晶体学课后习题答案.docx
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晶体学课后习题答案
第一章习题
1.晶体与非晶体最本质的区别是什么?
准晶体是一种什么物态?
答：
晶体和非晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。
晶体是具有格子构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。
而非晶体不具有格子构造。
2晶体具有远程规律和近程规律，非晶体只有近程规律。
准晶态也不具有格子构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。
因此，这种物态介于晶体和非晶体之间。
2.在某一晶体结构中，同种质点都是相当点吗?
为什么?
答：
晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。
因为相当点是满足以下两个条件的点：
a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。
同种质点只满足了第一个条件，并不一定能够满足第二个条件。
因此，晶体结构中的同种质点并不一定都是相当点。
3.从格子构造观点出发，说明晶体的基本性质。
答：
晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格子构造所决定的。
现分别叙述：
a.自限性晶体的多面体外形是其格子构造在外形上的直接反映。
晶面、晶棱与角顶分别与格子构造中的面网、行列和结点相对应。
从而导致了晶体在适当的条件下往往自发地形成几何多面体外形的性质。
b.均一性因为晶体是具有格子构造的固体，在同一晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。
c.异向性同一晶体中，由于内部质点在不同方向上的排布一般是不同的。
因此，晶体的性质也随方向的不同有所差异。
d.对称性晶体的格子构造本身就是质点周期性重复排列，这本身就是一种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的方向上能够有规律地重复出现。
e.最小内能性晶体的格子构造使得其内部质点的排布是质点间引力和斥力达到平衡的结果。
无论质点间的距离增大或缩小，都将导致质点的相对势能增加。
因此，在相同的温度条件下，晶体比非晶体的内能要小；相对于气体和液体来说，晶体的内能更小。
f.稳定性内能越小越稳定，晶体的稳定性是最小内能性的必然结果。
4.找出图1-2a中晶体平面结构中的相当点并画出平面空间格子（即面网）。
答：
取其中一个Si原子为研究对象，找出其相当点并画出其空间格子（见下图）
第二章习题
1.讨论一个晶面在与赤道平面平行、斜交或垂直时，投影点与投影基圆之间的距离关系。
答：
根据晶面极射赤平投影的步骤和方法可知：
与赤道平面平行的晶面投影点位于基圆的圆心，斜交的晶面投影点位于基圆的内部，直立的晶面投影点位于基圆上。
根据这一规律可知，投影点与基圆的距离由远及近顺序分别为与赤道平面平行的晶面、斜交的晶面和垂直的晶面。
2.作立方体、四方柱的各晶面投影，讨论它们的关系。
答：
立方体有六个晶面，其极射赤平投影点有六个投影点。
四方柱由四个晶面组成，其投影点只有四个。
四方柱的四个投影点的分布与立方体直立的四个晶面的投影点位置相同。
如果将四方柱顶底面也投影，则立方体与四方柱投影结果一样，由此说明，投影图不能放映晶体的具体形状，只能反映各晶面的夹角情况。
3.已知磷灰石晶体上（见附图），m∧m=60°，m∧r=40°，作其所有晶面的投影，并在投影图中求r∧r=?
答：
晶面的极射赤平投影点见右图。
在吴氏网中，将两个相邻的r晶面投影点旋转到过同一条大圆弧，在这条大圆弧上读取两点之间的刻度即为r∧r=42º。
4.作立方体上所有对称面的极射赤平投影。
第三章习题
1.总结对称轴、对称面在晶体上可能出现的位置。
答：
在晶体中对称轴一般出现在三个位置：
a.角顶；b.晶棱的中点；c.晶面的中心。
而对称面一般出现在两个位置：
a.垂直平分晶棱或晶面；b.包含晶棱。
2.旋转反伸操作是由两个操作复合而成的，这两个操作可以都是对称操作，也可以都是非对称操作，请举例说明之。
答：
旋转反伸轴Li3是由L3及C的操作复合而成，在有Li3的地方是有L3和C存在的，这两个操作本身就是对称操作；旋转反伸轴Li6是有L6和C的操作复合而成，在有Li6的地方并没有L6和C存在的，即这两个操作本身是非对称操作，但两个非对称操作复合可以形成一个对称操作。
3.用万能公式证明：
Li2=P⊥，Li6=L3+P⊥（提示：
Lin=Ln×C；L3+L2∥=L6）
证明：
∵Li2=L2×C，而万能公式中L2×C=P⊥
∴Li2=P⊥
∵Li6=L6×C，将L3+L2∥=L6代入可得：
Li6=（L3+L2∥）×C=L3+（L2×C）=L3+P
属于什么晶系?
为什么?
答：
它属于六方晶系。
因为L33L24P也可以写成Li63L23P，而Li6为六次轴，级别比L3的轴次要高，因此在晶体分类中我们一般将Li63L23P归属六方晶系。
5.找出晶体模型上的对称要素，分析晶体上这些对称要素共存符合于哪一条组合定理?
写出晶体的对称型、晶系。
答：
这一题需要模型配合动手操作才能够完成。
因此简单介绍一下步骤：
1）根据各种对称要素在晶体中可能出现的位置，找出晶体中所有的对称要素；
2）结合对称型的推导（课本P32，表3-2）来分析这些对称要素共存所符合的组合定律；
3）根据找出的对称要素，按照一定的书写原则写出对称型；
4）根据晶体对称分类中晶系的划分原则，确定其所属的晶系。
第四章习题
1.总结下列对称型中，各对称要素在空间的分布特点，它们与三个晶轴的关系：
m3m，m3，3m。
答：
在m3m对称型中，其所有对称要素为3L44L36L29PC。
其中对称中心C在原点；3个P分别垂直于其中一个结晶轴，另外6个P分别处于两个结晶轴夹角平分线处；6个L2分别是任意两个结晶轴的对角线；4和L3分别位于三个结晶轴的体对角线处，3个L4相互垂直且分别与一个结晶轴重合。
在m3对称型中，其所有对称要素为3L24L33PC。
其中对称中心C在原点；3个P相互垂直且分别垂直于其中一个结晶轴；4和L3分别位于三个结晶轴的体对角线处，3个L2相互垂直且分别与一个结晶轴重合。
在3m对称型中，其所有对称要素为L33P。
L3与Z轴重合，3个P分别垂直于X、Y、U轴。
2.区别下列对称型的国际符号：
23与323m与m36/mmm与6mm
3m与mm4/mmm与mmmm3m与mmm
答：
首先我们可以通过这些对称型的国际符号展示的对称要素，确定它们所属的晶系。
然后将对称要素按照国际符号书写的方位分别置于其所在的位置。
最后根据对称要素组合定律将完整的对称型推导出来。
23与32：
23为等轴晶系，对称型全面符号为3L24L3；32为三方晶系，对称型全面符号为L33L2。
3m与m3：
3m为三方晶系，对称型全面符号为L33P；m3为等轴晶系，对称型全面符号为3L24L33PC。
6/mmm与6mm：
6/mmm为六方晶系，对称型全面符号为L66L27PC；6mm为六方晶系，对称型全面符号为L66P。
3m与mm：
3m为三方晶系，对称型全面符号为L33P；mm为斜方晶系，对称型全面符号为L22P
4/mmm与mmm：
4/mmm为四方晶系，对称型全面符号为L44L25PC；mmm为斜方晶系，对称型全面符号为3L23PC。
m3m与mmm：
m3m为等轴晶系，对称型全面符号为3L44L36L29PC；mmm为斜方晶系，对称型全面符号为3L23PC。
3.观察晶体模型，找出各模型上的对称要素，确定对称型及国际符号，并画出对称要素的赤平投影。
答：
这一题需要模型配合动手操作才能够完成。
因此简单介绍一下步骤：
1）根据各种对称要素在晶体中可能出现的位置，找出晶体中所有的对称要素；
2）写出其对称型后，根据晶体对称分类中晶系的划分原则，确定其所属的晶系；
3）按照晶体的定向原则（课本P42-43，表4-1）给晶体定向；
4）按照对称型国际符号的书写原则（课本P56，表4-3）写出对称型的国际符号；
5）将对称要素分别用极射赤平投影的方法投影到平面上。
投影的顺序一般为先投影对称面，接着投影对称轴最后投影对称中心。
4.同一晶带的晶面，在极射赤平投影图中怎样分布?
答：
同一晶带的晶面的投影先投到投影球上，它们分布在同一个大圆上。
用极射赤平投影的方法投影到水平面上可以出现三种情况：
分布在基圆上（水平的大圆）；分布在一条直径上（直立的大圆）；分布在一条大圆弧上（倾斜的大圆）。
同一晶带的晶面投影在同一大圆上，因为同一晶带的晶面其法线处于同一圆切面上。
5.下列晶面哪些属于［001］晶带?
哪些属于［010］晶带?
哪些晶面为［001］与［010］二晶带所共有?
（100），（010），（001），（00），（00），（00），（0），（110），（011），（0），（101），（01），（10），（10），（10），（0），（01），（01）。
答：
属于[001]的晶面有：
（100），（010），（00），（00），（0），（110），（10），（10）。
属于[010]的晶面有：
（100），（001），（00），（00），（101），（01），（10），（0）。
为［001］与［010］二晶带所共有：
（100），（00）。
6判定晶面与晶面，晶面与晶棱，晶棱与晶棱之间的空间关系（平行，垂直或斜交）：
（1）等轴晶系、四方晶系及斜方晶系晶体：
（001）与［001］；（010）与［010］；［110］与［001］；（110）与（010）。
（2）单斜晶系晶体：
（001）与［001］；［100］与［001］；（001）与（100）；（100）与（010）。
（3）三、六方晶系晶体：
（100）与（0001）；（100）与（110）；（100）与（101）；（0001）与（110）。
答：
（1）等轴晶系中（001）与［001］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001］垂直；（110）与（010）斜交。
四方晶系中（001）与［001］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001］垂直；（110）与（010）斜交。
斜方晶系中（001）与［001］垂直；（010）与［010］垂直；［110］与［001］垂直；（110）与（010）斜交。
（2）单斜晶系中（001）与［001］斜交；［100］与［001］斜交；（001）与（100）斜交；（100）与（010）垂直。
（3）三、六方晶系中（100）与（0001）垂直；（100）与（110）斜交；（100）与（101）斜交；（0001）与（110）垂直。
第五章习题
1.可不可以说立方体单形也可以分成三对平行双面，为什么?
答：
不可以。
因为根据单形的定义“单形是一组由对称要素联系起来的晶面”。
立方体的六个晶面全部都可以由其对称型m3m联系起来的，所以他们不能分开为三对平行双面，如果将立方体的晶面分解成为3对平行双面，则三对平行双面间不能够通过对称要素联系起来。
所以不能够分开。
2.晶面与任何一个对称型的位置关系最多只能有7种，所以一个晶体上最多只能有7个单形相聚构成聚形，此话正确与否?
答：
这句话不正确。
虽然一个对称型最多只能有7种单形，但多个同一种单形可以在同一晶体上相聚（如：
多个具有L4PC对称型的四方双锥可以相聚在一起），因此一个晶体中单形的数目可以超过7个。
这句话改为“一个晶体上最多只能有7种单形相聚构成聚形”即可。
3.根据单形的几何形态得出：
立方体的对称型为m3m，五角十二面体的对称型为m3，它们的对称型不同，所以不能相聚，对吗?
为什么?
答：
这一结论不对。
因为“立方体的对称型为m3m，五角十二面体的对称型为m3”是从几何单形的角度得出的结果。
而单形相聚原则中所说的单形是结晶单形。
所以该结论有偷梁换柱之嫌。
实际上立方体的结晶单形有5种对称型，其中就有一种为m3，具有这种对称型的立方体就能够与五角十二面体相聚。
4.为什么在三方晶系（除3外）和六方晶系（除外），其他对称型都有六方柱这一单形?
这些六方柱对称一样吗?
为什么?
答：
这些六方柱都是结晶单形（课本P70，表5-5）,它们的对称型可以属于三方、六方晶系的，它们的外形相同但对称不同。
因为结晶单形不仅考虑几何外形还要考虑对称程度。
5.在同一晶体中能否出现两个相同形号的单形?
答：
不能。
如果出现相同形号的单形，它们对应的晶面的空间方位相同，它们的晶面将重合或平行在一起。
6.菱面体与六方柱能否相聚?
相聚之后其对称型属于3，m还是6/mmm?
为什么?
答：
菱面体和六方柱能够相聚。
相聚后对称型为m。
因为根据课本P70，表5-5-5和P71，5-6，对称型3中没有菱面体和六方柱，6/mmm中也没有菱面体这一单形。
在m中既有菱面体又有六方柱。
所以相聚后对称型可以为m。
7.在聚形中如何区分下列单形：
斜方柱与四方柱；斜方双锥、四方双锥与八面体；三方单锥与四面体；三方双锥与菱面体；菱形十二面体与五角十二面体。
答：
斜方柱的横截面为菱形，四方柱的横截面为正方形。
斜方双锥的三个切面均为菱形，四方双锥的横切面为正方形，两个纵切面为菱形，八面体的三个切面均为正方形。
三方单锥只有3个晶面，四面体有4个晶面。
三方双锥晶面不能两两相互平行，而菱面体的晶面则可以。
菱形十二面体的单形符号为{110}而五角十二面体的单形符号为{hk0}。
8.在等轴晶系中下列单形符号代表哪些常见单形：
｛100｝，｛110｝，｛111｝。
答：
{100}立方体，{110}菱形十二面体，{111}八面体和四面体。
9.等轴晶系、四方晶系和低级晶族中的（111）都与三个晶轴正端等交吗?
｛111｝各代表什么单形?
答：
不是，只有等轴晶系的（111）与三个晶轴正端等交。
等轴晶系中{111}代表八面体或四面体。
四方晶系中{111}可代表四方双锥、四方四面体等。
斜方晶系中{111}代表斜方双锥。
因为只有等轴晶系的三个晶轴上的轴单位相等，四方晶系、低级晶族的三个晶轴上的轴单位不同，所以即使是晶面（111）也不代表与三轴等交。
10.写出各晶系常见单形及单形符号，并总结归纳以下单形形号在各晶系中各代表什么单形?
｛100｝，｛110｝，｛111｝，｛101｝，｛100｝，｛110｝，｛111｝。
答：
等轴晶系
四方晶系
斜方晶系
单斜晶系
三斜晶系
{100}
立方体
四方柱
平行双面
平行双面、单面
单面、平行双面
{110}
菱形十二面体
四方柱
斜方柱
斜方柱、反映双面、轴双面
单面、平行双面
{111}
八面体、四面体
四方双锥、四方单锥、四方四面体
斜方双锥、斜方单锥、斜方四面体
斜方柱、反映双面、轴双面
单面、平行双面
｛101｝
｛100｝
｛110｝
｛111｝
三方晶系
菱面体、三方单锥
三方柱、六方柱
三方柱、六方柱
菱面体、三方单锥、三方双锥、六方单锥、六方双锥
六方晶系
六方双锥、六方单锥、三方双锥
三方柱、六方柱
三方柱、六方柱
六方双锥、六方单锥、三方双锥
11.在极射赤平投影图中找出2/m、mmm、4/mmm、m3、m3m对称型中的最小重复单位，并设置七个原始位置推导单形。
：
各个对称型的极射赤平投影及最小重复单元（灰色部分为最小重复单元）见下图：
12.柱类单形是否都与Z轴平行?
答：
不是。
斜方柱就可以不平行于Z轴，如斜方柱{011}、{111}等。
13.分析晶体模型，找出它们的对称型、国际符号、晶系、定向原则、单形名称和单形符号，并作各模型上对称要素及单形代表晶面的赤平投影。
答：
步骤为：
1）根据对称要素可能出现的位置，运用对称要素组合定律，找出所有对称要素，确定对称型。
2）根据晶体对称分类中晶系的划分原则，确定其所属的晶系。
3）按照晶体的定向原则（课本P42-43，表4-1）给晶体定向。
4）按照对称型国际符号的书写原则（课本P56，表4-3）写出对称型的国际符号。
5）判断组成聚形的单形的个数
6）确定单形的名称和单形符号。
判断单形名称可以依据的内容：
（1）单形晶面的个数；
（2）单形晶面间的关系；
（3）单性与结晶轴的关系；
（4）单形符号；
7）绘制晶体对称型和代表性晶面的极射赤平投影图。
14.已知一个菱面体为32对称型，这个菱面体是否有左右形之分?
答：
这个菱面体有左右形之分。
因为32对称型的对称性有左-右形之分，这是结晶单形意义上的左-右形。
第六章习题
1.将二次轴取作Z轴，用操作矩阵证明万能公式（即2（L2）、（C）、m（P）中任两个的复合操作等于第三个的操作）。
答：
首先确定表示各个对称操作的矩阵：
2（L2）：
（C）：
m（P）：
然后进行计算：
2（L2）×（C）=×==m（P）
2（L2）×m（P）=×==（C）
（C）×m（P）=×==2（L2）
2.用矩阵运算证明点群4｛41，42，43，44｝符合群的四个基本条件。
证明：
表示点群4的四个元素的矩阵分别为：
41：
42：
43：
44：
其中42为41的矩阵自乘两次得到，43则自乘3次，等等。
（1）封闭性
例如：
41×42=×==43
（2）结合律
同样可以用矩阵验证：
（41×42）×43=41×（42×43）
（3）单位元
单位元为44=1
（4）逆元素
群中每一个元素都有逆元素，逆元素为每个元素的反向操作。
例如：
41的逆操作即为43
3.用矩阵运算证明点群mm2符合群的四个基本条件。
证明：
点群mm2的群元素为{2（平行Z轴），m（⊥X），m（⊥Y），1}
（1）封闭性
2×m（⊥X）=×==m（⊥Y）
（2）结合律
同样可以用矩阵验证：
（2×m（⊥X））×m（⊥Y）=2×（m（⊥X）×m（⊥Y））
（3）单位元
单位元为1
（4）逆元素
群中每一个元素都有逆元素，逆元素为每个元素的反向操作
4.某一点（x，y，z）在经过点群2/m的所有对称要素操作后会，最终产生什么结果?
这一结果说明了群的什么性质?
答：
某一点（x，y，z）经过对称面m的操作产生点（x，-y，z），再经过对称轴2的操作产生点（-x，-y，-z），再经过对称中心的操作产生点（x，y，z），即回到了原来的出发点。
这一结果说明了群的封闭性。
第七章习题
1.有一个mm2对称平面图形，请你划出其最小重复单位的平行四边形。
答：
平行四边形见右图
2.说明为什么只有14种空间格子?
答：
空间格子根据外形可以分为7种，根据结点分布可以分为4种。
布拉维格子同时考虑外形和结点分布两个方面，按道理应该有28种。
但28种中有些格子不能满足晶体的对称，如：
立方底心格子，不能满足等轴晶系的对称，另外一些格子可以转换成更简单的格子，如：
四方底心格子可以转换成为体积更小的四方原始格子。
排除以上两种情况的格子，所以布拉维格子只有14种。
3.分析金红石晶体结构模型，找出图7-16中空间群各内部对称要素。
答：
金红石晶体结构中的内部对称要素有：
42，2，m，n，。
图中的空间群内部对称要素分别标注在下图中：
是晶体的什么符号?
从该符号中可以看出该晶体是属于什么晶系?
具什么格子类型?
有些什么对称要素?
答：
Fd3m是空间群的国际符号。
该符号第二部分可以看出该晶体属于等轴晶系。
具有立方面心格子。
从符号上看，微观对称有金刚石型滑移面d，对称轴3，对称面m。
该晶体对应的点群的国际符号为m3m，该点群具有的宏观对称要素为3L44L36L29PC。
5.在一个实际晶体结构中，同种原子（或离子）一定是等效点吗?
一定是相当点吗?
如果从实际晶体结构中画出了空间格子，空间格子上的所有点都是相当点吗?
都是等效点吗?
答：
实际晶体结构中，同种质点不一定是等效点，一定要是通过对称操作能重合的点才是等效点。
例如：
因为同种质点在晶体中可以占据不同的配位位置，对称性就不一样，如：
铝的铝硅酸盐，这些铝离子不能通过内部对称要素联系在一起。
同种质点也不一定是相当点。
因为相当点必须满足两个条件：
质点相同，环境相同。
同种质点的环境不一定相同，如：
金红石晶胞中，角顶上的Ti4+与中心的Ti4+的环境不同，故它们不是相当点。
空间格子中的点是相当点。
因为从画空间格子的步骤来看，第一步就是找相当点，然后将相当点按照一定的原则连接成为空间格子。
所以空间格子中的点是相当点。
空间格子中的点也是等效点。
空间格子中的点是相当点，那么这些点本身是相同的质点，而且周围的环境一样，是可以通过平移操作重合在一起的。
因此，它们符合等效点的定义，故空间格子中的点也是等效点。
第八章习题
1.以式（8-2）求出成核的临界半径rc。
答：
式（8-2）ΔG=πr3ΔGv0+4πr2ΔGs0中，ΔGv0和ΔGs0为可以看作是常数，该式可以看成是ΔG和r间的函数。
当r=rc时，ΔG达到最大值。
此时，d（ΔG）/d（r）=0。
按照这一关系，对式（8-2）取导数，可变为：
d（ΔG）/d（r）=4πr2ΔGv0+8πrΔGs0=0
上式的计算结果为：
r=0或r=-2ΔGs0/ΔGv0
由于rc≠0，所以rc=-2ΔGs0/ΔGv0
2.在日常生活中我们经常看到这样一种现象：
一块镜面，如果表面有尘埃，往上呵气时会形成雾状水覆盖在上面，但如果将镜面擦干净再呵气，不会形成一层雾状水。
请用成核理论解释之。
答：
当镜面表面有尘埃的时候，尘埃可以作为“晶核”，呵气时，水蒸汽可以以尘埃为中心进行凝结。
故可以在镜面上产生雾状水。
将镜面刮干净后，尘埃消失。
再往上镜面上呵气，原先的“晶核”已经消失，水蒸气首先要形成结晶核，然后才能进一步结晶。
因此不易形成雾状水。
3.说明层生长模型与螺旋生长模型有什么联系和区别。
答：
层生长理论和螺旋生长理论模型都是将生长质点假设为球形或立方体，生长界面也是简单的立方格子构造；它们的基本生长原理是一致的：
新来质点占据三面凹角处的几率最大，二面凹角处次之。
但是，它们的初始生长状态不同，层生长理论初始状态是一个完整的没有瑕疵的晶体结构，而螺旋生长理论初始状态是有缺陷的结构，如：
位错等；层生长需要形成二维核，螺旋生长则借助于螺旋位错提供的凹角不断生长，不需要二维核。
4.论述晶面的生长速度与其面网密度之间的关系。
答：
根据布拉维法则图示可知，垂直于面网密度小的方向是晶体生长速度快的方向，垂直于面网密度大的方向是晶体生长速度慢的方向。
这样生长速度快的方向的晶面尖灭，生长速度慢的晶面保留，从而导致了实际晶面往往与面网密度大的面网平行的现象。
5.说明布拉维法则与PBC理论有什么联系和区别。
答：
布拉维法则主要是从晶体内部结构质点排布出发，讨论面网密度与实际晶面间的关系。
而PBC理论则是从晶体结构中化学键分布特点来探讨晶面的生长发育。
这两种理论可以相互符合：
如面网密度大的面网所包含的PBC键链数目也多故生长速度慢。
第九章习题
1.请说明双晶面决不可能平行于单晶体中的对称面；双晶轴决不可能平行于单晶体中的偶
次对称轴；双晶中心则决不可能与单晶体的对称中心并存。
答：
这题可以用反证法
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