17.解
(1)因为sin,
所以cosC=1-2sin2=-.
(2)因为sin2A+sin2B=sin2C,
所以a2+b2=c2.①
由余弦定理得a2+b2=c2+2abcosC,将cosC=-及①代入上式得ab=c2.②
由S△ABC=及sinC=,得ab=6.③
由①②③得经检验都满足题意.所以
18.解
(1)设从高一年级男生中选取m人,可知,解得m=25,故x=25-20=5,y=20-18=2.因此,题中表2的非优秀学生共5人,记测评等级为合格的3人为a,b,c,尚待改进的2人为A,B,则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a,b),(a,c),(b,c),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共10种.
设事件C表示“从题中表2的非优秀学生中随机选取2人,恰有1人测评等级为合格”,
则C包含的结果为(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),共6种,
故P(C)=,即所求概率为.
(2)填写2×2列联表如下:
男生
女生
总计
优秀
15
15
30
非优秀
10
5
15
总计
25
20
45
由列联表可知K2==1.125<2.706.
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“测评结果优秀与性别有关”.
19.
(1)证明因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以△ABC是等边三角形,所以AB=AC=2.
又因为AA1=2,A1B=2,所以A+AB2=A1B2.所以AA1⊥AB.
同理,AA1⊥AD.
又因为AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AA1⊥平面ABCD.
(2)解当=1时,A1B∥平面EAC.
证明如下:
连接BD,交AC于点O.当=1,即点E为A1D的中点时,连接OE,则OE∥A1B.又因为OE⊂平面EAC,A1B⊄平面EAC,所以A1B∥平面EAC.
因此,直线A1B与平面ACE之间的距离等于点A1到平面ACE的距离.因为E为A1D的中点,所以可转化为点D到平面ACE的距离.V三棱锥D-AEC=V三棱锥E-ACD.设AD的中点为F,连接EF,则EF∥AA1,所以EF⊥平面ACD,且EF=1.
又因为S△ACD=,所以V三棱锥E-ACD=×1×.设点D到平面ACE的距离为h.
因为△A1AD是直角三角形,E为A1D的中点,A1D=2,所以AE=.
连接CF,可知CF=,则CE=2.
又因为AC=2,所以S△AEC=.
所以V三棱锥D-AEC=·S△AEC·h=.
又因为V三棱锥D-AEC=V三棱锥E-ACD,
所以,即h=.
所以A1B与平面EAC之间的距离为.
20.
(1)解因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以c=1.所以a2=b2+1.
因为原点到直线AB:
=1的距离为d=,所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为=1.
(2)证明由可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.(*)
由题意可知直线与椭圆相切,故m≠0,且Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,
整理,得4k2-m2+3=0.
将4k2+3=m2,m2-3=4k2代入(*)式得
m2x2+8kmx+16k2=0,即(mx+4k)2=0,解得x=-.所以P.
又因为F1(1,0),所以=-,所以,
所以直线F1Q的方程为y=(x-1).
联立方程组得x=4,
故点Q在定直线x=4上.
21.解
(1)由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)=1+.
令f'(x)=0,得x2-ax+1=0.
①当-2≤a≤2时,Δ=a2-4≤0,此时,f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
②当a<-2时,Δ=a2-4>0,但x2-ax+1=0的两根x1,x2均为负数,
此时,f'(x)>0在(0,+∞)内恒成立,所以f(x)在定义域(0,+∞)内单调递增;
③当a>2时,Δ=a2-4>0,解得x2-ax+1=0的两根为x1=,x2=,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上可得,当a≤2时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a>2时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由题意可知,g(x)=x-+alnx,定义域为(0,+∞),
则g'(x)=1+.
令g'(x)=0,得x2+ax+1=0,其两根为x1,x2,且所以x2=,a=-.所以a<0.
所以g(x1)-g(x2)=g(x1)-g=x1-+alnx1-=2+2alnx1=2-2lnx1.
设h(x)=2-2lnx,x∈(0,e],可知[g(x1)-g(x2)]min=h(x)min.
因为h'(x)=2-2,所以当x∈(0,e]时,恒有h'(x)≤0.所以h(x)在(0,e]上单调递减.所以h(x)min=h(e)=-,
所以[g(x1)-g(x2)]min=-.
22.解
(1)因为C1的极坐标方程为
ρ=2sin=2sinθ+2cosθ,
所以C1的直角坐标方程为x2+y2=2y+2x,化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
由题意可知曲线C2的直角坐标方程为y=a.
因为曲线C1关于曲线C2对称,所以a=1,
所以曲线C2的直角坐标方程为y=1.
(2)因为|OA|=2sin,
|OB|=2sin=2cosφ,
|OC|=2sinφ,
|OD|=2sin=2cos,
所以|OA|·|OC|+|OB|·|OD|
=2sin·2sinφ+2cosφ·2cos=8cos
=8×=4.
23.解
(1)因为|x-a|≤m,所以a-m≤x≤a+m.
又因为f(x)≤m的解集为[-1,5],
所以解得
(2)当a=2时,f(x)+t≥f(x+2)等价于|x-2|+t≥|x|.
当x≥2时,不等式转化为x-2+t≥x,解得t≥2,与0≤t<2矛盾,故舍去;
当0≤x<2时,不等式转化为2-x+t≥x,解得0≤x≤;
当x<0时,不等式转化为2-x+t≥-x,解得t≥-2,符合题意.
所以原不等式解集是.