高三数学北师大版文一轮课后限时集训38 二元一次不等式组与简单的线性规划问题.docx
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高三数学北师大版文一轮课后限时集训38二元一次不等式组与简单的线性规划问题
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
建议用时：
45分钟
一、选择题
1．不等式x2－y2≤0表示的平面区域（用阴影部分表示）应是（ ）
A B C D
D [x2－y2≤0⇔（x＋y）（x－y）≤0⇔
或
结合图形可知选D.]
2．设x，y满足约束条件
则z＝x－y的取值范围是（ ）
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2]D．[0,3]
B [画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
由题意可知，当直线y＝x－z过点A（2,0）时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B（0,3）时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.
所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．
故选B.]
3．若变量x，y满足
则x2＋y2的最大值是（ ）
A．4B．9
C．10 D．12
C [作出不等式组表示的
平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由
得A（3，－1），由图易得（x2＋y2）max＝|OA|2＝32＋（－1）2＝10.
故选C.]
4．若x，y满足
且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为（ ）
A.
B.
C．1D．2
D [由选项得m＞0，作出不等式组
表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
因为z＝3x－y，所以y＝3x－z，当直线y＝3x－z经过点A时，直线在y轴上的截距－z最小，即目标函数取得最大值2.
由
得A（2，4），代入直线mx－y＝0得2m－4＝0，所以m＝2.]
5．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）
甲
乙
原料限额
A（吨）
3
2
12
B（吨）
1
2
8
A．12万元B．16万元
C．17万元D．18万元
D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有
目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：
可得目标函数在点A处取到最大值．
由
得A（2,3）．
则zmax＝3×2＋4×3＝18（万元）．]
二、填空题
6．（2018·全国卷Ⅲ）若变量x，y满足约束条件
则z＝x＋
y的最大值是________．
3 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y＝－3x，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x＝2与直线x－2y＋4＝0的交点（2,3）时，z＝x＋
y取得最大值，即zmax＝2＋
×3＝3.
]
7．若变量x，y满足约束条件
则（x－2）2＋y2的最小值为________．
5 [作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示，
设z＝（x－2）2＋y2，
则z的几何意义为区域内的点到定点D（2,0）的距离的平方，
由图知C，D间的距离最小，此时z最小．
由
得
即C（0,1），
此时zmin＝（x－2）2＋y2＝4＋1＝5.]
8．已知实数x，y满足约束条件
则目标函数z＝
的最大值为________．
－
[作出约束条件所表示的平面区域，其中A（0,1），B（1,0），C（3,4）．
目标函数z＝
表示过点Q（5，－2）与点（x，y）的直线的斜率，且点（x，y）在△ABC平面区域内．
显然过B，Q两点的直线的斜率z最大，最大值为
＝－
.]
三、解答题
9．如图所示，已知D是以点A（4,1），B（－1，－6），C（－3,2）为顶点的三角形区域（包括边界与内部）．
（1）写出表示区域D的不等式组；
（2）设点B（－1，－6），C（－3,2）在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．
[解]
（1）直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点（0,0）在区域D内，故表示区域D的不等式组为
（2）根据题意有[4×（－1）－3×（－6）－a]·[4×（－3）－3×2－a]＜0，
即（14－a）（－18－a）＜0，
解得－18＜a＜14.故a的取值范围是（－18,14）．
10．若x，y满足约束条件
（1）求目标函数z＝
x－y＋
的最值；
（2）若目标函数z＝ax＋2y仅在点（1,0）处取得最小值，求a的取值范围．
[解]
（1）作出可行域如图，可求得A（3,4），B（0,1），C（1,0）．
平移初始直线
x－y＋
＝0，过A（3,4）时z取最小值－2，过C（1,0）时z取最大值1.
所以z的最大值为1，最小值为－2.
（2）直线ax＋2y＝z仅在点（1,0）处取得最小值，由图像可知－1＜－
＜2，
解得－4＜a＜2.
故a的取值范围是（－4,2）．
1．已知实数x，y满足约束条件
若目标函数z＝y－ax（a≠0）取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A．2B．1
C．1或2D．－1
B [不等式组表示的平面区域如图所示：
由z＝y－ax得y＝ax＋z，当a＜0时，不合题意．
当a＞0时，直线y＝ax＋z与AC重合时，z取得最大值的最优解有无数个，则a＝1，故选B.]
2．若不等式组
表示的平面区域为三角形，且其面积等于
，则m的值为（ ）
A．－3B．1
C.
D．3
B [作出可行域，如图中阴影部分所示，易求A，B，C，D的坐标分别为A（2,0），B（1－m,1＋m），C
，D（－2m,0）．
S△ABC＝S△ADB－S△ADC＝
|AD|·|yB－yC|＝
（2＋2m）·
＝（1＋m）
＝
，解得m＝1或m＝－3（舍去）．]
3．（2019·南阳模拟）已知O是坐标原点，点A（－1,1），若点M（x，y）为平面区域
上的一个动点，则
·
的取值范围是________．
[0,2] [作出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示，
因为点A（－1,1），点M（x，y），所以
·
＝y－x，令y－x＝m，平移直线y－x＝m，由图可知，当直线经过点D（1,1）时，m取得最小值，且最小值为0，当直线经过点C（0,2）时，m取得最大值，且最大值为2，所以y－x的取值范围是[0,2]，故
·
的取值范围是[0,2]．]
4．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
原料
肥料
A
B
C
甲
4
8
3
乙
5
5
10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
并求出此最大利润．
[解]
（1）由已知，x，y满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．
图1
（2）设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.
考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－
x＋
，它的图像是斜率为－
，随z变化的一组平行直线，
为直线在y轴上的截距，当
取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大．
图2
解方程组
得点M的坐标为（20,24），
所以zmax＝2×20＋3×24＝112.
即生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．
1．已知不等式组
表示的平面区域为D，若对任意的（x，y）∈D，不等式t－4＜x－2y＋6＜t＋4恒成立，则实数t的取值范围是________．
（3,5） [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
可求得A（3,4），B（0,1），C（1,0），设z＝x－2y＋6，平移直线y＝
x，可知z＝x－2y＋6在A（3,4）处取得最小值1，在C（1,0）处取得最大值7，所以
解得3＜t＜5，故实数t的取值范围是（3,5）．]
2．已知函数f（x）＝x2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求b＋2c的取值范围．
[解] 由函数f（x）＝x2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，
且0＜x1＜1＜x2＜2，
则
设z＝b＋2c，
作出约束条件所表示的平面区域（如图阴影部分，不含边界），如图所示，
由图像可知，当z＝b＋2c经过点A时，目标函数z＝b＋2c取得最大值，
当z＝b＋2c经过点B时，目标函数z＝b＋2c取得最小值，
又由
解得A（－3,2），
此时zmax＝－3＋2×2＝1，
由
解得B（－2,0），
此时zmin＝－2＋2×0＝－2，
所以b＋2c的取值范围是（－2,1）．
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