整式的概念不分层知识讲解.doc

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2.1整式的概念

【学习目标】

1．掌握单项式系数及次数的概念；

2.理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念；

3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式；

4.能准确而熟练地列式子表示一些数量关系．

【要点梳理】

要点一、单项式

1.单项式的概念：

如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：

（1）单项式包括三种类型：

①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母．

（2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：

可以写成。

但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

2.单项式的系数：

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：

（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；

（2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数；

（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：

写成．

3.单项式的次数：

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

要点诠释：

单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点：

（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算．

要点二、多项式

1.多项式的概念：

几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：

“几个”是指两个或两个以上．

2.多项式的项：

每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点诠释：

（1）多项式的每一项包括它前面的符号．

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：

是一个三项式．

3.多项式的次数：

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点诠释：

（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

要点三、整式

单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：

（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示．

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式．

【典型例题】

类型一、整式概念辨析

1．指出下列各式中哪些是单项式？

哪些是多项式？

哪些是整式？

，，，10，，，，，，

【答案与解析】单项式有：

，10，，；

多项式有：

，，，；

整式有：

，，，10，，，，．

【总结升华】不是整式，因为分母中含有字母；也不是多项式，因为不是单项式．

举一反三：

【变式】下列代数式：

，其中是单项式的是_______________，是多项式的是_______________。

【答案】①②③，④⑥

类型二、单项式

2．指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

，，，，，a-3，，，

【答案与解析】，，，，，，是单项式，其中

的系数是，次数是3；的系数是-1，次数是1；的系数是，次数是4；

的系数是，次数是4；为非零常数，只有数字因式，系数是它本身，次数为0；

的系数仍按科学记数法表示为-3×108，次数是3；

只含有字母因数，系数是l，次数为字母指数之和为3．

【总结升华】

（1）要区分数字因数、字母因数；

（2）不能见了指数就相加，如中，的指数4不能相加，次数为4；（3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数；（4）是常数，不能看作字母．

举一反三：

【变式1】（2011•柳州）单项式3x2y3的系数是　　．

【答案】3．

【变式2】（2009·泰州）下列结论正确的是（）．

A．没有加减运算的代数式叫做单项式．

B．单项式的系数是3，次数是2．

C．单项式m既没有系数，也没有次数．

D．单项式的系数是-1，次数是4．

【答案】D

类型三、多项式

3.多项式，这个多项式的最高次项是什么？

一次项的系数是什么？

常数项是什么？

这是几次几项式?

【答案与解析】这个多项式中共有四项，分别为：

，它们的次数分别为：

3,6,1,0；

其中的次数是6，是最高次项，一次项的系数是-1，常数项是1，它是六次四项式．

【总结升华】确定多项式的次数时，分两步：

（1）先求多项式中每一项的次数；

（2）取这些次数中的最大的数即为多项式的次数．

4.已知多项式．

（1）求多项式各项的系数和次数．

（2）如果多项式是七次五项式，求m的值．

【答案与解析】

（1）依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．

（2）由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．

【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．

举一反三：

【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．

【答案】

类型四、整式的应用

5.用整式填空：

（1）某商场将一种商品A按标价的9折出售（即优惠10%）仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元（列出式子即可，不用化简）．

（2）甲商品的进价为1400元，若标价为a元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：

________乙：

________．

【答案】

（1）；

（2）甲商品的利润率为，乙商品的利润率为：

．

【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．

【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：

（1）利润＝售价－进价;

（2）利润率＝．

举一反三：

【变式】有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了　　块砖（用含a．b的代数式表示）．

【答案】（40a+30b）

6.（2010·广东茂名）如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子

A．4n枚B．（4n-4）枚C．（4n+4）枚D．n2枚

【答案】A

【解析】第一个“口”字用4枚棋子，第二个“口”字用8枚棋子，第三个“口”字用12枚棋子，由4＝4×1，8＝4×2，12＝4×3依此类推第n个“口”字需用棋子4n．

【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路”、“对比分析”、“总结规律”、“反思检验”等．

【巩固练习】

一、选择题

1．下列说法中错误的个数是（）．

①单独一个数0不是单项式；②单项式-a的次数为0；

③多项式-a2+abc+1是二次三项式；④-a2b的系数是1．

A．1B．2C．3D．4

2．已知单项式，下列说法正确的是（）．

A．系数是-4，次数是3

B．系数是，次数是3

C．系数是，次数是3

D．系数是，次数是2

3．如果一个多项式的次数是3，那么这个多项式的任何一项的次数（）．

A．都小于3B．都等于3C．都不小于3D．都不大于3

4．下列式子：

a+2b，，，，0中，整式的个数是（）．

A．2个B．3个C．4个D．5个

5.．关于单项式，下列结论正确的是（）．

A．系数是-2，次数是4

B．系数是-2，次数是5

C．系数是-2，次数是8

D．系数是-23，次数是5

6．一组按规律排列的多项式：

，，，，…，其中第10个式子是（）．

A．B．C．D．

二、填空题

1．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．

2.关于的多项式的次数是2，那么．

3．（2011广东湛江）多项式2x2-3x+5是_次______项式．

4．是关于x、y的五次单项式，且系数为3，则a+b的值为________．

5．有一组单项式：

，，，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式：

________．

6．关于x的二次三项式的一次项的系数为5，二次项的系数为-3，常数项为-4，按照x的次数逐渐降低排列，这个二次三项式为________．

7．某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验：

第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒……按此规律，请你推测第n组应该取种子数是________粒．

8.（2010·四川绵阳）如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝________．

三、解答题

1．把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；反之，叫做按这个字母的升幂排列。

如是按的降幂排列（也是按的升幂排列），请把多项式重新排列．

（1）按降幂排列；

（2）按升幂排列．

2．已知单项式的次数与多项式的次数相同，求的值．

3．某电影院有20排座位，已知第一排有18个座位，后面一排都比前一排多2个座位，试用代数式表示出第n排的座位数，并求第19排的座位数．

4．已知多项式，

（1）请你按照上述规律写出该多项式的第5项，并指出它的系数和次数；

（2）这个多项式是几次几项式?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】D

【解析】①单独的一个数是单项式；②-a的次数为1；③多项式-a2+abc+1是三次三项式；④-a2b的系数为-1．

2．【答案】B

3．【答案】D

【解析】多项式的次数是该多项式中各项次数最高项的次数。

4．【答案】C

【解析】整式有，，，0．

5．【答案】D

6．【答案】B

【解析】观察每个式子知，每个多项式都是二项式，且a、b的指数与式子的个数n之间的关系是a的指数为n，b的指数为2n-1，而且含a项的系数都是1，含b项的系数为，即第n个式子为，所以第10个式子是．

二、填空题

1.【答案】，，，0；，

【解析】单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和．

2．【答案】1，2

【解析】要使多项式中不含某项，则需令此项的系数为0.

3．【答案】二，三

4．【答案】1

【解析】由-a＝3，2+b-1＝5，得a＝-3，b＝4，则a+b＝-3+4＝1．

5．【答案】．

6．【答案】

【解析】①只含字母x，且二次项系数为-3，一次项系数为5，常数项为-4；②二次三项式；③按x的降幂排列．

7．【答案】

【解析】本题考查规律探索，第一组3粒（3＝1×2+1），第二组5粒（5＝2×2+1），第三组7粒（7＝2×3+1），第四组9粒（9＝2×4+1），…，按此规律，第n组应该取的种子数为2n+1．

8.【答案】30

【解析】2+4+6+…+2n＝930，即2（1+2+3+…n）＝930，2×即n（n+1）＝930，故n＝30．

三、解答题

1.【解析】

（1）按降幂排列：

（2）按升幂排列：

2．【解析】

．

3.【解析】第一排有18个座位；第二排有（18+2）个；第三排有