完整版高中数学竞赛知识点.docx

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完整版高中数学竞赛知识点

数学

均值不等式

被称为均值不等式。

·即调停平均数不高出几何平均数，几何

平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。

其中：

，被称为调停平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

一般形式

设函数（当r不等于0时）；（当r=0

时），有时，。

可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特别状况，即

。

特例

⑴对实数a,b，有（当且仅当a=b时取“号=”），（当且仅

当a=-b时取“=号”）

⑵对非负实数a,b，有，即

⑶对非负实数a,b，有

⑷对实数a,b，有

⑸对非负实数a,b，有

⑹对实数a,b，有

⑺对实数a,b,c，有

⑻对非负数a,b，有

⑼对非负数a,b,c，有

在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

当且仅当时，等号成立。

依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

排序不等式

基本形式：

排序不等式的证明

要证

只需证

依照基本不等式

只需证

∴原结论正确

棣莫弗定理

设两个复数（用三角形式表示），则：

复数乘方公式：

圆排列

定义

从n个不同样元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n个不同样

元素的圆排列。

若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m-圆排列，则认为这两个圆排列相

同。

计算公式

n个不同样元素的

特别地，当m=n

m-圆排列个数N为：

时，n个不同样元素作成的圆排列总数

N为：

。

费马小定理

小定理（FermatTheory）（a,p）=1，那么a（p-1）≡1（modp有一个公数1），那么a的（p-1）

是数中的一个重要定理，其内容：

若是p是数，且

）。

即：

若是a是整数，p是数，且a,p互（即两者只次方除以p的余数恒等于1。

组合恒等式

合数C（k,n）的定：

从n个不同样元素中取k个行合的个数。

基本的合恒等式

nC（k,n）=kC（k-1,n-1）

C（n,k）C（m,k）=C（m,n）C（k-m,n-m）

∑C（i,n）=2^n

∑[（-1）^i]*C（i,n）=0

C（m,n+1）=C（m-1,n）+C（m,n）（个性叫合的【聚合性】）

C（k,n）+C（k,n+1）+⋯⋯+C（k,n+m）=C（k+1,n+m+1）-C（k+1,n）

C（0,n）C（p,m）+C（1,n）C（p-1,m）+C（2,n）C（p-2,m）+⋯⋯+C（p-1,n）C（1,m）+C（p,n）C（0,m）=

C（p,m+n）

韦达定理

逆定理

若是两数α和β足以下关系：

α+β=，α·β=，那么两个数α和β是方程

的根。

通达定理的逆定理，可以利用两数的和关系构造一元二次方程。

[5]

实行定理

达定理不可以明一元二次方程根与系数的关系，可以实行明一元n次方程

根与系数的关系。

定理：

（i=1、2、3、⋯⋯n）是方程：

的n个根，k整数），有：

。

[

实系数方程虚根成对定理：

系数一元n次方程的虚根成出，即若z=a+bi（b≠0）是方程的一个根，=a-bi也

是一个根。

无量递降法

无降法是明方程无解的一种方法。

其步：

假方程有解，并X最小的解。

从X推出一个更小的解Y。

从而与X的最小性相矛盾。

因此，方程无解。

孙子定理

又称中国节余定理，中国节余定理出了以下的一元性同余方程：

有解的判断条件，并用构造法出了在有解状况下解的详尽形式。

中国节余定理明：

假整数m1,m2,...,mn两两互，任意的整数：

a1,a2,...,an，

方程有解，并且通解可以用以下方式构造获取：

是整数m1,m2,...,mn的乘，并

是除了mi以外的n-1个整数的乘。

模的数倒数：

方程的通解

形式：

在模的意下，方程只有一个解：

同余

同余公式也有多我常的定律,比方相等律,合律,交律,律⋯.以下面的表

示:

1）a≡a（modd）

2）a≡b（modd）→b≡a（modd）

3）（a≡b（modd）,b≡c（modd））→a≡c（modd）

若是a≡x（modd）,b≡m（modd）,

4）a+b≡x+m（modd）

其中a≡x（modd），b≡m（modd）

5）a-b≡x-m（modd）

其中a≡x（modd）,b≡m（modd）

6）a*b≡x*m（modd）

其中a≡x（modd）,b≡m（modd）

7）a≡b（modd）a-b整除d

欧拉函数

φ函数的通式：

φ（x）=x（1-1/p1）（1-1/p2）（1-1/p3）（1-1/p4）⋯..（1-1/pn）,其中p1,p2⋯⋯pnx的所有因数，x是不0的整数。

（1）=1（唯一和1互的数（小于等于1）就是1自己）。

（注意：

每种因数只一个。

比方12=2*2*3那么φ（12）=12*（1-1/2）

*（1-1/3）=4

若n是数

p的

k次，φ（n）=p^k-p^（k-1）=（p-1）p^（k-1）

，因除了

p的倍数外，其他

数都跟

n互。

n正整数，以φ（n）表示不超n且与n互

素的正整数的个数，称n的欧拉函数，里函数

φ：

N→N，n→φ（n）称欧拉函数。

欧拉函数是性函数——若m,n互，φ（mn）=φ（m）φ（n）。

特别性：

当n奇数，φ（2n）=φ（n）,明与上述似。

若n数φ（n）=n-1。

格点

定义

数学上把在平面直角坐系中横坐均整数的点称格点（latticepoint）或整点。

性质

1、格点多形的面必整数或半整数（奇数的一半）。

2、格点关于格点的称点格点。

3、格点多形面公式（坐平面内点格点的三角形称格点三角形，似地也

有格点多形的看法。

）某格点多形内部有格点a个，格点多形的上有格点b个，

格点多形面S，

依照皮克公式有S=a+b/2-1。

4，格点正多形只能是正方形。

5，格点三角形界上无其他格点，内部有一个格点，点此三角形的重心。

三面角

定义

三面角：

由三个面组成的多面角称三面角，如中三面角可作∠O-ABC。

特地，三个面角都是直角的三面角称直三面角。

三面角的三面角：

由三条自已知三面角定点出的垂直于已知三面角的三个平面的射

成的三面角叫做已知三面角的三面角。

性质

1、三面角的任意两个面角的和大于第三个面角。

2、三面角的三个二面角的和大于180°，小于540°。

三面角相关定理

三面角∠O-ABC的三个面角∠AOB、∠BOC、∠AOC所的二面角依次∠OC，

∠OA，∠OB。

1、三面角正弦定理：

sin∠OA/sin∠BOC=sin∠OB/sin∠AOC=sin∠OC/sin∠AOB。

2、三面角第一余弦定理：

cos∠BOC=cos∠OA×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC。

3、三面角第二余弦定理：

cos∠OA=cos∠BOC×sin∠OB×sin∠OC-cos∠OB×cos∠OC。

直线方程

一般有以下八种描述方式：

点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式，法线式，法向

式，点向式。

点斜式

已知直线一点（x1,y1,）并且存在直线的斜率k，则直线可表示为：

y-y1=k（x-x1）。

适用范

围：

斜率K存在的直线。

斜截式

已知与Y轴的交点（0，b），斜率为K，则直线可表示为：

y=kx+b。

适用范围：

斜率

存在的直线。

两点式

两点式是剖析几何直线理论的重要看法。

当已知两点（X1，Y1），（X2，Y2）时，将

直线的斜率公式k=（y2-y1）/（x2-x1）代入点斜式时，获取两点式

（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）。

适用范围：

不平行于（也许说不垂直于）坐标轴的的直线。

截距式

已知与坐标轴的交点（a，0），（0，b）时，截距式的一般形式：

x/a+y/b=1（a≠0且

b≠0）。

适用范围：

不平行于（也许说不垂直于）坐标轴的直线，但是原点的直线。

一般式

ax+by+c=0（A、B不同样时为0）。

斜率：

-A/B截距：

-C/B。

两直线平行时：

A1/A2=B1/B2≠C1/C2，则无解。

两直线订交时：

A1/A2≠B1/B2；两直线垂直时：

A1A2+B1B2=0

A1/B1×A2/B2=-1，都只有一个交点。

两直线重合时：

A1/A2=B1/B2=C1/C2，则有无数解。

适用范围：

所有直线均可适用。

法线式

过原点向直线做一条的垂线段，该垂线段所在直线的倾斜角为α，p是该线段的长度。

x·cosα+ysin-p=0α。

法向式

知道直线上一点（x0，y0）和与之垂直的向量（a，b），则a（x-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。

点向式

知道直线上一点（x0,y0）和方向向量（u,v），（x-x0）/u=（y-y0）/v（u≠0,v≠。

0）

极坐标系

极坐标系（polarcoordinates）是指在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系。

在平

面上取定一点O，称为极点。

从O出发引一条射线Ox，称为极轴。

再取定一个长度单位，

往老例定角度取逆时针方向为正。

这样，平面上任一点P的地址就可以用线段OP的长度ρ

以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，

θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。

极坐标方程

于极点（90°/270°）对称，若是r（θ-α）=r（，θ）则曲线相当于从极点顺时针方向旋转α°。

圆

方程为r（θ）=1的圆。

在极坐标系中，圆心在（r0,φ半）径为a的圆的方程为r^2-2rr0cos（θ-φ）+r0^2=a^2

该方程可简化为不同样的方法，以吻合不同样的特定状况，比方方程r（θ）=a表示一个以极

点为中心半径为a的圆。

直线

经过极点的射线由以下方程表示θ=φ

其中φ为射线的倾斜角度，若k为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctank。

任

何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。

这些在点（r0,φ）处的直线与射线θ=φ垂直，

其方程为

r（θ）=r0sec（-φ）θ

圆幂

点到圆的幂：

设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d^2－r^2就是点P关于⊙O的幂．过P任作素来线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=|d2－r2|．

“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，若是此二圆订交，则该

轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．

三个圆两两的根轴若是不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．

三个圆的根心关于三个圆等幂．

当三个圆两两订交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点．

1．定义从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆订交为止的两段之积，称为点

A于这圆周的幂．

2．圆幂定理已知⊙（O,r），经过必然点P，作⊙O的任一割线交圆于A,B，则PA，

PB为P关于⊙O的幂，记为k，则

当P在圆外时，k=PO^2-r^2；

当P在圆内时，k=r^2-PO^2；

当P在圆上时，k=0.

图Ⅰ：

订交弦定理。

如图，AB、CD为圆O的两条任意弦。

订交于点P，连接AD、BC，由于∠B与∠D同为弧AC所对的圆周角，因此由圆周角定理知：

∠B=∠D，同理∠A=∠C，

因此。

因此有：

，即：

。

图Ⅱ：

割线定理。

如图，连接AD、BC。

可知∠B=∠D，又由于∠P为公共角，因此有

，同上证得。

图Ⅲ：

切割线定理。

如图，连接AC、AD。

∠PAC为切线PA与弦AC组成的弦切角，

因此有∠PBC=∠D，又由于∠P为公共角，因此有，易

图Ⅳ：

PA、PC均为切线，则∠PAO=∠PCO=90°，在直角三角形中：

OC=OA=R，PO

为公共边，因此。

因此PA=PC，因此。

综上可知，是宽泛成立的。

根轴

定义

在平面上任给两不同样心的圆，则对两圆圆幂相等的点的会集是一条直线，这条线称为这

两个圆的根轴。

另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，也许称作等幂轴。

根轴方程

设两圆O1,O2的方程分别为：

（x-a1）^2+（y-b1）^2-（r1）^2=0

（1）

（x-a2）^2+（y-b2）^2-（r2）^2=0

（2）

由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，因此根轴上任一点（x,y）,有

（x-a1）^2+（y-b1）^2-（r1）^2=圆幂=（x-a2）^2+（y-b2）^2-（r2）^2

两式相减，得根轴的方程（即x,y的方程）为

2（a2-a1）x+2（b2-b1）y+f1-f2=0

其中f1=（a1）^2+（b1）^2-（r1）^2,f2近似。

解的不同样可能

（1）

（2）连立的解，是两圆的公共点M（x1,y1）,N（x2,y2）

若是是两组不等实数解，MN不重合且两圆订交，根轴是两圆的公共弦。

若是是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。

若是是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。

称M,N是

共轭虚点。

尺规作图

订交,相切时根轴为两圆交点的连线.

内含时,作一合适的圆与两园订交,这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理再作一点,两点所在的直线即为根轴（等幂轴）