全参数方程直线圆专题练习.docx

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全参数方程直线圆专题练习

参数方程直线、圆专题练习...

评卷人

得分

一．选择题（共9小题）

1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（　　）

A．0B．C．D．2

2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（　　）

A．B．C．D．

3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（　　）

A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线

5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（　　）

A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支

6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（　　）

A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3）

7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（　　）

A．αB．α﹣C．α+D．α+

8．已知M为曲线C：

（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（　　）

A．1B．2C．3D．4

9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（　　）

A．B．﹣C．2D．﹣2

评卷人

得分

二．填空题（共16小题）

10．参数方程（α为参数）化成普通方程为　　．

11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是　　．

12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为　　

13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是　　．

14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为　　．

15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是　　．

16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为　　．

17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是　　．

18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：

（θ为参数），曲线C2：

ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值围是　　．

19．直线（t为参数）对应的普通方程是　　．

20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为　　．

21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是　　．

22．直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为　　．

23．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是　　．

24．已知直线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数），当α=时，则C1与C2的交点坐标为　　．

25．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是　　．

评卷人

得分

三．解答题（共5小题）

26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：

ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．

（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；

（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．

27．已知直线l参数方程：

（t为参数），曲线C1：

．

（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；

（2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．

28．已知直线l：

（t为参数），曲线C1：

，（θ为参数）．

（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

参数方程直线、圆专题练习

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（　　）

A．0B．C．D．2

【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦型函数的性质及点到直线的距离公式的应用求出结果．

【解答】解：

曲线C的参数方程为（θ为参数），

设P（2cosθ，sinθ），

则：

点P到直线x﹣y﹣2=0的距离d==，

当sin（θ+α）=1时，|PM|的最小值为．

故选：

B．

【点评】本题考查的知识要点：

点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用．

2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，由直线的方程形式分析可得答案．

【解答】解：

根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，

所以直线的斜率为，倾斜角为，

故选：

C．

【点评】本题考查直线的参数方程及倾斜角，注意将直线的参数方程变形为普通方程．

3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，再由圆心在直线上可得弦长．

【解答】解：

由，得x﹣，

由，得（x﹣1）2+y2=1．

∴圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径为1．

而圆心（1，0）在直线x﹣上，

∴直线与曲线相交的弦长为2．

故选：

B．

【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．

4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（　　）

A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线

【分析】曲线的参数方程消去参数t，得x﹣3y=5．再由0≤t≤5，得﹣1≤y≤24．从而求出该曲线是线段．

【解答】解：

由（0≤t≤5），消去参数t，得x﹣3y=5．

又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．

故该曲线是线段．

故选：

A．

【点评】本题考查曲线形状的判断，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是基础题．

5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（　　）

A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支

【分析】根据题意，由参数方程中t的围分析可得x、y的围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y=10，结合x、y的围分析可得答案．

【解答】解：

根据题意，参数方程，若0≤t≤3，

则有：

4≤x≤31，﹣2≤y≤7，

又由参数方程，则y+2=（x﹣4），即x﹣3y=10，

又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，

则参数方程表示的是线段；

故选：

C．

【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值围．

6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（　　）

A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3）

【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析a、b的值，计算可得c的值，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），

则其普通方程为+=1，

其中a=5，b=3，

则c==4，

其它的两个焦点坐标是（±4，0）；

故选：

A．

【点评】本题考查椭圆的参数方程，关键是将椭圆的方程变形为普通方程．

7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（　　）

A．αB．α﹣C．α+D．α+

【分析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ==，α锐角，化简即可得出．

【解答】解：

设直线的倾斜角为θ，则tanθ====，α锐角．

∴θ=，

故选：

C．

【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．已知M为曲线C：

（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】直接把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果．

【解答】解：

曲线C：

（θ为参数）

转化为：

（x﹣3）2+y2=1，

则：

圆心（3，0）到原点（0.0）的距离为3，

故点M到原点的最大值为：

3+1=4．

故选：

D．

【点评】本题考查的知识要点：

参数方程和直角坐标方程的转化，两点间的距离公式的应用．

9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（　　）

A．B．﹣C．2D．﹣2

【分析】将点对应的参数代入椭圆的参数方程得到M的坐标，再利用直线的斜率公式即可求出答案．

【解答】解：

当t=时，点M的坐标为（2cos，4sin），即M（1，2），

∴OM的斜率为k=2．

故选：

C．

【点评】本题主要考查了椭圆的参数方程，直线的斜率等基本知识，属于基础题．

二．填空题（共16小题）

10．参数方程（α为参数）化成普通方程为　x2+（y﹣1）2=1　．

【分析】欲将参数方程（α为参数）化成普通方程，只须消去参数即可，利用三角函数的同角公式中的平方关系即得．

【解答】解：

∵（α为参数）

∴x2+（y﹣1）2

=cos2α+sin2α=1．

即：

参数方程（α为参数）化成普通方程为：

x2+（y﹣1）2=1．

故答案为：

x2+（y﹣1）2=1．

【点评】本小题主要考查参数方程的概念的应用、圆的参数方程的概念、三角函数的同角公式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．

11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是　　．

【分析】根据题意，由椭圆的参数方程可得=cosα，=sinα，进而可得，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，椭圆的参数方程为，

则有=cosα，=sinα，

则有，

即该椭圆的普通方程为：

，

故答案为：

．

【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意椭圆的参数方程的形式，属于基础题．

12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为　（1，0）　

【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得椭圆的右焦点坐标，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+=1，

其中a=2，b=，

则c=1；

故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；

故答案为：

（1，0）

【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意将椭圆的参数方程变形为普通方程．

13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是　　．

【分析】利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．

【解答】解：

直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；

由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y﹣2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．

直线l截圆C所得的弦长=2=．

故答案为．

【点评】熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．

14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为　﹣3或7　．

【分析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值．

【解答】解：

直线l：

（t为参数）即2x﹣y+m﹣2=0．

曲线C：

曲线（θ为参数）即x2+y2=5，表示以（0，0）为圆心，半径等于的圆．

再根据圆心到直线的距离等于半径，可得==，求得m=﹣3或7，

故答案为：

﹣3或7．

【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．

15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是　3　．

【分析】设A（，1+sinθ），原点O（0，0），|AO|==，由此能求出点A到坐标原点取最大距离．

【解答】解：

∵点A是曲线是参数）上的点，

∴设A（，1+sinθ），原点O（0，0），

|AO|=

=

=，

∴当sin（）=1时，点A到坐标原点取最大距离3．

故答案为：

3．

【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法，考查勇数方程、两点间距离公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为　2　．

【分析】直线消去参数t，得x﹣2y=0，曲线消去参数，得（x﹣2）2+y2=1，联立，能求出交点个数．

【解答】解：

直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y=0，

曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2=1，

联立，得或．

∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．

故答案为：

2．

【点评】本题考查直线与曲线的交点个数的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是　（x﹣3）2+y2=1　．

【分析】由参数方程可得，结合sin2θ+cos2θ=1可得答案．

【解答】解：

由参数方程可得，

两边平方作和得（x﹣3）2+y2=1．

故答案为：

（x﹣3）2+y2=1．

【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的相互转化，属于基础题．

18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：

（θ为参数），曲线C2：

ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值围是　t＜﹣1或t＞3　．

【分析】分别化直线和圆的方程为普通方程，由直线和圆的位置关系可得t的不等式，解不等式可得．

【解答】解：

由C1：

可得cosθ=x﹣1，sinθ=y，

两式平方相加可得（x﹣1）2+（y）2=1，

整理可得（x﹣2）2+y2=4，表示圆心为（2，0）半径为2的圆，

由C2：

ρcos（θ+）=t可得ρcosθ﹣ρsinθ=t，

即x﹣y=t，即x﹣y﹣2t=0，表示一条直线，

由两曲线有公共点可得直线与圆相离，

∴圆心到直线的距离d大于半径，即＞2，

解得t＜﹣1或t＞3

故答案为：

t＜﹣1或t＞3

【点评】本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程，化为普通方程并利用直线和圆的位置关系是解决问题的关键，属基础题．

19．直线（t为参数）对应的普通方程是　x+y﹣1=0　．

【分析】利用加减消元法消去参数t，即可得到直线的普通方程．

【解答】解：

两个方程相加得x+y﹣1=0，

故答案为：

x+y﹣1=0．

【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．

20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为　　．

【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，即可求得倾斜角．

【解答】解：

（t为参数）化参数方程为普通方程，两方程相加可得x+y=2，

则直线的斜率为﹣1，

故倾斜角为．

故答案为：

．

【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于基础题．

21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是　2x+y﹣3=0　．

【分析】2x=2+2，与y=1﹣2相加即可得出．

【解答】解：

2x=2+2，与y=1﹣2相加可得：

2x+y=3．

故答案为：

2x﹣y﹣3=0．

【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

22．直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为　　．

【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．

【解答】解：

由，得x+y﹣8=0，

由，得，

两式平方作和得：

（x﹣3）2+（y+1）2=25．

∴圆心坐标为（3，﹣1），半径为5．

圆心到直线的距离d=．

∴直线被圆所截弦长为2．

故答案为：

．

【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是基础题．

23．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是　2　．

【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．

【解答】解：

直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，

联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，

∴交点个数是2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想，比较基础．

24．已知直线C1：

（t为参数），C2：

（θ为参数），当α=时，则C1与C2的交点坐标为　（1，0），（，﹣）　．

【分析】先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可．

【解答】解：

（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．

联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（，﹣）．

故答案为（1，0），（，﹣）．

【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，比较基础．

25．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是　1　．

【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．

【解答】解：

令x=0，可得t=1，y=1，

∴直线l在y轴上的截距是1．

故答案为1．

【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

三．解答题（共5小题）

26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：

ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．

（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；

（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．

【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．

（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．

【解答】解：

（Ⅰ）曲线C1：

（t为参数）．

转换为直角坐标方程为：

x﹣2y﹣4=0．（x≥2）．

故该曲线表示一条射线．

曲线C2：

ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．

转换为直角坐标方程为：

x2+y2﹣10x﹣6y+25=0，

整理得：

（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，

该曲线表示以（5，3）为圆心，3为半径的圆．

（Ⅱ）由于该圆是以（5，3）为圆心，3为半径，

所以与射线x﹣2y﹣4=0．（x≥2）有两个交点．

圆心到射线的距离d=，

所以弦长l=2=4．

【点评】本题考查的知识要点：

参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用．

27．已知直线l参数方程：

（t为参数），曲线C1：

．

（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；

（2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．

【分析】

（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

（2）利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式求出结果．

【解答】解：

（1）直线l参数方程：

（t为参数），

转化为直角坐标方程为：

x+2y﹣10=0．

曲线C1：

．

转换为参数方程为：

（θ为参数），

（2）设M（3cosθ，2sinθ）到直线l的距离d==．

当sin（θ+α）=1时，．

【点评】本题考查的知识要点：

参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．

28．已知直线l：

（t为参数），曲线C1：

，（θ为参数）．

（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；

（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

【分析】

（1）转化hi街利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步求出弦长．

（2）利用三角函数关系式的恒等变换，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．

【解答】解：

（1）直线l：

（t为参数，

转化为直角坐标方程为：

，

曲线C1：

，（θ为参数）．

转化为直角坐标方程为：

x2+y2=1，

则：

，解得交点的坐标A（1，0），B（，）．

所以：

|AB|=1．

（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，

则点P的坐标是（），

从而点P到直线l的距离是=，

当时，

d取得最小值，且最小值为．

【点评】本题考查的知识要点：

参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．

29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．

（1）求α的取值围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

【分析】

（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值围．

（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．

【解答】解：

（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），

∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，

当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；

当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x﹣，

∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，

∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，

∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，

∴或，

综上α的取值围是（，）．

（2）由

（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），

设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），

联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，

，

=﹣+2，

=，=﹣，

∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．

【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

【分析】

（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

（2）利用直线和曲线的位置关系，在利用中点坐标求出结果．

【解答】解：

（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），

转换为直角坐标方程为：

．

直线l的参数方程为（t为参数）．

转换为直角坐标方程为：

sinαx﹣cosαy+2cosα