集合经典知识点复习总结与练习综合.docx

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集合经典知识点复习总结与练习综合

知识点一：

集合的含义与表示

一、集合的概念

实例引入：

⑴1~20以内的所有质数;

⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;

⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;

⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;

⑸所有的正方形;

⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.

概念结论：

一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.

二、集合元素的特征

（1）确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：

一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写

练习：

判断下列各组对象能否构成一个集合

⑴　2，3，4⑵（2，3），（3，4）⑶　三角形

⑷　2，4，6，8，…⑸　1，2，（1，2），{1，2}

⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解

⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解

三、集合相等

构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等

四、集合元素与集合的关系

集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A

五、常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），

除0的非负整数集，也称正整数集，

整数集，；有理数集，实数集，

练习：

（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）

A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形

（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？

六、集合的表示方式

（1）列举法：

把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；

（2）描述法：

用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）

例1、用列举法表示下列集合：

（1）小于10的所有自然数组成的集合；

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；

（3）由1~20以内的所有质数组成。

例2、试分别用列举法和描述法表示下列集合：

（1）由大于10小于20的的所有整数组成的集合；

（2）方程x2-2=2的所有实数根组成的集合.

注意：

（1）描述法表示集合应注意集合的代表元素

（2）只要不引起误解集合的代表元素也可省略

七、小结

集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.

1．集合的概念、集合三要素

2．集合的表示、符号、常用数集、列举法、描述法

3．关于“属于”的概念

知识点二：

集合间的基本关系

（一）子集的概念

1.实例:

A={1,2,3}B={1,2,3,4,5}引导观察.

结论:

对于两个集合A和B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则说:

这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A含于B”（或“B包含A”）.

2.反之:

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊄B已（或B⊄A）

（二）空集的概念

不含任何元素的集合叫做空集，记作φ，并规定:

空集是任何集合的子集.

（三）“相等”关系

1、实例：

设A={x|x∧2-1=0}B={-1,1}“元素相同”

结论：

对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（即如果A⊆B同时B⊆A那么A=B）.

2、①任何一个集合是它本身的子集.A⊆A

②真子集：

如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB

③空集是任何非空集合的真子集.

④如果A⊆B,B⊆C,那么A⊆C.

（三）例题与练习

例1、设集合A={1，3，a}，B={1，a-a+1}

A⊇B，求a的值

练习1：

写出集合A={a，b，c}的所有子集，并指出哪些是真子集？

有多少个？

例2、求满足{x|x2+2=0}M⊆{x|x2-1=0}的集合M.

例3、若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|ax+1=0}

且BA，求a的值.

练习2：

集合M={x|x=1+a2，a∈N*}，P={x|x=a2-4a+5，a∈N*}

下列关系中正确的是（）

AMPBPM

CM=PDMP且PM

三、小结

子集、真子集、空集的有关概念.

知识点三：

集合的基本运算

（一）提问（板演）：

用列举法表示集合：

A={6的正约数}，B={10的正约数}，C={6与10的正公约数}，并用适当的符号表示它们之间的关系.

解：

A={1，2，3，6}，B={1，2，5，10}，C={1，2}C⊆A，C⊆B

（二）全集

定义：

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，

集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.

如：

把实数R看作全集U,则有理数集Q的补集CUQ是全体无理数的集合.

（三）补集

1、实例：

S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运会同学的集合，集合B是班上所有没有参加校运动会同学的集合.集合B是集合S中除去集合A之后余下来的集合.

结论：

设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集

记作：

CsA即CsA={x|x∈S且x∉A}

2．例：

S={1，2，3，4，5，6}A={1，3，5}CsA={2，4，6}

（四）并集与交集

1、实例：

A={a,b,c,d}B={a,b,e,f}

cdabef

cdabef

公共部分A∩B合并在一起A∪B

2、定义：

（1）交集：

由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A和集合B的交集，记作A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.

（2）并集：

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A和集合B的并集，记作A∪B，即A∪B={x|x∈A或x∈B}.

（五）例题与练习

例1、

（1）若S={2，3，4}，A={4，3}，则CsA=.

（2）若S={三角形}，A={锐角三角形}，则CsA=。

（3）若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，则a=。

（4）若A={0，2，4}，CUA={-1，2}，CUB={-1，0，2}，求B=。

练习1：

判断正误

（1）若U={四边形}，A={梯形}，则CUA={平行四边形}

（2）若U是全集，且A⊆B，则CUA⊆CUB

（3）若U={1，2，3}，A=U，则CUA=φ

思考：

已知A={x|x<3}，B={x|x

（1）若A⊆B，CRB⊆CRA是否成立？

（2）CRA⊆CR（CR（CRB），求a的取值范围.

例2、新华中学开运动会，设A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.

例3、设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，用集合的运算表示l1、l2的位置关系.

练习2：

1、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形}，求A∩B.

2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B.

3、若A={x|x=4n,n∈Z}，B={x|x=6n,n∈Z}，求A∩B.

4、A={x|a≤x≤a+3},B={x|x＜-1或x＞5}，分别求出满足下列条件的a的取值范围:

（1）A∩B=∅

（2）A∩B=A

例4、已知集合A={4，5，6，8},B={3，5，7，8}，求A∪B.

例5、已知A={x|-1＜x＜2},B={x|1＜x＜3}求A∪B.

例6、已知U={x|x是小于9的正整数},A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求CUA，CUB.

练习3：

2、全集U={x|x≤8,且x∈N*},AU,BU且A∩B={4,5},

（CUB）∩A={1,2,3},（CUA）∩（CUB）={6,7,8},求集合A和B.

3、已知A={x|-1＜x＜3},A∩B=∅,A∪B=R,求B.

4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-mx+2=0},且A∪B=A,A∩C=C,求a,m的值.

（六）小结

全集、补集、交集、并集的有关概念和性质及其运算

一．选择题

1．下列说法正确的是（）

A．某个村子里的年青人组成一个集合

B．所有小正数组成的集合

C．集合｛１，２，３，４，５｝和｛５，４，３，２，１｝表示同一个集合

D．这些数组成的集合有五个元素

2．下面有四个命题：

（１）集合Ｎ中最小的数是否；

（２）０是自然数；

（３）｛１，２，３｝是不大于３的自然数组成的集合；

（４）

其中正确的命题的个数是（）

A．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

3．给出下列关系：

（１）

（２）

（３）

（４）

其中正确的个数为（）

Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

4．给出下列关系：

（１）｛０｝是空集；

（２）

（３）集合

（４）集合

其中正确的个数为（）

Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．０个

５．下列四个命题：

（１）空集没有了集；

（２）空集是任何一个集合的真子集；

（３）空集的元素个数为零；

（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．

其中正确的有（）

Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个

６．已知集合那么等于（　　）

Ａ．｛１，２，３，４，５｝Ｂ．｛２，３，４，５｝

Ｃ．｛２，３，４｝Ｄ．

７．已知全集集合

（　　）

Ａ．｛０｝Ｂ．Ｃ．Ｄ．

二．填空题

８．方程的解集为用列举法表示为____________.

９．用列举法表示不等式组的整数解集合为____________.

10．已知Ａ＝｛菱形｝，Ｂ＝｛正方形｝，Ｃ＝｛平行四边形｝，那么Ａ，Ｂ，Ｃ之间的关系是__________.

11．已知全集Ｕ＝Ｎ，集合，则用列举法表示为_____________.

三．解答题

12．已知

13．已知．

14．若集合则满足于条件的实数的个数有（）

Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个

15．设集合，则实数______________．

16．已知全集那么．

17．已知集合

18．设求a的取值范围．

19．试用适当的符号把连接起来．

20．已知集合

的值或取值范围．