运筹学与最优化方法线性规划案例分析报告.docx

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运筹学与最优化方法线性规划案例分析报告

案例：

连续投资的优化问题

一、题目：

某企业在今后五年内考虑对下列项目投资，已知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%。

项目B，第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超

过40万元。

项目C，第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超

过30万元。

项目D，五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。

该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问它应如何确定给这些项目的每年

投资使得到第五年末获得的投资本利总额为最大？

二、建立上述问题的数学模型

设（）为第年初给项目的投资额，它们都是待定的i=1.2.3.4.5A,B,C,DXiXX,X,,iDiBiC1A未知量。

由于项目D每年年初均可投资，年末收回本利，固每年的投资额应该等于手中拥

有的资金额。

建立该问题的线性规划模型如下：

MaxZ=1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D2C4A3BX+X=1000000

（1）1D1A

（2）+XX+X=1.06X1D2C2D2A（3）+X=1.15X+1.06XX+X2D3D3B1A3A（4）s.t.X+X=1.15X+1.06X3D4A2A4D（5）X=1.15X+1.06X4D3A5D（6）X<=4000003B（7）<=300000X2CX>=0i=1,2,3,4,5XX,,X,iDiBiC1A

经过整理后如下：

+1.06X+1.25XZ=1.15XMax+1.40X5D2C4A3B=1000000X+X1D1A=0+XX1.06X-++X2D1D2A2C--1.15X1.06X+=0+XX+X3D2D3B3A1A1.15X--1.06X+X+X=0s.t.4D2A3D4A--1.15XX+1.06X=05D3A4DX<=4000003B<=300000X2C．

i=1,2,3,4,5>=0X,XX,X,iDiC1AiB

三、Excel求解过程以及相应的结果

（1）在Excel中进行布局并输入相应的公式

相应公式说明：

其中目标函数单元格B16中公式为：

=G3*E11+G4*D12+G5*C13+G6*F14

约束条件为投资额的限制以及每年资金分配部分：

每年资金分配部分为原模型中约束

（1）~（5）：

J11=SUMPRODUCT（B11:

B14,J3:

J6）；

K11=SUMPRODUCT（C11:

C14,K3:

K6）；

L11=SUMPRODUCT（D11:

D14,L3:

L6）；

M11=SUMPRODUCT（E11:

E14,M3:

M6）；

N11=SUMPRODUCT（F11:

F14,N3:

N6）；

投资额约束：

原模型中约束（6）~（7）

D12<=P4;

C13<=P5;

（2）设置规划求解参数并进行求解

如右图所示：

另外单击选项-采用线性模型，假定非负

2．

）规划求解结果与分析（3

：

实验数据分析Excel的界面中，决策变量及目标函数的位置就会出现相线性模型的优化的结果将显示在

143.75。

或者在上述规划求解窗口中选择运算应的优化结果值，目标函数的优化结果值是

结果报告项，点击确定同样得到相应的优化结果值，显示如下图所示。

中间是决策变量的优化结果值，下面是约束条件在最优结果下的状态描述。

最优解为=0,=x=x=x=30,=39.130436,x=34.782608,xx=45,x=40,xx=65.217392,x=x5D3D4A3B3A2C4D1A2D2A1D143.75,最优值z=在最优条件下，所有的约束条件都刚好达到限制值。

）最大值目标单元格（

终值初值单元格名字

目标函数值143.75143.75$B$16

可变单元格

终值初值单元格名字

34.7826087A$B$1171.69811321

39.1304347815A6.17863E-$C$11

0A$D$1142.45283018

45A$E$110

00$F$11A

0A0$G$11

3．

00$B$12B

0$C$120B

4040B$D$12

0B$E$120

0B0$F$12

0B$G$120

0$B$130C

30$C$13C30

0C0$D$13

0$E$13C0

00$F$13C

00C$G$13

65.217391328.30188679$B$14D

00$C$14D

0$D$14D0

0$E$14D0

0$F$1448.8207547D

D00$G$14

约束

型数值状态名字单元格值公式单元格

$J$11=$J$13$J$11100第1到达限制值年投资额0

到达限制值$K$11=$K$1369.13043478投资额第20$K$11年

$L$11=$L$133年$L$11400投资额第到达限制值

年40$M$11$M$11=$M$13到达限制值投资额第45

到达限制值投资额第$N$115年00$N$11=$N$13

到达限制值300C$C$13<=$P$5$C$13

到达限制值$D$12<=$P$4400B$D$12

除了上述运算结果报告之外，还可以选择敏感性报告选择项，点击确定后就会出现相应的敏感性报告如下图所示。

在此报告中分成上下两部分，上部分是对决策变量目标系数的灵敏度分析，给出了目标系数的当前值和允许的增量和减量；下半部分是对各个约束条件右端常数项的灵敏度分析，给出了约束左端的实际值、右端常数项的当前值以及允许的增量和允许的减量。

可变单元格

允许的目标式递减终允许的

减量系数单元格名字值成本增量

0.03293773634.78260870A$B$1100

039.13043478A$C$11000.033632075

4．

1E+3000A00$D$11

01.1545$E$11A00.029245283

1E+30$F$11A0000

1E+30000A$G$110

1E+30$B$12B0000

1E+300000B$C$12

0.031$D$12B400.0311E+301.25

1E+30000B$E$120

1E+30$F$1200B00

1E+3000B$G$1200

1E+300C000$B$13

0.0775C$C$131E+30300.07751.4

1E+3000C$D$1300

1E+300000C$E$13

1E+30$F$1300C00

1E+300C$G$13000

0.032937736065.2173913D$B$1400

1E+300.030360-D$C$140.030360

1E+30000D$D$140

0.02640000100.0264000010D$E$141E+30-

1E+3001.0600D$F$14

1E+300000D$G$14

约束

允许的约束终阴影允许的

减量限制值值名字单元格价格增量

36.91550451第$J$111001.40185100年11E+30

39.130434782069.13043478年1.32251E+30第$K$11

42.452830190年第$L$11340401.219

45$M$111.15年4第01E+3045

00年5第$N$111E+3001.06

求解过程以及相应的结果Lindo四、

（1）运行lindo程序，在程序主界面下编辑程序文件，文件内容如下：

Max1.15X+1.40X+1.25X+1.06X5D4A3B2CST=1000000+XX1D1A+X+X+-1.06XX=02D1D2A2C

5．

-1.15X-1.06X+X+X+X=03D2D1A3B3A-1.15X-1.06X+X+X=04D4A3D2A-1.15X-1.06X+X=05D3A4DX<=4000003BX<=3000002CX>=01AX>=02AX>=03AX>=04AX>=03BX>=02CX>=01DX>=02DX>=03DX>=04DX>=05DEND

（2）进行求解运行，输出如下结果：

LPOPTIMUMFOUNDATSTEP4

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1）1437500.

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X4A450000.0000000.000000

X2C300000.0000000.000000

X3B400000.0000000.000000

X5D0.0000000.000000

X1A347826.0937500.000000

X1D652173.9375000.000000

X2A391304.3437500.000000

X2D0.0000000.030360

X3A0.0000000.000000

X3D0.0000000.000000

X4D0.0000000.026400

ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2）0.0000001.401850

3）0.0000001.322500

4）0.0000001.219000

5）0.0000001.150000

6．

6）0.0000001.060000

0.0310007）0.0000000.0775000.0000008）

4NO.ITERATIONS=RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLE

COEFINCREASEDECREASE

X4A1.1500000.0292450.000000

X2C1.400000INFINITY0.077500

X3B1.250000INFINITY0.031000

X5D1.0600000.000000INFINITY

X1A0.0000000.0000000.032938

X1D0.0000000.0329380.000000

X2A0.0000000.0336320.000000

X2D0.0000000.030360INFINITY

X3A0.0000000.000000INFINITY

X3D0.0000000.000000INFINITY

X4D0.0000000.026400INFINITY

RIGHTHANDSIDERANGES

ROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLE

RHSINCREASEDECREASE

1000000.000000INFINITY2369155.062500

30.000000INFINITY391304.343750

40.000000400000.031250424528.312500

50.000000INFINITY450000.000000

60.000000INFINITY0.000000

7400000.000000424528.312500400000.000000

8300000.000000391304.343750300000.000000

运行结果分析：

“V表示经过四次迭代求得最优解。

ATSTEP4FOUNDALUE”给出最“LPOPTIMUM

优解中各变量的值：

X4A=450000.000000；X2C=300000.000000；X3B=400000.000000；

；X1A=347826.093750；X5D=0.000000X1D=652173.937500；

X2A=391304.343750；X2D=0.000000；X3A=0.000000；X3D=0.000000

X4D=0.000000

“REDUCEDCOST”的含义是：

基变量的REDUCEDCOST值为0，对于非基变量，

相应的REDUCEDCOST值表示当非基变量增加一个单位时（其它非基变量保持不变）目

7．

标函数减少的量。

“DUALPRICES”给出约束的影子价格的值（也称为对偶价格）。

“DUALPRICES”给出约束的影子价格的值（也称为对偶价格）。

五、总结分析

通过Excel规划求解以及lindo程序的执行，得到的结果是一致的，目标函数的最大值，

即第五年末获得的最大的投资本利额为143.75万元；相应的确定给这些项目每年的投资额

依次如下：

第一年年初给项目A投资约34.783万元；

给项目D投资约65.217万元；

其他项目不投资.

第二年年初给项目A投资39.13万元；

给项目C投资30万元；

其他项目不投资.

第三年年初给项目B投资40万元；

其他项目不投资.

第四年年初给项目A投资45万元；

其他项目不投资.

8．