校内数学建模优秀论文.docx

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校内数学建模优秀论文

题目：

B

参赛队员：

队员1：

姓名王维

学院及班级管理学院

手机号码

队员2：

姓名曹帅

学院及班级管理学院

手机号码

队员3：

姓名张文亮

学院及班级管理学院

手机号码

指导教师：

单位：

管理学院

2010年青岛理工大学数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了青岛理工大学数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

B

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学院（请填写完整的全名）：

管理学院

参赛队员（打印并签名）：

1.王维

2.曹帅

3.张文亮

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2010年06月16日

B题重力自流水坝以及虹吸作用的影响

摘要：

虹吸是一种常见的流体力学现象，在日常生活、机械产品和水利工程中均有广泛应用。

所需解决问题属于流体力学范畴，我们将流体力学知识与数学知识紧密联系，利用伯努利（Bernoull）方程，建立简单的数理模型。

在分析问题时，我们将问题1抽象为一般的数理模型，在问题1模型的基础上，我们进一步推广、应用。

总体上，我们采取由抽象到具体，由建立理想模型到解决实际问题的思路。

在解决问题1时，我们假设在理想环境中，充分考虑虹吸管的进水面、出水面和最高点三个部分。

根据进水面与最高点的伯努利方程求得虹吸管的最高高度：

，再根据进水面和出水面之间的伯努利方程求得虹吸管内水流的速度为：

，进而求得虹吸管的流量为：

X=S*

=

。

在问题2中，我们根据自流水坝的工作原理，通过伯努利方程求得：

虹吸管必须具备两个条件，才能正常的运行。

条件为：

1、在2-2断面必须形成一定的负压，克服沿程阻力，水头损失，水流才能流过2-2断面。

即虹吸管的最大高度不得大于总流过水断面1-1s上同一点的压强水头。

2、出水口水位必须低于进水口水位，其高度差为管路的水头损失。

并求得：

虹吸管内水流速度为：

虹吸管道的流量：

所得结论与问题1模型相吻合，因此，所建模型基本符合问题要求。

通过对模型的建立、检验和拓展，我们把“抽象到具体”这一数学方法加以具体应用。

关键字：

虹吸伯努利方程流体力学流量虹吸管

一、问题重述

虹吸是一种常见的流体力学现象，在日常生活、机械产品和水利工程中均有广泛应用。

利用数学模型对虹吸原理深入研究，将对设计领域如何正确、巧妙利用虹吸作用提供帮助。

关于虹吸的原理探讨有以下三个具体事例：

1、根据《牛津英语词典》以及众多网络词典的释义，虹吸作用的原理是利用气压差，将高处容器中的液体通过两臂不等长的U形管引至低处容器中，但其中没有提到重力起到的关键性作用。

《牛津英语词典》自从1911年起就对虹吸作此定义，但是直到前不久才有人对此正式提出质疑，这个人就是澳大利亚昆士兰理工大学的物理学教师史蒂芬休斯博士。

2、休斯博士在亲眼目睹澳大利亚一个令人震撼的虹吸工程时无意中发现了这个错误，当时工程的规模相当于将4000个奥运会标准泳池中的水从墨累河转移到邦尼湖，而这个大工程在两个月的工期内并没有使用到泵。

3、偷汽油的小偷都知道，要想让汽油从管子的一头流向另一头，就要用嘴含住管子的一头吸气，以形成气压差，而一旦汽油流过了管子的最高点，其余的工作是由重力完成的。

结合以上3个事例，在对虹吸原理有深入理解的基础上，进一步解决两个问题：

1、如图1：

左侧瓶子直径a，液面高度h1，水管的直径b，管最高点h，右侧瓶子直径c，液面高度h2，液体密度e，流量x。

求解：

管最高点h和流量x的数理模型，并分析其工作过程，以及虹吸作用的影响。

2、如图2：

重力自流水坝的数理模型分析。

水坝高度h，流量x。

求解：

水坝最高点h和流量x的数理模型，并分析其工作过程以及虹吸作用的影响。

其它未知量参考问题1。

二、问题分析

虹吸现象是一种物理现象，其问题本身属于流体力学范畴，因此在建立模型的时候需要将数学与物理紧密结合。

我们在解决问题1、2中重点运用了数学与物理联系的纽带——物理公式来分析、求解问题。

针对问题我们多次运用流体力学的一些重要理论和公式——伯努利（Bernoull）方程。

通过方程的使用和其他求解办法从而得出所需结论。

问题1：

由于两只瓶子内液面高度不同进而在管的入水口和出水口形成压强差导致水从管中流向液面较低的一侧使其两侧压强差趋向平衡。

液体在管中流动的过程遵循流体力学中伯努利（Bernoull）方程的原则，通过次方程我们可以研究液体在管中的流速和管高的问题。

由流速和流量的关系，我们进一步推导出流量的数学模型。

问题2：

虹吸水坝运用了虹吸原理，它的主要部件就是虹吸导水管。

由于虹吸导水管埋深浅，维护管理方便，在一定的环境下比较实用，所以虹吸导水管一般适用于导水管管径小（300以下）的小型水厂，在此我们运用的依旧是伯努利（Bernoull）方程，不过在现实的条件下许多实在的问题也应当考虑进去。

从而推出自流水坝中的不同高度值。

而虹吸管流量和管道的直径，断面1-1与断面3-3的高度差，断面1-1处的压力P1等有关，所以流量是一个可根据具体情况设计的量。

三、模型假设

问题1：

1．将管道看做是内壁光滑的，不考虑内部摩擦的影响。

2．大气压是稳定的且为正常大气压。

3．管内先装满液体。

4．管的最高点距上容器的液面高度不得高于大气压支持的水柱高度。

5．出水口比上容器的水面必须低。

这样使得出水口液片受到向下的的压强（大气压加水的压强）大于向上的大气压，保证水的流出。

问题2：

1.地理、水文条件适宜

2.左断面水面高于右断面水面

3.虹吸管严密不漏气

四、符号说明

问题1：

（1）

：

A容器液面的压力

（2）

：

B容器液面的压力

（3）

：

A容器液面的高度

（4）

：

B容器液面的高度

（5）

：

曲管最高点的高度

（6）L：

曲管的长度

（7）

：

曲管左侧的长度

（8）D：

曲管的直径

（9）

：

沿程阻力系数

（10）

：

曲管进口处的局部阻力系数

（11）

：

曲管最高点的局部阻力系数

（12）

：

曲管出口处的局部阻力系数

（13）v：

曲管内液体的平均流速

（14）K：

表征虹吸流动过程中阻力的一个系数

（15）

：

在曲管的最高点液体压力达到最低值

（16）

：

液体密度

（17）g：

重力加速度

（18）

:

自左侧液面到管最高处的垂直距离

（19）X：

管内液体流量

问题2：

（1）z：

总流过水断面上任一点对其准面的位置水头（米）

（2）P／r：

总流过水断面上同一点的压强水头（米）

（3）H:

水头损失（米）

（4）V／2:

为总流过水断面的平均流速水头（米）

（5）l:

管道的长度

（6）

:

虹吸管道的流量系数

五、模型的建立与求解

问题1：

1、如图1，虹吸发生之后，曲管的流动利用BernoUlli方程建立A、B器液面的关系：

（1）

装置处在大气中，PA=PB，有：

（2）

2、由流量公式X=S*V，可知，

X=S*

=

（3）

3、利用Bernoulli方程可以求得曲管的最高点处的压力值Po：

（4）

若装置处于大气中，则Po低于大气压力，通常称为负压，但并不是液体真的处于拉应力状态。

由于液体不能受拉，为了保证Po>0，则必须有：

或

（5）

问题2：

1、由水力学的总流能量方程，也称伯努利方程，可得运动液体的两个连续断面，上游断面的总单位能等于下游断面的总单位能加上两断面间的单位能损失。

其方程：

（1）

水流从断面1-1至断面2-2过程中的能量方程为：

（2）

水流从断面1-1至断面3-3过程中的能量方程为：

Z3+hW1-3=0（3）

虹吸触发之后,对断面1-1和断面断面3-3列Bernoulli方程：

（4）

式中v1要远小于v3，动能校正系数

约等于1

水头损失hw1-3的计算公式为：

（5）

代入Bernoulli方程可得到：

（6）

于是虹吸管中的流速：

（7）

虹吸管道的流量：

（8）

六、模型的分析与验证

6.1问题1模型的分析与验证：

6.1.1公式

（2）中确实不含有大气压力，但不能认为大气压力对虹吸过程没有影响．事实上，由于液体不能承受拉应力，大气压，更准确地说，A器液面的压力PA是虹吸发生的必要条件．具体说明如下：

在虹吸过程中，液体首先沿着曲管的左侧向上流动．“水往高处流”的实现是以液体压力的降低为代价的．压力也是一种能量。

在曲管的最高点液体压力达到最低值PO。

也可以说，A器液面的压力PA或大气压力与曲管的最高点压力PO的差异，使得液体具备了动能，并克服阻力向上流动．而在曲管的右侧，由于出口点较低，液体在最高点具有更多的重力势能，因而液体向下流动时能克服阻力并使压力增大到B器液面的压力PB，或恢复到大气压力。

6.1.2对于公式（5）进行分析，如果曲管最高点超出贮水器A的液面H*以上，其充满水放入A、B两贮水器中后，则会出现图2

所示的状态；曲管两则的水均向下流动，各保留高H*的水柱，中间形成真空。

这与Torricelli试验相似[注释2]。

当然，曲管的上部实际上并不是真正的真空，而是压力为Pv的水蒸气。

Pv是饱和蒸气压力，与温度有关．即压力PA不能使液体通过左侧曲管达到最高点来实现右侧的“水往低处流”。

所以说，曲管的高度并不是无限制的增大的。

6.1.3当曲管的最高点尚没有超出贮水器A的液面H*时，由公式

（2）求到的速度v后，代入公式（4）计算得到的Po小于零。

这在实际流动中同样是不可能出现的．这时候，曲管上部的液体由于压力降低而蒸发，形成气泡，缩窄流动断面，增加流动阻力，使流动速度降低．曲管右侧将出现不稳定的气一液混合流动。

由于最高点的压力维持在饱和蒸气压力Pv是不变，因而虹吸流速由液面A的压力PA和最高点的压力PV依据公式（4）来计算，降低右侧液面B的高度并不能增加虹吸流量．不过，就实际应用而言，这种情形同样需要避免．通常曲管最高点只能超过液面A的高度是0．7H*，对大气中的水来说，约为7m。

6.1.4即使曲管左侧很短，通过降低右侧液面B的高度也不能使虹吸流量无限增大下去．因为沿程阻力损失是与管长成正比的，由公式

（2）可以知道，在保持左侧高度不变、增加两液面的高度差，虹吸速度所能达到的极限值是：

（6）

对直径D=0．01m的光滑圆管，沿程阻力系数

=0．02，极限速度v=3．13m／s。

公式（6）似乎表明增加管道直径可以提高虹吸的极限速度，如直径0．25m的管道极限速度就可以达到15m／s以上．但从公式（4）可以看出，即使不考虑液体的升高和各种阻力损失，压力全部转换为动能，极限速度是

，对于大气中的水只有14m／s。

而该值实际上是不可能得到的。

这就是说，虹吸管的高度和虹吸管的速度最大值（流或虹吸管的量）均受到液面压力PA的限制。

6.2问题2模型的分析与验证

6.2.1水流从断面1-1至断面2-2，基准面0—0，

1-1断面，Z1=0，Pl／r=0，

=O。

2-2断面Z2>O，

>0，hw1-2>0。

由

（2）式可得必须有：

P2/r<0水才能流过2-2断面

故有：

断面1-1与断面2-2的高度差h=Z1-Z2

结论：

在2-2断面必须形成一定的负压，克服沿程阻力，水头损失，水流才能流过2-2断面。

即虹吸管的最大高度不得大于总流过水断面1-1s上同一点的压强水头。

6.2.2水流从断面1-1至断面3-3

3-3断面：

Z3、P3/r=0，

由（3）式可得：

Z3=-hwl-3hw1-3>0

结论：

出水口水位必须低于进水口水位，其高度差为管路的水头损失。

虹吸管必须具备上述两条件，才能正常的运行。

其必要条件在管中最不利点（最高点）形成真空。

由上述流量公式

可知，虹吸管的流量在实际工作中可以人为控制，具体结合当地的具体情况设计。

现有具体工程实例如下：

虹吸管设计日导水量为200m3／日，工作时间按8小时，则流量Q=25m3／h。

虹吸管采用巾159×8钢管，管长215m，流速V=O．37m／s，查表1000i=2．03m，k=0.88．

虹吸管沿程水头损失：

hi=kil=0.88×215x2.03／1000=0．38m

局部水头损失：

查表计算hs=0．02m

虹吸管中总水头损失：

h=h1+hs=0。

384+0．02=0．40m

取水头部最低水位标高为21．66m，则集水的水位标高为：

21．66-0.40=21．26m

虹吸管的最大安装高度选取5米，虹吸管最高点高为：

21．26+5．0=26．26m

七、模型的评价与推广

结合问题1、2对所建模型加以评价和推广：

优缺点评价：

1.问题1、2均用到简单的BernoUlli方程，为简单的数理模型，便于分析和研究。

2.问题2是问题1的推广和应用，既验证了模型1的合理性和正确性，又拓展了实用范围和使用价值。

3.两个模型都未用到具体的数据，求解过程和求解结果较为抽象，不具有直观性和易读性。

推广：

以上建立的模型，在自流水坝的设计和控制中能发挥重要作用。

对模型进一步分析，添加一定的限制条件，我们可以将模型应用到更多的领域。

简单探讨水利工程和日常生活两个方面。

水利工程：

在自流水坝和屋面排水中充分控制好管高和流量就能充分发挥“水往低处流”的特性；在改变一定条件后，该模型还适用于倒虹吸如竖井等，实现“水往高处流”现象。

但倒虹吸在开始工作时不需人为地制造管中的真空，因而更为普及；日常生活：

以虹吸式座便器为例。

虹吸式座便器的结构是排水管道呈“∽”型，在排水管道充满水后会产生一定的水位差，借冲洗水在便器内的排污管内产生的吸力将便便排走，由于虹吸式座便器冲排是不是借助水流冲力，所以池内存水面较大，冲水噪音较小。

因此可以利用虹吸原理将该模型进一步改进以适用其中，如考虑气流作用、管道摩擦等。

虹吸现象无处不在，所涉及的数学模型也举不胜举，利用BernoUlli方程建立的简单模型添加一定的约束将会适用更广的领域。

八、参考文献

[1]尤明庆，陈小敏，实现虹吸过程的条件，焦作工学院学报（自然科学版），第22卷，第6期：

1-3，2003年11月。

[2]严平，对虹吸操作条件的讨论，物理通报，1997年第10期。

[3]普郎特L，流体力学概论，科学出版社，1981。

[4]孔珑，工程流体力学，中国电力出版社，1992。

[5]张桂生，浅析虹吸导水管水源工程中的应用，经济技术协作技术，第1001期。

[6]张永防，张颖钧，虹吸排水应用技术的研究，中国铁道科学，第20卷第3期：

1-9，1999年。

[7]葛毅，虹吸管道内流场的数值模拟和试验研究，硕士学位论文，湖南大学，2007年。

[8]姚雄，王长德，范杰，大型输水渠系运行控制研究，第三届黄河国际论坛论文集。