]：
立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以看成相连的，这就要求学生必须学会如何看待面积的变化。
【例6】．（★★）如图是一个边长为4厘米的正方体，分别从前后、左右、上下各面的中心处向内挖去一个边长1厘米的正方体，做成一种玩具。
它的表面积是多少平方厘米？
[方法一]：
4-1×2=2厘米，说明挖去小正方体后，大正方体的中心还是实心的。
每挖去一个小正方体表面积增加1×1×4=4平方厘米。
共挖去6个小正方体，表面积共增加4×6=24平方厘米。
解答：
原来表面积=4×4×6=96平方厘米，新增表面积=1×1×4×6=24平方厘米，现在表面积=96+24=120平方厘米。
[拓展]：
如果上题中挖去的是边长为1的正方形，但高是1.5呢？
求产生新图形的表面积？
【例7】（★★★）现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。
下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。
例：
【解】：
立体图形的形状如下图所示。
（此题十分经典）
从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2；
从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；
从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2；
隐藏着的面积有2cm2。
一共有18＋16＋12＋2＝48（cm2）。
【例8】．（★★）有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？
[方法一]：
[思路]：
等积变化问题，抓住体积不变。
解答：
将石子看成水，那么就相当于大小两桶水分别倒入空的中、小池，中池水面高6厘米，小池水面高4厘米，由此得出中水池中石子的体积相当于3×3×0.06，同理小池中的石子的体积相当于2×2×0.04，这样把这么多的水都倒入大水池中，这样升高了：
（3×3×0.06+2×2×0.04）÷（6×6）=7/360米=35/18厘米。
[方法二]：
[思路]：
解：
将体积相等的碎石放入不同的水池中，水面升高的高度比是水池底面积比的反比。
大正方形水池的底面积是6×6=36平方米。
中正方形水池的底面积是3×3=9平方米。
小正方形水池的底面积是2×2=4平方米。
大、中正方形水池的底面积比是36：
9=4：
1。
将放入中水池，使中水池的水面升高6厘米的碎石放入大水池中。
则大水池水面升高6×1/4=6/4厘米=3/2厘米。
大、小正方形水池的底面积比是36：
4=9：
1。
将放入小水池，使小水池的水面升高4厘米的碎石放入大水池中。
则大水池水面升高4×1/9=4/9厘米。
3/2+4/9=35/18厘米。
将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了35/18厘米。
[总结]：
等积变化是很重要的知识点，要求学生必须学会运用。
【例9】．（★★★）今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体。
现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体。
问剩下的体积是多少立方厘米？
[思路]：
切下的体积要最大，我们就看能切下的最大边长是多少。
因为21>15>12，所以第一块切下的是12×12×12；把剩余部分看成12×15×（21-12）的长方体，15>12>（21-12）,所以第二块切下的是9×9×9；同理，第三块切下的是6×6×6。
解答：
原来体积=21×15×12=3780立方厘米，切下的第一块体积=12×12×12=1728立方厘米，切下的第二块体积=9×9×9=729立方厘米，切下的第三块体积=6×6×6=216立方厘米，
剩下的体积=3780-1728-729-216=1107立方厘米。
[总结]：
题目的思路与平面问题中长方形中切最大的正方形的思路相同，可以联系看待。
【例10】．（★★★）某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图6-9所示在三个方向上加固。
所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米。
若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，由这个长方体包装箱的体积是多少立方米？
[方法一]：
[思路]：
如果将三条尼龙绳长各减去5厘米，则它们的长度分别等于长方体长加宽的2倍、长加高的2倍和高加宽的2倍，由此即可算出长方体邮件包装箱的长、宽、高.
解：
去掉接头处重叠的5厘米，三条尼龙条分别长360、400和480厘米.将它们都除以2，则得到的180、200和240厘米，分别是立方体长加宽、长加高和宽加高的长度.那么180+200+240=620厘米则是2倍的长加高加宽的长度.因此该立方体长+高+宽=310厘米.那么310—180、310—200和310—240就分别是立方体的高，宽和长，即130厘米、110厘米和70厘米.
从而该立方体的体积为1.3×1.1×0.7=1.001立方米.
[方法二]：
[思路]：
设方程
解答：
设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则：
2（x+y）=365-5，2（y+z）=405-5，2（z+x）=485-5，
x+y+z=310厘米,x=110厘米=1.1米，y=70厘米=0.7米，z=130厘米=1.3米，
所以，长方体的体积=1.3×1.1×0.7=1.001立方米。
【例11】、（★★★★）用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方形体，如下图；大正方体内的对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体都是红色玻璃小正方体，其他部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：
无色透明小正方体用了多少个？
[思路]：
因为对角线穿过的都是红色小正方体，所以我们从红正方体入手，找出红色的用了多少个，这样我们通过总共的减去红色的就是无色小正方体的个数。
解：
对角线AC1，BD1，CA1，DB1所穿的小正方体中除了正中央的那个小正方体，每条对角线都没穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过的小正方形个数：
（401-1）÷4+1=101
这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成，因此大正方体由101×101×101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有101×101×101-401=1029900。
【例12】（★★★★）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？
由两个小正方体组成的长方体有多少个？
【解】：
正方体只可能有两种：
由1个小正方体构成的正方体，有22个；
由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个。
所以共有正方体22＋4=26（个）。
由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13＋13＋14=40（个）。
【例13】（★★★★）左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。
请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。
【解】：
把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。
（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
顶点：
A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。
边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。
需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。
连好线的图形如右上图
【例14】（★★★）有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：
2：
3。
如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？
【解】：
设甲的棱长是1，则乙的棱长是2，丙的棱长是3。
一个甲种木块的体积是1×1×1=1；一个乙种木块的体积是2×2×2=8；一个丙种木块的体积是3×3×3=27。
3+2=5。
则这三种木块拼成的最小正方体的棱长是5。
体积是5×5×5=125。
需要丙种木块1块，乙种木块1+1×2+2×2=7块。
丙种木块的体积是27，乙种木块的体积是8×7=56。
125-27-56=42。
需要甲种木块42/1=42块。
1+7+42=50块。
【课外知识】
剪正方体
此题旨在培养同学们的空间想象力和动手能力
将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）。
图1正方体
（1）
（2） （3） （4）
图2正方体的平面展开图
其中的图2的
（1），
（2）都是“带状图”，好像是一条完整的削下来的苹果皮。
仔细观察
（1），
（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外。
再观察图（3）和图（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（图（3）有3条，图（4）有4条）与周围的正方形“共用”。
所以图（3）和图（4）都不是“带状图”。
问题1：
运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体。
问题2：
除了图
（1）和图
（2）以外还有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？
答案：
小升初专项模拟测试题---几何
（二）
1、（★★★）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积。
解：
阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，然后二倍就是要求的阴影面积了.由已知若分别连结AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，即∠AO2B＝120°。
这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形面积，三角形AO2B的面积就是二分之一底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半。
2、（★★）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？
解：
原立方体的表面积=5×5×6=150.减少的表面积是两块3×2长方形
3、（★★）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？
解：
没打洞之前正方体表面积共6×3×3=54，打洞后，表面积减少6又增加6×4（洞的表面积）.即所得形体的表面积是54-6＋24=72.
4、（★★★）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？
解：
如图，可有如下三种情况比较后可知：
焊上
（1）30×10×5=1500立方厘米
（2）35×10×5=1750立方厘米
（3）20×20×5=2000立方厘米
最后一个容积最大。
5、（★★★）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。
解：
412平方厘米
所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积正六边
可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC＝120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC＝120°，这样就得求出扇形的面积。
＝1040—628＝4１2（平方厘米）
6、右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？
答案:
48平方厘米
7、如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
答案:
100平方米
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