高二第二学期期末考试数学试题理科2doc.docx
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高二第二学期期末考试数学试题理科2doc
2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.设全集U是实数集R,集合M
xx
2或x
2,N
xx2
4x30,则图中
阴影部分所表示的集合是
（
）
A．{x|2x1}
B．{x|2x2}
C．{x|1x2}
D．{x|x2}
2.下面是关于复数
z
1
3i的四个命题：
其中的真命题为（
）
1
i
①在复平面内，复数
z对应的点位于第二象限
②复数z的虚部是-2
③复数z是纯虚数
④z
5
A.①②
B.
①③
C.
②④
D.
③④
1
0.2
1
3．设alog13,b
c
23,则（
）
3
2
A．
B．
C．
D．
4．已知向量a＝（1，－cos
），b＝（1，2cos
）且a⊥b，则cos2
等于（）
1
2
A．－1
B．0
C.2
D.
2
5.在
ABC中，角A、Ｂ、Ｃ所对的边分别是
a、b、c，若a
3
2B，则cosB等于（
）
b，A
2
A．
3
3
3
Ｄ．
3
3
B．
Ｃ．
6
4
5
6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到
同一个班，则不同分法的种数为（）
A.18B.24C.30D.36
7.若下框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）
A.k7B.k6C.k6D.k6
8.若某几何体的三视图（单位：
cm）如图所示，则该几何体的
体积等于（）
A.10cm3
B.20cm3
C.30cm3
D.40cm3
9.下列说法中，正确的是（
）
A．命题“若am2
bm2
，则a
b”的逆命题是真命题
B．命题“存在x
R,x2
x0
”的否定是：
“任意x
R,x2
x0”
C．命题“p或q”为真命题，则命题“
p”和命题“q”均为真命题
D．“b0”是“函数f（x）ax2
bx
c是偶函数”的充分不必要条件
10．右图是函数
y＝Asin（ωx＋φ）（A
0，
0，||
）图像的一部分．为了得到
2
这个函数的图像，只要将
y＝sinx（x∈R）的图像上所有的点
（
）
A.向左平移
π
1，纵坐标不变.
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
2
B.向左平移
π
2倍，纵坐标不变.
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
C.向左平移
π
1
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
2，纵坐标不变.
D.向左平移
π
2倍，纵坐标不变.
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
43
5
正视图侧视图
3
俯视图
11.已知定义在
R上的函数yf
x对任意x都满足f
x1
fx，且当0
x1时，f
xx，则函数
gxfx
ln|x|的零点个数为（）
A．2
B
．3
C.4
D
．5
12.定义在
R
上的函数f（x）
满足：
f（x）
f（x）
1,f（0）
4,则不等式exf（x）ex
3（其中e为
自然对数的底数）的解集为（）
A.0,
B.
0
3,
C.
0
0,
D.3,
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分，共20分.
13.函数y
f（x）的定义域为（
，1]，则函数y
f[log2（x2
2）]的定义域是________
14.已知a
（sint
cost）dt，则
（x
1）6的展开式中的常数项为
.
0
ax
15.函数f（x）
1logax（a
0,a
1）的图像恒过定点
A，若点A在直线mx
ny20上，其中mn0,
则1
1
得最小值为
.
m
n
16．已知函数f
x
lnx,x
0
若方程fx
ax有三个不同的实数根，则
a的取值范围是
．
2x1,x0
三、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题共
12分）设数列
{an}的前n项和为Sn,a1
10,ann11
n
10
9
9，a
9S
9n
（1）求证：
an1是等比数列；
（2）若数列bn
满足bn
1
n
N,
lgan1
lgan1
1
求数列bn
的前n项和Tn；
C1
18.（本小题满分
12分）如图，三棱柱ABC
A1B1C1中，侧棱AA1
A1
平面ABC，
ABC为等腰直角三角形，
BAC
90，且
E
AB
AA1,E,F分别是CC1,BC的中点.
（Ⅰ）求证：
B1F
平面AEF；
C
（Ⅱ）求锐二面角
B1
AEF的余弦值.
F
19.某高校在2017
年的自主招生考试成绩中随机抽取
n名学生的笔试
A
成绩（被抽取学生的
成绩均不低于160分,且不高于185
分），按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.
（1）
请先求出n、a、b、c的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第
3、4、5组中用分层抽样抽取
第二轮面试，求第
3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在
（2）的前提下，学校决定在
6名学生中随机抽取
2名学生接受
A考官进行面试，
第4组中有ξ名学生被考官A面试，求ξ的分布列和数学期望.
组号
分组
频数
频率
频率/组距
第1组
160,165
5
0.050
0.08
0.07
B1
B
6名学生进入
第2组165,170ab
0.06
0.05
第3组
170,175
30
c
第4组
175,180
20
0.200
第5组
[180,185]
10
0.100
0.04
0.03
0.02
0.01
O160165170175180185成绩
20.（本小题共12分）已知椭圆
x2
y21（a
b
0）的一个焦点
F
与抛物线y2
4x的焦点重合，且截
a2
b2
抛物线的准线所得弦长为
2，倾斜角为45
的直线l过点F.
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为
F1，问抛物线y2
4x上是否存在一点
M，使得M与F1关于直线l对称，
若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.
21.（本小题共
12分）已知函数
f（x）ex
1
x
（Ⅰ）求y
f（x）在点1,f
（1）
处的切线方程；
（Ⅱ）若存在
x0
1,ln4
，满足aex1
x
0成立，求a的取值范围；
3
（Ⅲ）当x
0时，f（x）
tx2
恒成立，求t的取值范围.
选考题：
请考生在第
22、23
题中任选一题作答
.如果多做，按所做的第一题计分
.作答时请写清题号．
22．（本小题满分
10分）选修4—4：
极坐标系与参数方程．
x
2
3t
在直角坐标系
中，曲线C1的参数方程为
5
为参数
．曲线
2
x
2
y
2
4y0，以坐标
xoy
（t
）
C:
y
2
4t
5
原点为极点，以
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点
P的极坐标为（22,
4
）．
（I）求曲线C2的极坐标方程；
（Ⅱ）若C1与C2相交于
M、N两点，求
1
1
PM
的值.
PN
23．（本小题满分
10分）选修4—5：
不等式选讲
已知fx2x
m
m
R．
（I）当m=0时，求不等式
f
x
x2
5
的解集；
（Ⅱ）对于任意实数
x，不等式2x
2
f
x
m2成立，求m的取值范围．
2017-2018学年度高二第二学期期末考试
数学试题（理科）答案
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
CCABBCDBBABA
二、填空题：
本题共
4小题，每小题
5分，共20分.
13.2,2
2，2
14.
5
15.2
16（.0,1）
2
e
三、解答题：
共70
分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤
.第17~21题为必做题，每个试题考生都
必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17.（本小题共
12分）解：
（1）依题意，a2
99，故a2
1
10，
a1
1
当n
2时，an
9Sn1
9n
①
又an1
9Sn
9n
9
②
②－①整理得：
an1
1
10
，故an
1
是等比数列，
an
1
（2）由
（1）知，且an
1
a1
1qn
1
10n，
lgan
1n，lgan1
bn
1
1
1
lgan
11
n（n
1）
lgan
Tn
1
1
1
1
2
2
3
3
4
nn
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
N
2
2
3
3
4
n
n
1
n
1
18.（本小题满分12分）
（Ⅰ）连结
AF
，∵
F
是等腰直角三角形
ABC
斜边
BC
的中点，∴
C1
AFBC.
又三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，
E
∴面ABC
面BB1C1C，
∴AF
面BB1C1C，AFB1F.
C
设AB
AA1
1，则B1F
6,EF
3,B1E
3.
2
2
2
1n1
B1
A1
B
F
A
∴B1F2EF2B1E2，∴B1FEF.
又AFEF
F，∴
B1F
平面AEF.
（Ⅱ）以F为坐标原点，
FA,FB分别为x,y轴建立直角坐标系如图，设
ABAA1
1，
则F（0,0,0）,
A（
2,0,0）,B1（0,
2,1）,E（0,
2,1），
z
2
2
22
2
2
1
2
2
C1
B1
1）.
AE（
），AB1
（
2
2
2
2
2
A1
由（Ⅰ）知，
B1F
平面AEF，
E
∴可取平面AEF的法向量m
FB1（0,
2
1）.
B
2
C
F
设平面B1AE的法向量为n（x,y,z），
y
A
x
由
nAE0,
nAB10
∴可取n
（3,
1,2
2）
.
设锐二面角B1
AE
F的大小为
，
mn
0
3
2
（1）
12
2
6
则cos
|cos
m,n
|
2
.
|m||n|
2）212
6
02
（
32
（1）2
（22）2
2
∴所求锐二面角
B1
AEF的余弦值为
6.
6
19.（本小题共12分）【解】：
（1）由第1组的数据可得n
5
100，第2组的频率b=0.075
0.350，
0.050
第2组的频数为a=100
0.075
35人,
第3组的频率为c=30
0.300,
100
频率分布直方图如右
:
（2）因为第3、4、5组共有60名学生,
所以利用分层抽样在
60名学生中抽取
6名学
为:
第3组:
30
6
3人,6分
60
第4组:
206
2人,7分
60
频率/组距
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
生,每组分别
0.02
0.01
O160165170175180185成绩
第5组:
1061人,8分
60
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人.
（3）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2
该变量符合超几何分布，
∴
∴分布列是
ξ
0
1
2
P
∴
20.（本小题共12分）解：
（Ⅰ）抛物线y2
4x的焦点为F（1,0），准线方程为x
1，
∴
a2
b2
1
①
又椭圆截抛物线的准线
x
1所得弦长为
2，
1
1
∴
得上交点为（
1,
2
2
1
②
），∴
2
b2
2
a
由①代入②得2b4
b2
1
0，解得b2
1
或b2
1
（舍去），
2
从而a2
b2
1
2
∴
该椭圆的方程为该椭圆的方程为
x2
y2
2
1
1
（Ⅱ）∵
倾斜角为45
的直线l过点F，
∴直线l
的方程为y
tan45（x1），即y
x1，
由（Ⅰ）知椭圆的另一个焦点为
F1（
1,0），设M（x0,y0）与F1关于直线l对称，则得
y0
0
1
1
x0
1
x0
1
，即M（1,
2），
，解得
y0
0
x0
（
1）
1
y0
2
2
2
又M（1,
2）满足y2
4x，故点M在抛物线上.所以抛物线y2
4x上存在一点M（1,
2），使得M与
F1关于直线l对称.
21.（本小题共12分）
解：
（Ⅰ）
fx
ex1
f1e2
fx在1,f1
处的切线方程为：
ye2
e
1
x1
即y
e1x
1
（Ⅱ）
aex
1x
即afx
令fxex
1
0
x0
x0时，
f
x
0，x
0时，
fx0
f
x在
0
上减，在
0,
上增
又x0
1,ln4
时，
f
x
的最大值在区间端点处取到.
3
f1
e111
1
fln4
41ln4
e
3
3
3
f
1
f
4
1
4
1
4
1
1
4
ln
e
3
ln
e
3
ln0
3
3
3
f
1
f
ln
4
f
x
在
1,ln
4
上最大值为
1，
3
3
e
故a的取值范围是：
a<1
e.
（Ⅲ）由已知得x
0,时ex
x
1tx2
0
恒成立，设g
x
ex
x
1tx2.g'xex12tx.
由（Ⅱ）知ex
1x，当
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