A．1B．2
C．3D．4
（2）（2014·江西省七校联考）若集合P＝{x|3＜x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q⊆（P∩Q）成立的所有实数a的取值范围为（ ）
A．（1，9）B．[1，9]
C．[6，9）D．（6，9]
[解析]
（1）由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，
∴A＝{1，2}．
由题意知B＝{1，2，3，4}，
∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
（2）依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是
，
解得6＜a≤9，
则实数a的取值范围是（6，9]，故选D.
[答案]
（1）D
（2）D
[方法感悟]
（1）判断两集合的关系常有两种方法：
一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
（2）子集与真子集的区别与联系：
集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1.
注意：
题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
2．（2013·高考福建卷）已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：
选A.∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
集合的基本运算
（1）（2014·山东济南市高考模拟考试）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2－3x－4＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＞0}B．{x|x＜－1或x＞0}
C．{x|x＞4}D．{x|－1≤x≤4}
（2）设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2＞4，x∈N}，B＝{0，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x|x＞2，x∈N}
B．{x|x≤2，x∈N}
C．{0，2}
D．{1，2}
[解析]
（1）集合A＝（0，＋∞），B＝（－∞，－1）∪（4，＋∞），故A∩B＝（4，＋∞）．
（2）由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩（∁UA），∁UA＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，∵B＝{0，2，3}，∴B∩（∁UA）＝{0，2}，故选C.
[答案]
（1）C
（2）C
[方法感悟]
（1）在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．
（2）在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
3．
（1）（2014·湖北荆州市质量检测）设集合A＝{x|
＞1，x∈R}，B＝{x|y＝
}，则（∁RA）∩B＝（ ）
A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1＜x＜1}
C．{－1，1}D．{1}
（2）（2013·高考湖南卷）已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则（∁UA）∩B＝________.
解析：
（1）集合A＝{x|
＞1}＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|y＝
}＝{x|－1≤x≤1}，∁RA＝{x|x≤－1或x≥1}，
∴（∁RA）∩B＝{－1，1}．
（2）∵U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，∴∁UA＝{6，8}．
∴（∁UA）∩B＝{6，8}∩{2，6，8}＝{6，8}．
答案：
（1）C
（2）{6，8}
集合中的创新问题
（2014·广东揭阳二模）对于集合M，定义函数fM（x）＝
对于两个集合A，B，定义集合A△B＝{x|fA（x）·fB（x）＝－1}．已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，12}，则用列举法写出集合A△B的结果为________．
[解析] 要使fA（x）·fB（x）＝－1，必有x∈{x|x∈A且x∉B}∪{x|x∈B且x∉A}＝{1，6，10，12}，所以A△B＝{1，6，10，12}．
[答案] {1，6，10，12}
[方法感悟] 以集合背景的创新问题是近几年高考命题的一个热点，创新题型一般分为新定义、新运算、新性质三类，解决此类问题的关键按照新的定义（运算或性质）结合相关知识，准确提取信息、加工信息及相关的推理运算，从而达到解决问题的目的．
4．设A，B是两个非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2，y≥0}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝（ ）
A．[0，1]∪（2，＋∞）B．[0，1）∪（2，＋∞）
C．[0，1]D．[0，2]
解析：
选A.∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，
A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，
∴A×B＝[0，1]∪（2，＋∞），故选A.
1．集合中元素特征认识不明致误
（2012·高考课标全国卷）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．6
C．8D．10
[解析] ∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1，2，3，4，5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1，2；x＝4，y＝1，2，3；x＝5，y＝1，2，3，4.
∴B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）}，
∴B中所含元素的个数为10.
[答案] D
本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个：
一是误以为集合B中的元素（x，y）不是有序数列对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．
判断集合中元素的性质时要注意两个方面：
一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、（x，y）；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的定义域，{y|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）的值域，{（x，y）|y＝f（x）}表示函数y＝f（x）图象上的点．
2．遗漏空集致误
若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为________．
[解析] P＝{－3，2}，当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－
，
为满足S⊆P可使－
＝－3或－
＝2，
即a＝
或a＝－
.
故所求集合为
.
[答案]
[易错点及错因分析] 从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．
（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
（2）在解答本题时，存在两个典型错误：
一是忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－
可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解．
1．若集合A＝{（x，y）|y＝cosx，x∈R}，B＝{x|y＝lnx}，则A∩B＝（ ）
A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}
C．{x|0解析：
选D.集合A是对应函数y＝cosx图象上的点集，而集合B是对应函数y＝lnx的定义域，所以它们没有公共元素，故A∩B＝∅.
2．已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|1A．∅B．{
}
C．{
，
}D．{
，
，0}
解析：
选D.由A∩B＝A，得A⊆B.
因为B＝{x|1当A＝∅时，则方程ax－1＝0无实数解，
所以a＝0，此时显然有A⊆B，符合题意．
当A≠∅时，则由方程ax－1＝0得x＝
.
要使A⊆B，则
＝3或
＝4，即a＝
或a＝
.
综上所述，a的所有可能取值组成的集合是{0，
，
}，故选D.
[基础达标]
1．（2013·高考山东卷）已知集合A，B均为全集U＝{1，2，3，4}的子集，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3} B．{4}
C．{3，4}D．∅
解析：
选A.∵U＝{1，2，3，4}，∁U（A∪B）＝{4}，
∴A∪B＝{1，2，3}．又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}．
又∁UB＝{3，4}，∴A∩∁UB＝{3}．
2．（2014·安徽合肥市质量检测）已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B＝{x∈R|x2－x－2＜0}，且R为实数集，则下列结论正确的是（ ）
A．A∪B＝RB．A∩B≠∅
C．A⊆（∁RB）D．A⊇（∁RB）
解析：
选C.集合A＝{x|x≥2或x≤－2}，B＝{x|－1＜x＜2}，所以A⊆（∁RB）．
3．已知集合A＝{1，10，
}，B＝{y|y＝lgx，x∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{
}B．{10}
C．{1}D．∅
解析：
选C.∵B＝{y|y＝lgx，x∈A}＝{y|y＝lg1，y＝lg10，y＝lg
}＝{0，1，－1}，∴A∩B＝{1}，故选C.
4．（2014·湖北省八校联考）已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|（a－2）（a2－3）＝0，a∈M}，则集合A的子集共有（ ）
A．1个B．2个
C．4个D．8个
解析：
选B.|a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，（a－2）（a2－3）＝0⇒a＝2或a＝±
（舍），即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个，故选B.
5．（2014·湖北武汉市武昌区考试）已知全集U＝R，集合A＝{x|lg（x＋1）≤0}，B＝{x|3x≤1}，则∁U（A∩B）＝（ ）
A．（－∞，0）∪（0，＋∞）B．（0，＋∞）
C．（－∞，－1]∪（0，＋∞）D．（－1，＋∞）
解析：
选C.lg（x＋1）≤0⇒0＜x＋1≤1⇒－1＜x≤0，3x≤1⇒x≤0，则A∩B＝（－1，0]，∁U（A∩B）＝（－∞，－1]∪（0，＋∞）．
6．已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是________．
解析：
∵1∉{x|x2－2x＋a＞0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.
答案：
（－∞，1]
7．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m＝________．
解析：
A＝{－1，2}，B＝∅时，m＝0；B＝{－1}时，m＝1；B＝{2}时，m＝－
.
答案：
0，1，－
8．（2012·高考天津卷）已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）＜0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________．
解析：
A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，
由A∩B＝（－1，n）可知m＜1，
则B＝{x|m＜x＜2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.
答案：
－1 1
9．集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，集合B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．
解：
∵A∩B＝{x|1＜x＜3}，∴b＝3.
又A∪B＝{x|x＞－2}，
∴－2＜a≤－1.
又A∩B＝{x|1＜x＜3}，
∴－1≤a＜1，
∴a＝－1.
10．设集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，集合B＝{x|ax－1＝0}．
（1）若a＝
，试判定集合A与B的关系；
（2）若B⊆A，求实数a组成的集合C.
解：
由x2－8x＋15＝0，得x＝3或x＝5.
∴A＝{3，5}．
（1）当a＝
时，由
x－1＝0，得x＝5.
∴B＝{5}，∴B
A.
（2）∵A＝{3，5}且B⊆A，
∴若B＝∅，则方程ax－1＝0无解，有a＝0.
若B≠∅，则a≠0，
由方程ax－1＝0，得x＝
，
∴
＝3或
＝5，即a＝
或a＝
，
∴C＝
.
[能力提升]
1．（2014·洛阳市考试）已知集合A＝{x|
≤0，x∈N}，B＝{x|
≤2，x∈Z}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．1B．2
C．4D．8
解析：
选D.由
≤0得0＜x≤2，因此A＝{1，2}；由
≤2得0≤x≤4，因此B＝{0，1，2，3，4}，满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数是23＝8，故选D.
2．（2014·河南省三市高三第二次调研）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（X*Y）*Z＝（ ）
A．（X∪Y）∩∁UZB．（X∩Y）∪∁UZ
C．（∁UX∪∁UY）∩ZD．（∁UX∩∁UY）∪Z
解析：
选B.依题意得（X*Y）＝∁U（X∩Y）＝（∁UX）∪（∁UY），（X*Y）*Z＝∁U[（X*Y）∩Z]＝∁U[∁U（X∩Y）∩Z]＝{∁U[∁U（X∩Y）]}∪∁UZ＝（X∩Y）∪∁UZ，故选B.
3．已知全集U＝{－2，－1，0，1，2}，集合A＝
，则∁UA＝________．
解析：
因为A＝
，
当n＝0时，x＝－2；n＝1时不合题意；
n＝2时，x＝2；n＝3时，x＝1；
n≥4时，x∉Z；n＝－1时，x＝－1；
n≤－2时，x∉Z.
故A＝{－2，2，1，－1}，
又U＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁UA＝{0}．
答案：
{0}
4．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合；
②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；
③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
其中正确结论的序号是________．
解析：
①中，－4＋（－2）＝－6∉A，所以不正确；
②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；
③令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝
k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．
答案：
②
5．（2014·河北衡水模拟）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
（1）求（∁IM）∩N；
（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：
（1）∵M＝{x|（x＋3）2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，
∴（∁IM）∩N＝{2}．
（2）A＝（∁IM）∩N＝{2}，
∵A∪B＝A，∴B⊆A，
∴B＝∅或B＝{2}，
当B＝∅时，a－1＞5－a，得a＞3；
当B＝{2}时，
，解得a＝3，
综上所述，所求a的取值范围为{a|a≥3}．
6．（选做题）已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|（x－a）·（x－3a）＜0}．
（1）若A⊆B，求a的取值范围；
（2）若A∩B＝∅，求a的取值范围；
（3）若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的取值范围．
解：
∵A＝{x|x2－6x＋8＜
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