北京市西城区届高三数学第一次模拟考试试题 理.docx

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北京市西城区届高三数学第一次模拟考试试题理

北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题

数学（理科）

2012.4

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．已知全集，集合，则（）

（A）

（B）

（C）

（D）

2．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的

值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

3．若实数，满足条件则的最大值为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．

其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．已知函数的最小正周期是，那么正数（）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．若，，，则下列结论正确的是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．设等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若对，有，则的取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

8．已知集合，其中，且.则中所有元素之和等于（）

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.

9.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒

与秒之间．将测试结果分成组：

，，

，，，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为

，那么成绩在的学生人数是_____．

10．的展开式中，的系数是_____．（用数字作答）

11.如图，为⊙的直径，，弦交

于点．若，，则_____．

12.在极坐标系中，极点到直线的距离是_____．

13.已知函数其中．那么的零点是_____；若的

值域是，则的取值范围是_____．

14.在直角坐标系中，动点， 分别在射线和上运

动，且△的面积为．则点，的横坐标之积为_____；△周长的最小值是

_____．

三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15.（本小题满分13分）

在△中，已知．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若，，求．

16.（本小题满分13分）

乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同

（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；

（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；

（Ⅲ）求比赛局数的分布列.

17．（本小题满分14分）

如图，四边形与均为菱形，，且．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求证：

∥平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

18.（本小题满分13分）

已知函数，其中.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，

使平分？

若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

对于数列，定义“变换”：

将数列变换成数

列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．

（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？

若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；

（Ⅲ）证明：

一定能经过有限次“变换”后结束．

数学（理科）参考答案及评分标准

2012.4

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.C；2.D；3.A；4.A；5.B；6.D；7.A；8.D.

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9.；10.；11.；

12.；13.和，；14.，.

注：

13题、14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分.

15.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

原式可化为．…………3分

因为，所以，

所以．…………5分

因为，所以．……………6分

（Ⅱ）解：

由余弦定理，得．………8分

因为，，

所以．…………10分

因为，………12分

所以．…………13分

16.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是．………1分

记“甲以比获胜”为事件，

则．…………4分

（Ⅱ）解：

记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.

因为，乙以比获胜的概率为，……………6分

乙以比获胜的概率为，………7分

所以．…………8分

（Ⅲ）解：

设比赛的局数为，则的可能取值为．

，…………9分

，…………10分

，……………11分

．………………12分

比赛局数的分布列为：

………………13分

17.（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：

设与相交于点，连结．

因为四边形为菱形，所以，

且为中点．………………1分

又，所以．………3分

因为，

所以平面．………………4分

（Ⅱ）证明：

因为四边形与均为菱形，

所以//，//，

所以平面//平面．………………7分

又平面，

所以//平面．……………8分

（Ⅲ）解：

因为四边形为菱形，且，所以△为等边三角形．

因为为中点，所以，故平面．

由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．………………9分

设．因为四边形为菱形，，则，所以，

．

所以．

所以，．

设平面的法向量为，则有

所以取，得．………………12分

易知平面的法向量为．………………13分

由二面角是锐角，得．

所以二面角的余弦值为．……………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

当时，，．…………2分

由于，，

所以曲线在点处的切线方程是．……4分

（Ⅱ）解：

，．…………6分

①当时，令，解得．

的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分

当时，令，解得，或．

②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．……10分

③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分

④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．…………13分

19.（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：

由，得.………2分

依题意△是等腰直角三角形，从而，故.…………4分

所以椭圆的方程是.……5分

（Ⅱ）解：

设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得.……7分

所以，.……8分

若平分，则直线，的倾斜角互补，

所以.…………9分

设，则有.

将，代入上式，

整理得，

所以.………………12分

将，代入上式，

整理得.……………13分

由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分.…………14分

20.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

数列不能结束，各数列依次为；；；；；

；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形．……2分

数列能结束，各数列依次为；；；．

……………3分

（Ⅱ）解：

经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．……4分

若，则经过一次“变换”就得到数列，从而结束．……5分

当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列为常数列，则为常数列”．

当时，数列．

由数列为常数列得，解得，从而数列也

为常数列．

其它情形同理，得证．

在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列．………8分

所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．

（Ⅲ）证明：

先证明引理：

“数列的最大项一定不大于数列的最大项，其中”．

证明：

记数列中最大项为，则．

令，，其中．

因为，所以，

故，证毕．……………9分

现将数列分为两类．

第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，．

第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时．

下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．

不妨令数列的第一项为，第二项最大（）．（其它情形同理）

①当数列中只有一项为时，

若（），则，此数列各项均不为

或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若，则；

此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；

若（），则，此数列各项均不为，为第一

类数列；

若，则；；，

此数列各项均不为，为第一类数列．

②当数列中有两项为时，若（），则，此数列各项均不为，为第一类数列；

若（），则，，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．

③当数列中有三项为时，只能是，则，

，，此数列各项均不为，为第一类数列．

总之，第二类数列至多经过次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．

又因为各数列的最大项是非负整数，

故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．………………13分