第二十一单元一元二次方程.docx
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第二十一单元一元二次方程
第二十一单元
单元
教材
分析
1．本单元教学的主要内容．
一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．
2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容
单元
教学
目标
1．知识与技能:
了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法。
2．过程与方法:
（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
（2）结合八年级整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：
b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
3．情感、态度与价值观:
经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
单元训练重难点
重点
难点
1．一元二次方程及其它有关的概念．
2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
1．一元二次方程配方法解题．
2．用公式法解一元二次方程时的讨论．
3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
单元
课时
安排
21.1一元二次方程---------2课时
21.2解一元二次方程-------7时
21.3实际问题与一元二次方程---5时
小结---------------3时
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年8月25日总第1课时九年级数学备课组：
课题
21.1一元二次方程
（1）
授课年级
九
周次
1
授课人
教学目标
知识与能力
了解一元二次方程的概念；一般式
+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；会利用一元二次方程概念解决一些简单题目．
过程与方法
通过设置问题，建立数学模型，给一元二次方程下定义．掌握一元二次方程的一般形式及其有关概念．解决一些概念性的题目．
情感态度价值观
通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，同时通过变式练习，使学生对概念理解具备完整性和深刻性，并通过数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题
教学难点
从实际问题引出一元二次方程；正确识别一般形式中的“项”及“系数”。
教学方法
讲练结合
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
提出问题：
1、什么是一元一次方程？
（让学生列举一些一元一次方程）
组织学生分组讨论列出一些一元一次方程。
（引入课题）
【新课探究】
【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？
【分析】设宽为x米，则列方程得：
x（x+10）=900；
整理得x2+10x-900=0①
【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它（x-1）队各赛1场，全场比赛共
场，列方程得：
；
整理得x2-x-56=0③
【探究】
（1）上面二个方程左右两边是含未知数的整式（填“整式”“分式”“无理式”）；
（2）方程整理后含有一个未知数；
（3）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是二次。
【归纳】
1、一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。
【注意】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0b≠0时就是一元一次方程了。
所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。
【跟踪练习】
1、【补充练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程？
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；（２）x2＝１；
（３）5x2-2x-
=x2-2x+
；（４）２（x＋１）2＝３（x＋１）；
（５）x2－２x＝x2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０
2、练习第1.2题
【课堂小结】
1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。
2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。
【布置作业】
习题21.1第1.2题
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第2课时九年级数学备课组：
课题
21.1一元二次方程
（2）
授课年级
九
周次
1
授课人
教学目标
知识与能力
了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．
过程与方法
提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．
情感态度价值观
通过概念教学，培养学生的观察、类比、归纳能力，并使学生感受成功的快乐，有学好数学的信心。
教学重点
判定一个数是否是一元二次方程的根；
教学难点
由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
教学方法
讲练结合
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
学生活动：
请同学独立完成下列问题．
问题1．前面有关“执竿进屋”的问题中,我们列得方程x2-8x+20=0
列表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
x2-8x+20
…
问题2．前面有关长方形的面积的问题中,我们列得方程x2+7x-44=0即x2+7x=44
x
1
2
3
4
5
6
…
x2+7x
…
列表：
【新课探究】
提问：
（1）问题1中一元二次方程的解是多少？
问题2中一元二次方程的解是多少？
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有其它解吗？
老师点评：
（1）问题1中x=2与x=10是x2-8x+20=0的解，问题2中，x=4是x2+7x-44=0的解.
（2）如果抛开实际问题，问题2中还有x=-11的解．
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
回过头来看：
x2-8x+20=0有两个根，一个是2，另一个是10，都满足题意；但是，问题2中的x=-11的根不满足题意．因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
分析：
要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可．
解：
将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根．
例2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根,求代数式2007（a+b+c）的值
练习:
关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:
如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0
（2）3x2-6=0（3）x2-3x=0
分析：
要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义．
【跟踪练习】
教材练习1、2．
【课堂小结】
本节课应掌握：
（1）一元二次方程根的概念；
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．（“夹逼”方法;平方根的意义）
【布置作业】
1．教材习题21.1第3,7题
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第3课时九年级数学备课组：
课题
21.2一元二次方程的解法
（1）
授课年级
九
周次
1
授课人
教学目标
知识与能力
理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．
过程与方法
通过讲练结合、合作交流等方法，使学生熟练掌握直接开平方法。
情感态度价值观
使学生养成良好的解题习惯，形成严谨求实的科学态度。
教学重点
运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
教学难点
通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．
教学方法
讲练结合
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
学生活动：
请同学们完成下列各题
问题1．填空
（1）x2-8x+______=（x-______）2；
（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．
问题1：
根据完全平方公式可得：
（1）164；
（2）42；（3）（
）2
．
问题2：
目前我们都学过哪些方程?
二元怎样转化成一元？
一元二次方程于一元一次方程有什么不同？
二次如何转化成一次？
怎样降次？
以前学过哪些降次的方法？
【新课探究】
上面我们已经讲了x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
（学生分组讨论）
老师点评：
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±3
即2t+1=3，2t+1=-3
方程的两根为t1=1，t2=--2
例1：
解方程：
（1）（2x-1）2=5
（2）x2+6x+9=2
（3）x2-2x+4=-1
分析：
很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：
（2）由已知，得：
（x+3）2=2
直接开平方，得：
x+3=±
即x+3=
，x+3=-
所以，方程的两根x1=-3+
，x2=-3-
【跟踪练习】
1、教材练习．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．
A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（）．
A．3B．-3C．±3D．无实数根
二、填空题
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
2、
【课堂小结】
本节课应掌握：
由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±
转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±
，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解
【布置作业】
1．教材P161
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第4课时九年级数学备课组：
课题
21.2一元二次方程的解法
（2）
授课年级
九
周次
2
授课人
教学目标
知识与能力
理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．
过程与方法
通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．
情感态度价值观
使学生养成良好的解题习惯，有克服困难的勇气
教学重点
讲清“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．
教学难点
不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧
教学方法
类比法讨论法，练习法
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
（学生活动）请同学们解下列方程
（1）3x2-1=5
（2）4（x-1）2-9=0
（3）4x2+16x+16=9（4）4x2+16x=-7
老师点评：
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±
或mx+n=±
（p≥0）．
如：
4x2+16x+16=（2x+4）2,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?
【新课探究】
列出下面问题的方程并回答：
（1）列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？
（2）能否直接用上面方程的解法呢？
问题2：
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
（1）列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的不同之处是：
左边是含有x的二次三项式而不是完全平方式。
（2）不能．
既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：
x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式→（x+3）2=25降次→x+3=±5即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8
可以验证：
x1=2，x2=-8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
例1．用配方法解下列关于x的方程
（1）x2-8x+1=0
（2）3x2-6x+4=0
分析：
（1）显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；
（2）同上．
【跟踪练习】
教材练习12．
（1）、
（2）．
【课堂小结】
本节课应掌握：
左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．
【布置作业】教材P162，3
（1）
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第5课时九年级数学备课组：
课题
21.2一元二次方程的解法（3）
授课年级
九
周次
2
授课人
教学目标
知识与能力
了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
过程与方法
通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．
情感态度价值观
使学生养成良好的解题习惯，形成严谨求实的科学态度。
教学重点
讲清配方法的解题步骤．
教学难点
把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．
教学方法
讲练结合
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
（学生活动）解下列方程：
（1）x2-4x+7=0
（2）2x2-8x+1=0
老师点评：
我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．
解：
略.
（2）与
（1）有何关联?
【新课探究】
讨论:
配方法届一元二次方程的一般步骤：
（1）现将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．解下列方程
（1）2x2+1=3x
（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0
分析：
我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方
【跟踪练习】
教材练习3，10
2．选用作业设计:
一、选择题
1．配方法解方程2x2-
x-2=0应把它先变形为（）．
A．（x-
）2=
B．（x-
）2=0
C．（x-
）2=
D．（x-
）2=
2．下列方程中，一定有实数解的是（）．
A．x2+1=0B．（2x+1）2=0
C．（2x+1）2+3=0D．（
x-a）2=a
3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．
A．1B．2C．-1D．-2
二、填空题
1．如果x2+4x-5=0，则x=_______．
2．无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是_______数．
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是______．
【课堂小结】
1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．
2．配方法是解一元二次方程的通法，它重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性（如例3）在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到【布置作业】
.教材P16习题21.2第3题
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第6课时九年级数学备课组：
课题
21.2一元二次方程的解法（4）
授课年级
九
周次
2
授课人
教学目标
知识与能力
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
过程与方法
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．
情感态度价值观
使学生养成良好的解题习惯，形成严谨求实的科学态度。
教学重点
求根公式的推导和公式法的应用．
教学难点
一元二次方程求根公式法的推导．
教学方法
讲练结合
课型
新课
教学准备
教学过程设计
动态修正
【复习回顾】
前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程
（1）x2=4
（2）（x-2）2=7
提问1这种解法的（理论）依据是什么？
提问2这种解法的局限性是什么？
（只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程。
）
2．面对这种局限性，怎么办？
（使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式。
）
（学生活动）用配方法解方程2x2+3=7x
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．
（1）现将已知方程化为一般形式；
（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为（x+p）2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
【新课探究】
用配方法解方程
（1）x2－7x+3=0
（2）如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
（1）教师点拨，展示求根公式
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）x2-4x-7=0
（2）x2+17=8x
（3）2x2-2
x+1=0（4）5x2-3x=x+1
分析：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
【跟踪练习】
教材练习1．
（1）、（3）、（5）或
（2）、（4）、（6）
【课堂小结】
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程的步骤:
1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2）找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
3）计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4）若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
【布置作业】教材P16第5题
【课后反思】
主备课人：
齐桂花备课组成员：
黄瑞娥陈文
高坝中学课堂教学设计（电子教案）
时间：
2015年月日总第7课时九年级数学备课组：
课题
21.2一元二次方程的解法（5）
授课年级
九
周次
2
授课人
教学目标
知识与能力
掌握用因式分解法解一元二次方程．
过程与
升级会员 