离散数学结构试题集5.docx

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离散数学结构试题集5

第5章

一.填空题

1.群中有唯一的（）。

2.如果群运算是可交换的，则群为（）。

3.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y∈A，则称

二元运算*在A上是（）。

4.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称

二元运算*在A上是（）。

5.设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x

+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（）。

（填写可交

互/不可交换）

6.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有（x*y）*z=x*（y*z）

，则称二元运算*在A上是（）。

7.设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y，

则二元运算★在A上是（）。

（填写可结合/不可结合）

8.设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有（x*y）

★z=（x★z）*（y★z），z★（x*y）=（z★x）*（z★y）,则称二元运算★对于*在A上是（

）。

9.设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x

*（x★y）=x,x★（x*y）=x,则称二元运算*对于★在A上满足（）。

10.设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算

*是（）。

11.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el

*x=x，则称el为A中关于运算*的（）。

12.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol

*x=x，则称ol为A中关于运算*的（）。

13.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*

erl=x，则称er为A中关于运算*的（）。

14.设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*

or=x，则称or为A中关于运算*的（）。

15.如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（

）。

16.如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（

）。

17.设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存

在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的（）。

18.对于实数域上的乘法元算，每个元素（）逆元。

（填写一定有/不一定有

）

19.对于实数域上的加法运算，（）零元。

（填写存在/不存在）

20.对于整数域上的加法运算，（）么元。

（填写存在/不存在）

21.对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么叫做（）。

22.正整数上的加法运算（）半群。

（填写是/不是）

23.实数域上的除法运算（）半群。

（填写是/不是）

24.整数域上的加法运算（）群。

（填写是/不是）

25..如果群的运算满足交换率，则这个群叫（）。

26.循环群（）生成元。

（填写必有/不一定有）

27.设f是由到的一个同态，如果f（）,则称f为满同态的

。

28.设f是由到的一个同态，如果f（）,则称f为同构的。

29.设f是群到的一个同态映射，如果e’是B中的么元，Ker（f）=（

），则称Ker（f）为同态映射f的核。

30.设R是代数系统上的一个等价关系，如果当,∈R时，蕴含着

d>∈R，则称R为A上关于★的（）。

二.选择题

1.下面那个性质不是群必有的？

（）

A）运算的封闭性B）幺元C）零元D）运算的交换性

2.设集合A={1,2,…,10},下面定义的那个二元运算*关于A不封闭？

（）

A）x*y=max（x,y）B）x*y=质数p的个数，使得x<=p<=y

C）x*y=min（x,y）D）x*y=（（x+y）mod10）+1

3.是一个半群，如果S是一个有限集，则必有（）

A）幺元B）零元C）等幂元D）不确定

4.下面那个代数系统表示的范围最大？

（）

A）群B）半群C）阿贝尔群D）独异点

5.同构关系必然是一个（）

A）等价关系B）偏序关系C）同余关系D）同态关系

6.在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？

（）

A）a*b=a-bB）a*b=max{a,b}C）a*b=a+2bD）a*b=|a-b|

7.同构关系必然是一个（）

A．等价关系B.偏序关系C.同余关系D.相容关系

8.设是群，a,b∈G,则下列结论不正确的是（）

A．（a*b）-1=b-1*a-1B．a*x=b有唯一解

C．a*x=a*y,则x=yD．a*b=b*a

9.下面那个运算不满足运算的封闭性？

（）

A）自然数上的加法B）有理数上的乘法C）1到10之间的模11加法D）0到9之

间的模10加法

10.下面那个不满足结合律？

（）

A）自然数上的加法B）有理数上的乘法C）自然数上的max（a,b）D）自然数上的减法

11.对于代数系统，Nk={0,1,…,k-1}，+k是定义在Nk上的模k加法，下面说法不对

的是：

（）

A）有零元B）有么元C）每个元素都有逆元D）是半群

12.下面关于半群的说法正确的是（）

A）必有零元B）必有么元C）必然服从交换律D）必然服从结合律

13.若果为半群，且S是有限集合，则以下说法正确的是（）

A）必有a∈S,且a*a=aB）必有a∈S,且a*b=b

C）必有零元D）必有零元

14.关于独异点，下列说法正确的是（）

A）必有零元B）必有等幂元C）必有么元D）必然满足交换律

15.以下说法不正确的是（）

A）群表示范围比半群小B）交换群表示范围比半群小

C）阿贝尔群表示范围比群小D）广群表示的范围比半群小

16.下面关于群的说法不正确的是（）

A）必有零元B）必有么元C）每个必然有逆元D）必然服从结合律

17.下面那个是群？

（）

A）自然数上的乘法B）实数域上的乘法C）0到9之间的模10加法D）0到9之间的

模10乘法

18.下面关于群的说法不正确的是（）

A）对于任a,b∈G,存在唯一的x∈G,使得a*x=b

B）对于任a,b,c∈G，若有a*b=a*c,则必有b=c

C）任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=e,e为么元

D）任a∈G，必有唯一的x∈G,使得a*x=x,x为零元

19.下面关于群的说法正确的是（）

A）没有等幂元B）有1个等幂元C）有2个等幂元D）和群的阶数有关

20.设为一个群，下面关于G的子群的说法正确的是（）

A）如果S是G的非空子集且*在S上是封闭的，则就是的子群

B）如果S是G的非空子集且含有么元，则就是的子群

C）如果S是G的非空子集，且对于任意S中的连个元素a,b都有a*b-1∈G,则就是

>的子群

D）如果S是G的非空子集，且是半群,则就是的子群

21.下列说法那个是错误的。

（）

A）循环群必定是阿贝尔群B）循环群必定有等幂元C）阿贝尔群必定是循环群D）循

环群必定是交换群

22.下列那个说法是正确的？

（）

A）同态一定是同构的B）同构一定是同态的C）同态一定是同余的

D）同态一定是等价的

23.如果f：

R->R，对于任意的x∈R,f（x）=5x,则f是从到的一个（）

A）单一同态B）满同态C）双射同态D）同构

24.含有3个元素的群有（）种情形。

A）1B）2C）3D）0

25..设G是非零乘法群，判断下列哪个f不是G到G的同态映射。

（）

A）f（x）=|x|B）f（x）=-xC）f（x）=x+1D）f（x）=1/x

26.下面关于群的说法不正确的是：

（）

A）有么元B）有零元C）每个元素都有逆元D）满足结合律

27..下面那个是群。

（）

A）整数域上的加法运算B）实数域上的乘法运算C）自然数域上的除法运算D）整

数1到5之间的模6加法运算

28..如果是一个环，下列关于环的说法错误的是（）。

A）是阿贝尔群B）是阿贝尔群C）运算*对于+是可分配的

D）运算+对于*是可分配的

29.关于独异点说法错误的是（）。

A）必有左么元B）必有右零元C）必然满足结合律D）必是含么半群

30.关于阿贝尔群说法错误的是（）。

A）必有左么元B）必有右零元C）必然满足交换律D）必是半群

三.判断题

1.半群一定是独异点。

（）

2.代数系统中有可能有很多个左零元和右零元，它们有可能相等，也有可能不等。

（

）

3.群中不可能有零元。

（）

4.群中的某些元素可能有多个不同的逆元。

（）

5.群的运算一定符合交换律。

（）

6.如果定义在集合A上的*运算既有左零元，又有右零元，那么必有唯一的零元。

（

）

7.循环群必有等幂元。

（）

8.有等幂元的群一定是有限群。

（）

9.阿贝尔群运算一定符合交换律。

（）

10.有限群一定有么元。

（）

11.含有零元的半群叫独异点。

（）

12.在群中，出了么元外，可能还还有其他等幂元。

（）

13.对一个群，它的任意一个非空有限子集B,如果*在B上封闭，则一定也是群。

（）

14..循环群一定是阿贝尔群。

（）

15.同构的一定是同态的。

（）

16.同态可以诱导一个唯一的等价关系。

（）

17..f是代数系统到代数系统的同态映射，如果半群，则在f作用下，同

态象也是半群。

（）

18.循环群中必有零元。

（）

19.（*表示乘法）与同构。

（）

20.定义在自然数集合上的模k加法是一个群。

（）

四.计算题

1.验证二元运算在实数集上是否满足交换律和结合律？

2.对于实数集合R，在下面表格中填写“是”或“否”

+

-

*

max

min

|x-y|

可结合性

可交换性

有么元

有零元

3.

.设G={[1],[2].[3],[4],[5],[6]},G上的二元运算如表所示。

问G是循环群吗（写出验

证过程）？

若是，找出生成元。

x

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[2]

[2]

[4]

[6]

[1]

[3]

[5]

[3]

[3]

[6]

[2]

[5]

[1]

[4]

[4]

[4]

[1]

[5]

[2]

[6]

[3]

[5]

[5]

[3]

[1]

[6]

[4]

[2]

[6]

[6]

[5]

[4]

[3]

[2]

[1]

4.考察代数系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？

如不是，找出反例。

1）∈R当且仅当（x<0∧y<0）∨（x≥0∧y≥0）2）∈R当且仅当|x-y|<10

5.考察代数系统，以下定义在I上的二元关系R是同余关系吗？

如不是，找出反例。

1）∈R当且仅当（x=y=0）∨（x≠0∧y≠0）2）∈R当且仅当x≥y

五.证明题

1.设A=｛a，b｝，〈A，*〉为半群，且a*a=b。

证明：

a*b=b*a。

2.定义I+上的两个二元运算为：

a*b=ab

a○b=aba,b∈I+

证明：

*对○是不可分配的。

3.如果是半群，且*是可交换的，称是可交换半群。

证明：

如果S中有元素a,b，

使得a*a=a和b*b=b,则（a*b）*（a*b）=a*b。

4.设是群，且|S|=2n，n∈I+。

证明：

在S中至少存在a≠e，使得a*a=e，其中e为么元

。

5.证明：

如果f是由到的同态映射，g是由到的同态映射，那么，g

。

f是由到的同态映射。

6.设f是从群到的同态映射,则f是入射当且仅当Ker（f）={e}。

其中e是G1中

的么元。

7.设是一个独异点，且对于G中的每一个元素x都有x*x=e，其中e是么元，证明

是一个阿贝尔群。

8.设是一个代数系统，且对于任意的a∈A,有a★b=a,证明二元运算*对★时可分

配的。

第7章

一.填空题

1.把（）的图叫做简单图。

2.无向图具有一条欧拉路，当且仅当图是联通的，而且（

）。

3.把（）的图叫做完全图。

4.把（）的图叫做连通图。

5.如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（）。

6.含有平行边的任何一个图叫做（）。

7.给定图G,若存在一条路（），这条路叫做汉密

尔顿路。

8.在一个含有n个节点的图中，度数为奇数节点的个数必为（）个。

9.在含有n个节点的完全图中，其边数为（）。

10.若图G只有一个连通分支，则G叫作（）。

11.无回路的连通图又叫做（）。

12.给定一个无孤立节点的图G，若存在一条路，经过图中每边一次仅且一次，则这条路叫做

（）。

13.G是具有n个节点的简单图，如果G中每对节点度数之和大于等于n，则G中存在一条（

）。

14.设G=是一个无向图，如果能够把G的所有节点和边画在平面上，且使得任何两条边

出了端点之外没有其他的交点，就称G为（）。

15.还有v个节点，e条边,r个面的连通平面图G,满足欧拉公式（）。

二.选择题

1.如果一个连通图有m个结点，则它的完全关联矩阵的秩为（）

A）mB）m+1C）m-1D）m/2

2.一个有n个节点连通图至少有（）条边。

A）nB）n-1C）n+1D）（n-1）n/2

3.关联同一节点的两条边叫做（）。

A）环B）回路C）圈D）邻接边

4.含有平行边的任何一个图叫做（）。

A）欧拉图B）汉米尔顿图C）连通图D）多重图

5.在一个含有n个节点的图中，度数为奇数节点的个数必为（）个。

A）2B）n-1C）偶数D）奇数

6.在任何有向图中，所有节点的出度之和等于（）。

A）所有节点的入度之和B）所有节点入度之和的2倍C）所有节点入度之和的一半D）没有必然联系

7.在含有n个节点的完全图中，其边数为（）。

A）nB）n-1C）n+1D）（n-1）n/2

8.在含有n个节点的图，它有（）个补图。

A）1B）nC）（n-1）n/2D）0

9..如果两个图是同构的，那么下面那条是错误的.（）

A）节点数相等B）边数相等C）度数相同的节点数相等D）连通的

10.在具有n个节点的图中，如果两个节点之间有路，则必有一条路的长度（）。

A）至少为nB）至少为n-1C）至多为n-1D）n

11.若图G只有一个连通分支，则G叫作（）。

A）连通图B）强连通图C）欧拉图D）平面图

12.含有m个节点的简单图，其边数不会多于（）。

A）1B）mC）m-1D）m（m-1）/2

13.含有n个节点的图，至少生成（）棵生成树。

A）1B）nC）（n-1）n/2D）0

14.连通图必然有（）。

A）欧拉路B）汉米尔顿路C）欧拉回路D）通过各节点的路

15.如果一个连通图有m个结点，则它的邻接矩阵的秩为（）

A）mB）m+1C）m-1D）不确定

三.判断题

1.在任何图中，度数为偶数的节点必有奇数个。

（）

2.在任何有向图中，所有节点的入度之和等于所有节点的出度之和。

（）

3.每个图中，边数等于节点度数的两倍。

（）

4.连通图必有欧拉回路。

（）

5.有汉米尔顿路的图必有欧拉路。

（）

6.含有欧拉回路的图中每个节点的度数必为偶数。

（）

7.含有欧拉回路的图必有汉密尔顿路。

（）

8.一个图的边连通度一定大于等于其点连通度。

（）

四.计算题

1.画出下图的完全补图。

2.给一个含有5个节点的自补图。

3.求下图中1）从A到F所有通路。

2）从A到F的所有迹。

4.求下图的邻接矩阵，并求出可达性矩阵。

5.求下图的关联矩阵和邻接矩阵。

6.1）画一个有一条欧拉路和一条汉米尔顿路的图

2）画一个有欧拉路但没有汉米尔顿路的图。

（要求至少5个节点）

7.1）画一个有一条欧拉路和一条汉米尔顿路的图

2）画一个有汉米尔顿路但没有欧拉路的图。

（要求至少5个节点）

五.证明题

1.证明在任何有向完全图中，所有节点的入度的平方和等于所有节点的出度的平方和。

2.若无向图G中恰有两个奇数度的节点，则这两点间必有一条路。

3.若图G=具有汉米尔顿回路，则对于节点集V的每个非空子集S均有W（G-S）≤|S|成立

。

其中W（G-S）是G-S中连通分支数。

4.设G=为具有n个节点的简单图，如果G中的每一对节点度数之和大于等于n,在G中存

在一条汉密尔顿回路。

5.简单图的最大度数小于节点数。