高考数学理科二轮复习习题专题5第二讲 点直线平面之间的位置关系.docx

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高考数学理科二轮复习习题专题5第二讲点直线平面之间的位置关系

专题五　立体几何

第二讲　点、直线、平面之间的位置关系

1．公理1　如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．此公理可以用来判断直线是否在平面内．

2．公理2　过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．

3．公理3　如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线．

4．公理4　平行于同一条直线的两条直线互相平行．

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．

（1）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（√）

（2）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点的任意一条直线．（×）

（3）两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.（×）

（4）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（×）

（5）经过两条相交直线，有且只有一个平面．（√）

1．给出下列命题，正确命题的个数是（B）

①梯形的四个顶点在同一平面内　②有三个公共点的两个平面必重合　③三条平行直线必共面　④每两条都相交且交点不相同的四条直线一定共面

A．1个　　　　B．2个　　　

C．3个　　　D．4个

2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（D）

A．一定平行

B．一定相交

C．一定是异面直线

D．一定垂直

3.（2015·北京卷）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（B）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD/⇒α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．

4．（2015·广东卷）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（D）

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

解析：

由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．

一、选择题

1．l1，l2是两条异面直线，直线m1，m2与l1，l2都相交，则m1，m2的位置关系是（D）

A．异面或平行B．相交

C．异面D．相交或异面

解析：

若m1，m2过直线l1或l2上的同一个点，则m1，m2相交；若m1，m2与直线l1，l2有四个不同交点，则m1，m2异面．

2．在下列命题中，不是公理的是（A）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线

3.（2015·福建卷）若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的（B）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.

但l⊥m

l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．

故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．

4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（D）

A．α∥β，且l∥α

B．α⊥β，且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析：

结合给出的已知条件，画出符合条件的图形，然后判断得出．

根据所给的已知条件作图，如图所示．

由图可知α与β相交，且交线平行于l.故选D.

5．如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ACD，PA＝2AB，则下列结论正确的是（D）

A．PB⊥AD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．直线BC∥平面PAE

D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

解析：

解法一　由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作AG⊥PB于G，因平面PAB⊥平面ABCDEF，而AG在平面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由BC∥EF，而EF是平面PAE的斜线，故排除C.故选D.

解法二　设底面正六边形边长为a，则AD＝2a，PA＝2AB＝2a，由PA⊥平面ABC可知PA⊥AD，又PA＝AD，所以直线PD与平面ABC所成的角为∠PDA＝45°.故选D.

6．下图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2（D）

A．互相平行B．异面且互相垂直

C．异面且夹角为

D．相交且夹角为

二、填空题

7．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号是①②．

解析：

考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理．

8．如图，边长为a的正三角形ABC中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题，其中正确的命题有①②③（填序号）．

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上

②三棱锥A′FED的体积有最大值

③恒有平面A′GF⊥平面BCED

④异面直线A′E与BD不可能互相垂直

解析：

由题意知AF⊥DE，∴A′G⊥DE，FG⊥DE，

∴DE⊥平面A′FG，DE⊂平面ABC，

∴平面A′FG⊥平面ABC，交线为AF，

∴①③均正确．

当A′G⊥平面ABC时，A′到平面ABC的距离最大．

故三棱锥A′FED的体积有最大值．故②正确．

当A′F2＝2EF2时，EF⊥A′E，

即BD⊥A′E，故④不正确．

三、解答题

9．（2015·江苏卷）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：

（1）DE∥平面AA1C1C；

（2）BC1⊥AB1.

解析：

（1）由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

（2）因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，

BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

10．（2014·福建卷）在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．

（1）求证：

AB⊥CD；

（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

分析：

第

（1）问根据面面垂直、线面垂直的性质，证明线线垂直；第

（2）问利用第

（1）问的结论，建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，再用向量法求线面角的正弦值．

解析：

（1）∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.

又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.

（2）过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．

由

（1）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴AB⊥BE，AB⊥BD.

以B为坐标原点，分别以

，

，

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．

依题意，得B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A（0，0，1），

M

，则

＝（1，1，0），

＝

，

＝（0，1，－1）．

设平面MBC的法向量n＝（x0，y0，z0），

则

即

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝（1，－1，1）．

设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝|cos（n，

）|＝

＝

，

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为

.