空间与图形.docx

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空间与图形

空间与图形

点、线、面

角

一、知识结构

相交线与平行线

三角形

四边形

圆

尺规作图

视图与投影

图形的轴对称

iddui

图形的平移

图形的旋转

图形的相似

二、从变换角度看几何图形

坐标变换

圆

三、从变换角度看几何证明

2006年大连中考全等三角形部分

3、如图，Rt△ABC≌Rt△DEF,∠B=60°则∠E的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

17．如图9，已知∠1=∠2，AB=AC．

求证：

BD=CD

（要求：

写出证明过程中的重要依据）

23．如图13－1、图13－2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．

⑴求图13－1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；

⑵求图13－2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比（直接出答案）；

⑶根据前面探索和图13－3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，（n为大于2的偶数）？

若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

25．如图14－1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线

AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．

操作：

以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连结DE．

探究：

⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；

⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P按上述方法操作；

⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；

如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明；

（注意：

错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）

⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线

段DE有关的结论（直接写答案）．

26．如图15，点P（－m，m2）抛物线：

y=x2上一点，将抛物线E沿x轴正方向平移2m个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是x轴上点B左侧一动点，点D是射线AB上一点，且∠ACD=∠POM．问△ACD能否为等腰三角形？

若能，求点C的坐标；若不能，请说明理由．

说明：

⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写3步）；⑵在你完成⑴之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答（选取①得7分；选取②得10分）．

①m=1；②m=2．

附加题：

如图16，若将26题“点C是x轴上点B左侧一动点”改为“点C是直线y=－m2上点N左侧一动点”，其他条件不变，探究26题中的问题．

复习策略：

1．课时：

4课时基础复习：

1课时中档题：

2课时相似与位似：

1课时

2．知识网络和知识点题型化

比如：

（一）知识点回顾：

（1）全等三角形的性质_____________

（2）全等三角形的识别方法

（二）知识点题型化

（1）如图

（1）F、C在线段BE上且∠DFE=∠ACB，BC=EF，使△ABC≌△DEF,需补充的一个条件是__________。

（2）如图

（2）在△AOB与△COD中，AC、BD交于点O，AB∥CD，OA=OC,则△AOB≌_______,理由__________。

（3）在横线上填一个适当的条件，使得命题是真命题，如图（3），若∠B=∠C,

_____________则△ABD≌△ACE.

（4）能确定△ABC与△A´B´C´全等的是（）

A、AC=A´C´BC=B´C´∠B=∠B´

B、AC=A´C´∠A=∠A´∠B=∠B´

C、AC=C´B´∠A=∠A´∠B=∠B´

D、∠A=∠A´∠B=∠B´∠C=∠C´

（5）如图（4），D在AB上，E在AC上且´∠B=∠C那么补充一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）

A、AD=AEB、∠AEB=∠ADCC、BE=CDD、AB=AC

（4）

（3）

（2）

（1）

3．重视书写规范，应该说这是初中几何逻辑推理表达的最初级最佳训练内容。

4．抓基本图形

5．重视实际应用问题、情境问题和现实结合

比如：

巧用三角形全等侧距离

1、一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：

在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。

在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：

他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。

（1）按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。

（2）你能解释其中的道理吗？

2、如图1，是一个正方形的门窗，在装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形，使其面积和等于正方形的面积，请你按要求在正方形中画出你的设计图形。

图１　　　　　图２　　　　　　图３　　　　　图４　

6．重能力提升

近年来，围绕全等三角形的知识，出现了许多能力考查题，主要有：

一.补充条件型

例1.如图1边上的高，且，请你补充条件_________________（只需填写一个你认为适当的条件）

图1

二.探索结论

例2.如图2，相交于E，请写出由这些条件可得的结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程）。

图2

三.构造真命题

例3.如图3，在△ABC和△A´B´C´中，分别是AB边和边上的中线，再从以下三个条件：

（1）；（3）中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成___________个正确的命题。

图3

四.说明理由

例4.如图4，D是等边内一点，且BD=AD，BP=AB，，问的度数是否一定的，若是，求出它的度数，若不是，说明理由。

图4

7．从变换角度想辅助线引法

如图：

正△ABC操作：

延长BA到D，延长BC到E，使AD=BE，连结DC、DE。

探究：

△DCE的形状，并给出证明。

方法一：

延长BE到M使BM=BD连结MD，可证

△BCD≌△MED（SAS）

方法二：

过A点作AF∥BC，且使AF=BE,连结EF、DF

则可证等边△ADF,平行四边行ABEF，再证明△ACD≌△FED.

方法三：

延长CA到F，使AF=AD，连结DF，则可证等边

三角形ADF，再证△CFD≌△DBE

方法四：

过点E作EF∥CA交BD于点F,则可证等边△BEF，

再证△DAC≌△EFD

方法五：

将△DAC以DA为对称轴翻折得△DAF，连接FE、FB，则可证△DAF≌△EFB

方法六：

将△DAC绕点C逆时针旋转60度得△FBC，连接DF，则可证△DBE≌△DBF

8．精心选题：

初中九年级上P106第一题：

1、如图：

AB=DE，ＡＣ∥ＤＦ，BC∥EF，△ABC与△DEF全等吗？

拓展1

将△DEF经过怎样的变换可得到△ABC？

拓展2

如图，△ABC绕C点旋转30°到△A´B´C´的 位置。

（1）旋转角度是____，旋转方向_____.

（2）找出图中与∠BCB´相等的角_______.

（3）你能确定AB与A´B´的夹角吗？

拓展3

如图：

在拓展2问题中的三角形ABC继续旋转，使B点落在AB上成为B′。

（1）找出图中相等线段。

（2）∠B和哪些角相等？

（3）与∠BCB′相等的角有几个？

拓展4

若△ABC中，∠ACB=90°。

操作：

把△ABC绕C点顺时针旋转到△A´B´C´的位置，旋转度数为α（0°<α<90°），A´B´交直线CA于点D。

若BC=6，AC=8，在旋转过程中，△A´CD能否为等腰三角形？

若可能，求出△A´CD是等腰三角形时ＣＤ的值。

拓展５

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC＝１，△ABC绕点C逆时针旋转角∠BCB´（0°<∠BCB´<90°）得到△A´B´C，连接BB´，设CB´交AB于点D。

（1）当△BB´D是等腰三角形时，求∠BCB´；

（2）当∠BCB´=60°时，求BD的长。

拓展6

如图，直角三角形ABC，AB=AC=5cm,，∠ABO=α度，B点坐标（０，４）。

（１）求Ａ、Ｃ两点坐标。

y

（２）三角板ＡＢＣ绕Ｂ点顺时针旋转２α度成为△A´B´C´，求Ｃ´点坐标。

O

A

C

B

x

拓展7

如图14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点在第二象限内，点，点在轴的负半轴上，．

（1）求点的坐标；

（2）如图15，将绕点按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线于点，分别交直线于点，则除外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）

（3）在

（2）的基础上，将绕点按顺时针方向继续旋转，当的面积为时，求直线的函数表达式．

图14

9．注重纠错：

1．强调对应

策略：

图形认识与强化，设置题目陷阱。

2．在一个三角形中找三角形全等。

3．SSA的错误应使学生思维不朝着这个错误方向发展。

4．错把HL当成边角边定理使用。

5．当引辅助线或识别全等三角形能力不足。

四、数学思想

1、分类讨论思想

（1）已知圆A和圆Ｂ相切，两圆的圆心距为８cm，圆Ａ的半径为３cm，则圆B的半径是（）

A．5cmB.11cmC.3cmD.5cm或11cm

（2）如图：

在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，设P、Q分别是ＢＤ、ＢＣ上的动点，在点Ｐ自点Ｄ沿ＤＢ方向做匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q移动的时间为t（0＜t≤4）

D

A

P

Q

C

B

①写出△PBQ的面积S（Ｃ㎡）与时间ｔ（ｓ）之间的函数表达式，当ｔ为何值时，Ｓ有最大值？

最大值是多少？

②当ｔ为何值时，△PBQ为等腰三角形？

③△PBQ能否为等边三角形？

若能，求ｔ的值；若不能，说明理由。

2、数形结合思想

①如图，已知最大正三角形的面积是１，依次连接各边中点得三角形，利用这个图形计算：

②在数学活动中，小丽为了求的值（结果用n表示）。

设计如图所示的几何图形。

Ⅰ请你利用这个几何图形求出A的值为_____

Ⅱ请你利用图Ⅱ，再设计一个能求A值的几何图形。

3、转化与化归思想

（1）如图，扇形OAB的半径为10cm，∠AOB＝90°，分别以OA、OB为直径作半圆，两半圆交于点C，则图中阴影部分的面积为_________cm.

（2）一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:

C

D

Ｃ′

B′

A

a

c

B

b

D′

4、函数思想

（1）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O作0°-90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（Ｓ）随着旋转角度（n）的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是

S

S

S

n

n

n

S

n

O

O

O

O

（2）已知△ABC，∠BAC=90°,AB=AC=4,BD