全国各地中考数学解析汇编第三十二章 与圆有关的计算.docx
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全国各地中考数学解析汇编第三十二章与圆有关的计算
(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)第三十二章与圆有关的计算
32.1弧长和扇形面积
18.(2012山东泰安,18,3分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若=120°,OC=3,则的长为()
A.B.2D.3D.5
【解析】连接OB,因为AB是⊙O的切线,所以OB⊥AB,∠ABO=90°,因为=120°,所以=30°.因为OB=OC,所以∠C=∠B=30°,∠BOC=120°,所以的长l=.
【答案】B.
【点评】圆的切线垂直于过切点的半径,连过切点的半径是圆中常作的辅助线之一;熟记弧长公式的求弧长的基础,设法求出弧所对圆心角的度数是关键(已知半径和条件下)。
14.(2011山东省聊城,14,3分)在半径为6cm的圆中,60º圆心角所对的弧长为cm.
(结果保留π)
解析:
根据弧长公式.
答案:
点评:
注意弧长公式与扇形公式区别联系.
14.(2012重庆,14,4分)一个扇形的圆心角为120°,半径为3,则这个扇形的面积为___________(结果保留π)
解析:
根据扇形的面积公式即可求出。
答案:
3π
点评:
注意单位要统一,如果题目中没单位,答案也不带单位。
12.(2012山东德州中考,12,4,)如图,“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心,以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1,则凸轮的周长等于_________.
12.【解析】每段弧的长为==,故三段弧总长为π.
【答案】π
【点评】此题主要考查圆的弧长公式.此题还可以用转换法,实际三个弧之和相等于一个半圆.
8.(2012四川内江,8,3分)如图2,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则阴影部分图形的面积为
A.4πB.2πC.πD.
【解析】如下图所示,取AB与CD的交点为E,由垂径定理知CE=,而∠COB=2∠CDB=60°,所以OC==2,OE=OC=1,接下来发现OE=BE,可证△OCE≌△BED,所以S阴影=S扇形COB=π·22=.
【答案】D
【点评】圆的有关性质是中考高频考点,而图形面积也是多数地方必考之处,将它们结合可谓珠联璧合.解答此题需在多处转化:
一是将阴影面积转化为扇形面积问题解决;二是由圆周角度数求出圆心角度数;三是发现图中存在的全等三角形,这一点是解题关键.
23.(2012贵州贵阳,23,10分)如图,在⊙O中,直径AB=2,CA切⊙O于A,BC交⊙O于D,若∠C=45°,则
(1)BD的长是;(5分)
(2)求阴影部分的面积.(5分)
解析:
(1)由CA切⊙O于A,得∠A=90°,再结合∠C=45°,得∠B=45°.连接AD,则由直径AB=2,得∠ADB=90°.故BD=AB×cos45°=2×cos45°=;
(2)运用代换得到阴影部分的面积等于△ACD的面积.
解:
(1)填;
(2)由
(1)得,AD=BD.
∴弓形BD的面积=弓形AD的面积,故阴影部分的面积=△ACD的面积.
∵CD=AD=BD=,∴S△ACD=CD×AD=××=1,即阴影部分的面积是1.
点评:
本题主要考查了圆的性质,切线的性质,等腰直角三角形的性质以及割补法,解法较多,有利于考生从自己的角度获取解题方法,中等偏下难度.
13.(2012山东省临沂市,13,3分)如图,AB是⊙O的直径,点E是BC的中点,AB=4,∠BED=1200,则图中阴影部分的面积之和为()
A.1B.C.D.
【解析】由图得,四边形ABED是圆内接四边形,∴∠B=∠D=∠DEC=600,∴弓形BE的面积等于弓形DE的面积,又∵AB是⊙O的直径,点E是BC的中点,AB=4,∠BED=1200,∴BE=ED=AD=2,BC=4,阴影部分面积=S△CDE,又△CDE∽△ABC,∴S△ABC=,S△CDE=S△ABC=
【答案】选C。
【点评】阴影部分的面积可以看作是△ABC的面积减去四边形ABED的面积或阴影部分的面积就是△CDE的面积.求不规则的图形的面积,可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求.
20.(2012浙江省义乌市,20,8分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,
点E在⊙O外,∠EAC=∠D=60°.
(1)求∠ABC的度数;
(2)求证:
AE是⊙O的切线;
(3)当BC=4时,求劣弧AC的长.
【解析】
(1)根据相等的弧长对应的圆周角相等,得∠ABC=∠D=60°。
(2)直径对应的圆周角为直角,则由三角形内角和为180°,得出∠BAC的大小,继而得出∠BAE的大小为90°,即AE是⊙O的切线。
(3)由题意易知,△OBC是等边三角形,则由劣弧AC对应的圆心角可求出劣弧AC的长。
20.解:
(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角
∴∠ABC=∠D=60°…………2分
(2)∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°……………………………………3分
∴∠BAC=30°
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°…………………4分
即BA⊥AE
∴AE是⊙O的切线…………………………………………………………5分
(3)如图,连结OC
∵OB=OC,∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形
∴OB=BC=4,∠BOC=60°
∴∠AOC=120°…………………7分
∴劣弧AC的长为…………………………………………8分
【点评】此题考查圆弧的长与其对应的圆心角、圆周角的关系,及三角形的内角和为180°。
相等的弧长对应的圆周角、圆心角相等.
26.(2012江苏盐城,26,10分)如图所示,AC⊥AB,AB=,AC=2,点D是以AB为直径的半圆O上一动点,DE⊥CD交直线AB于点E,设∠DAB=,(00<<900).
(1)当=180时,求的长.
(2)当=300时,求线段BE的长.
(3)若要使点E在线段BA的延长线上,则的取值范围是(直接写出答案).
【解析】本题考查了圆的有关计算和证明.证明三角形相似是解题的关键.
(1)欲求的长,只要知道所在圆的圆心角和半径代入弧长公式(),故连半径OD,∠BOD=2,半径OB=,弧长可求;
(2)当=300时,已知直径AB,可以计算出AD、BD,又AC已知,故可以利用△BDE∽△ADC,列出比例式,求出BE.
(3)通过画图可以找出的取值范围.
【答案】
(1)连接OD,∵=180,∴∠BOD=360,又∵AB=,∴OB=,∴的长==.
(2)∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=900,又∵=300,∴∠B=600,又∵AC为半圆O的切线,∴∠CAD=600,∴∠CAD=∠B,又∵DE⊥CD,∴∠ADC+∠ADE=900,又∵∠ADE+∠BDE=900,∴∠BDE=∠ADC,∴△BDE∽△ADC,∴,即,∴BE=.
(3)600<<900.
【点评】这是一道与圆有关的计算、探索题,重点考查了圆的有关性质、切线的性质、弧长公式等知识,通过构建相似三角形来求解是解题的关键.
32.1圆锥的侧面积
9.(2012四川省南充市,9,3分)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是()
A.120°B.180°C.240°D.300°
解析:
设母线长为R,底面半径为r,则底面周长=2πr,底面面积=πr2,侧面面积=πrR,
由题知侧面积是底面积的2倍。
所以R=2r,设圆心角为n,则,解得n=180°.
答案:
B
点评:
已知圆锥的侧面积和底面积的倍数关系,可得到圆锥底面半径和母线长的关系,从而利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长,即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数.
9.(2012浙江省衢州,9,3分)用圆心角为120°,半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示),则这个纸帽的高是()
A.cmB.cmC.cmD.4cm
【解析】利用已知得出圆锥底面圆的半径为:
2,母线长为6cm,进而由勾股定理,即可得出答案.
【答案】C
【点评】此题主要考查了圆锥展开图与原图对应情况,以及勾股定理等知识,根据已知得出圆锥底面圆的半径长是解决问题的关键.
6.(2012贵州铜仁,6,4分小红要过生日了,为了筹备生日聚会,准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形生日礼帽,则这个圆锥形礼帽的侧面积为()
A.270πcm2B.540πcm2C.135πcm2D.216πcm2
【解析】根据圆锥侧面积公式即可得出答案.∴S侧=πrl=9×30π=270π.
【解答】A.
【点评】本题考查圆锥形侧面积公式,直接代入公式即可.掌握圆锥形侧面积公式是解题关键
8.(2012浙江省绍兴,8,3分)如图,扇形DOE的半径为3,边长为的菱形OABC的顶点A,C,B分别在OD,OE,上,若把扇形DOE围成一个圆锥,则此圆锥的高为()
A.B.
C.D.
【解析】连结AC、OB,相交于点G,则AC⊥OB,OG=GB,在Rt△OGA,,所以,即,根据求得,所以圆锥的高为.
【答案】D
【点评】本题主要考查圆锥的有关计算,关键在于求出扇形DOE的圆心角,具有一定的综合性.
11.(2012年浙江省宁波市,11,3)如图,用邻边长为a,b(a<b)的矩形硬纸板截出以a为直径的两个半圆,再截出与矩形的较边、两个半圆均相切的两个小圆,把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面,小圆恰好能作为底面,从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计),则a与b关系式是
(A)b=a(B)b=(C)(D)b=a
【解析】首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面
11题图
的弧长求得小圆的半径,然后利用两圆外切的性质求得
a、b之间的关系即可.
【答案】D
【点评】本题考查切线、两圆外切及圆锥的侧面展开图的有关
知识,小圆的周长是大圆的周长的一半是确定相等关系的关键。
6.(2012连云港,3,3分)用半径为2cm的半圆围城一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为
A.1cmB.2cmC.πcmD.2πcm
【解析】根据圆锥底面圆的周长与展开图扇形的弧长相等,列方程求解。
【答案】解:
设圆锥的底面半径是r,根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,=2πr,则得到2πr=2π,解得:
r=1cm.选A。
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算.解题思路:
解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系:
(1)圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径;
(2)圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长.正确对这两个关系的记忆是解题的关键.
23.(2012年浙江省宁波市,23,8)如图在△ABC中,BE是它的角平分线,∠C=900,D在AB边上,以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F.
(1)求证:
AC是⊙O的切线;
(2)已知sinA=,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.
【解析】1)连接OE,∵OB=OE∴∠OBE=∠OEB.∵BE是△ABC角平分线,∴∠OBE=∠EBC,∴∠OEB=∠EBC,∴OE∥BC,∵∠C=900,∴∠AEO=∠C=900,∴AC是⊙O切线.
连接OF.
∵sinA=,∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4,∴AO=2OE=8,
∴AE=4,∠AOE=60°,∴AB=12,
23题图
∴BC=AB=6AC=6,
∴CE=AC-AE=2.
∵OB=OF,∠ABC=60°,∴△OBF是正三角形.
∴∠FOB=60°,CF=6