二次函数的应用训练题.docx
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二次函数的应用训练题
二次函数的应用
（一）、二次函数的代数应用：
1、大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店，该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：
调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60＋x（元/件）（x>0即售价上涨，x<0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．
（1）、直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）、如何确定销售价格才能使月利润最大？
求最大月利润；
（3）、为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？
2、某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本
（单位：
元）、销售价
（单位：
元）与产量x（单位：
kg）之间的函数关系．
（1）、请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）、求线段AB所表示的
与x之间的函数表达式；
（3）、当该产品产量为多少时，获得的利润最大？
最大利润是多少？
3、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需食品配料200千克，配料价格为1.8元/千克，每次购买配料除需支付运输费236元外，还需支付保管费，其标准如下：
7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．
（1）、当9天购买一次配料时，求该厂的配料保管费用P是多少元？
（2）、当x天购买一次配料时，求该厂在这x天中用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式；
（3）、求多少天购买一次配料时，才能使该厂平均每天的总支出最少？
（总支出=购买配料费+运输费+保管费）
4、一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元（不含套餐成本）．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y（元）表示该店日净收入．（日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出）
（1）、求y与x的函数关系式；
（2）、若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？
（3）、该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？
此时日净收入为多少？
4、月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：
每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）．（注：
若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）、请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）、求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值．
（3）、假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，
决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x＞8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润s（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围．
5、启明公司生产某种产品，每件成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量是原销售量的y倍，且
．如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费．
（1）、试写出年利润s（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？
最大年利润是多少万元？
（2）、把
（1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的方式？
写出每种投资方式所选的项目．
6、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
（1）、请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）、农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）、若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获
利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润-日支出费用）
7、某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分
率相同．
（1）、求该种水果每次降价的百分率；
（2）、从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
（3）、在
（2）的条件下，若要使第15天的利润比
（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
8、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）
与时间（天）的关系如下表：
时间（天）
1
3
6
10
36
…
日销售量（件）
94
90
84
76
24
…
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与t时间（天）的函数关系式为：
y1=1/4t+25（1≤t≤20且t为整数）；后20天每天的价格y2（原/件）与t时间（天）的函数关系式为：
y2=—1/2t+40（21≤t≤40且t为整数）。
下面我们来研究这种商品的有关问题。
（1）、认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
（2）、请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
（3）、在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a＜4）给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围。
9、已知：
在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A，C两点的坐标分别为
，
（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O—A—B—C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．
（1）结合以上信息及图2填空：
图2中的m=；
（2）求B，C两点的坐标及图2中OF的长；
（3）在图1中，当动点P恰为经过O，B两点的抛物线W的顶点时，
①求此抛物线W的解析式；
②若点Q在直线
上方的抛物线W上，坐标平面内另有一点R，满足以B，P，Q，R四点为顶点的四边形是菱形，求点Q的坐标．
10、我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价
（元∕件）
……
30
40
50
60
……
每天销售量
（件）
……
500
400
300
200
……
（1）、把上表中
、
的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想
与
的函数关系，并求出函数关系式；（4分）
（2）、当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
最大利润是多少？
（利润=销售总价-成本总价）（4分）
（3）、当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
（2分）
11、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润
与投资量
成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润
与投资量
成二次函数关系，如图②所示（注：
利润与投资量的单位：
万元）
（1）分别求出利润
与
关于投资量
的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？
他能获取的最大利润是多少？
（注意：
在试题卷上作答无效）
12、我市某文具厂生产一种签字笔．已知这种笔的生产成本为每支6元．经市场调研发现：
批发该种签字笔每天的销售量y（支）与售价x（元/支）之间存在着如下表所示的一次函数关系：
（利润＝（售价－成本）×销售量）
（1）、求销售量y（支）与售价x（元/支）之间的函数关系式；
（2）、求销售利润W（元）与售价x（元/支）之间的函数关系式；
（3）、试问该厂应当以每支签字笔多少元出售时，才能使每天所获得的利润最大？
最大利润是多少元？
13、李经理在某地以10元/千克的批发价收购了2000千克核桃，并借一仓库储存．在存放过程中，平均每天有6千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为60天．若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨0.5元。
（1）、存放x天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为y元，试求出y与x之间的函数关系式；
（2）、如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计340元，李经理要想获得利润22500元，需将这批核桃存放多少天后出售？
（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
14、如图，用长为20米的篱笆恰好围成一个扇形花坛，且扇形花坛的圆心角小于180°，设扇形花坛的半径为
米，面积为
平方米．（注：
的近似值取3）
（1）、求出
与
的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）、当半径
为何值时，扇形花坛的面积最大，并求面积的最大值．
15、某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，得到如下数据：
（1）若日销售量
（件）是售价
（元∕件）的一次函数，求这个一次函数的解析式；
（2）设这个工厂试销该产品每天获得的利润为W（元），当售价定为每件多少元时，工厂每天获得的利润最大？
最大利润是多少元？
16、小明爸爸经营的水果店出售一种优质热带水果，正在上初三的小明经过调查和计算，发现这种水果每月的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在着一次函数关系：
y=-10x+500．
下面是他们的一次对话：
小明：
“您要是告诉我咱家这种水果的进价是多少？
我就能帮你预测好多信息呢！
”
爸爸：
“咱家这种水果的进价是每千克20元”
聪明的你，也来解答一下小明想要解决的三个问题：
（1）若每月获得利润w（元）是销售单价x（元）的函数，求这个函数的解析式．
（2）当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）如果想要每月从这种水果的销售中获利2000元，那么销售单价应该定为多少元？
17、我市某外资企业生产的一批产品上市后30天内全部售完，该企业对这批产品上市后每天的销售情况进行了跟踪调查。
其中，国内市场的日销售量y1（万件）与时间t（t为整数，单位：
天）的部分对应值如下表所示。
而国外市场的日销售量y2（万件）与时间t（t为整数，单位：
天）的关系如图所示。
（1）、请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y1与t的变化规律，写出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（2）、分别探求该产品在国外市场上升20天前（不含第20天）与20天后（含第20天）的日销售量y2与时间t所符合的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；
（3）、设国内、外市场的日销售总量为y万件，写出y与时间t的函数关系式，并判断上市第几天国内、外市场的日销售总量y最大，并求出此时的最大值。
18、一家化工厂原来每月利润为120万元，从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本.据测算，使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90,第二年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平。
（1）、设使用回收净化设备后的1至x月（1≤x≤12）的利润和为y,写出y关于x的函数关系式，并求前几个月的利润和等于700万元？
（2）、当x为何值时，使用回收净化设备后的1至x月的利润和与不安装回收净化设备时x个月的利润和相等？
（3）、求使用回收净化设备后两年的利润总和。
19、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）、设
到后每千克该野生菌的市场价格为
元，试写出
与
之间的函数关系式．
（2）、若存放
天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为
元，
试写出
与
之间的函数关系式．
（3）、李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润
元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
20、农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x/（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p/千克
600
450
300
150
0
（1）、请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）、农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）、若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值.（日获利＝日销售利润－日支出费用）
21、随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000元，放养30天的总成本为178000元.设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为
a＝
y与t的函数关系如图所示.
（1）、设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）、求y与t的函数关系式；
（3）、如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？
最大利润是多少？
（总成本＝放养总费用＋收购成本；利润＝销售总额－总成本）
22、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间
（单位：
分钟）与学习收益量
的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间
（单位：
分钟）与学习收益量
的关系如图乙所示（其中
是抛物线的一部分，
为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
（1）、求王亮解题的学习收益量
与用于解题的时间
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）、求王亮回顾反思的学习收益量
与用于回顾反思的时间
之间的函数关系式；
（3）、王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？
（学习收益总量
解题的学习收益量
回顾反思的学习收益量）
（二）、二次函数几何应用：
23、如图，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰好是水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．
（1）、如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
（2）、若水池喷出的水流线形状与
（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流的最大高度应达到多少米？
（精确到0.1m）
24、今年夏季我国部分地区遭受水灾，空军某部奉命赶赴灾区空投物资。
已知在空投物资离开飞机后在空中沿抛物线降落，抛物线的顶点在机舱口A处，如图所示.
⑴、如果空投物资离开A处后下落的垂直高度AB=160米时，它到A处的水平距离为BC=200米，那么要使飞机在垂直高度AO=1000米的高空进行空投，物资恰好准确落在P处，飞机距P处的水平距离OP为多少米？
⑵、如果根据空投时的实际风力和风向测算，当空投物资离开A处的垂直距离为160米时，它到A处的水平距离为400米，要使飞机仍在⑴中O点的正上方空投，且使空投物资准确地落在P处，那么飞机空投的高度应调整为多少米？
25、如图①，一座石拱桥坐落在秦淮河上，它的主桥拱为圆弧形.如图②，乔宽AB为8米，水面BC宽16米，BC表示的是主桥拱在水面以上的部分，点P表示主桥拱拱顶.小明乘坐游船，沿主桥拱的中轴线向主桥拱行驶.
⑴图③是主桥拱在水面以上部分的主视图，请用直尺和圆规作出主桥拱在静水中的倒影（保留作图痕迹，不写作法）.
⑵已知小明眼睛距离水平1.6米，游船的速度为0.2米/秒.某一时刻，小明看拱顶P的仰角为37°，4秒后，
小明看拱顶P的仰角为45°.（参考数据：
sin370.60，cos370.80，tan370.75.）
①求桥拱P到水面的距离；
②船上的旗杆高1米，某时刻游船背对阳光形式，小明发现旗杆在阳光下的投影所在直线与航线平行且长为2米.请估计此刻桥的正下方被阳光照射到的部分的面积（需画出示意图并标注必要数据）.
26、如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6m，宽度OM为12m，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）、直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）、求出这条抛物线的解析式；
（3）、施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求脚手架三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？
请你帮施工队计算一下．
27、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历从亏损到盈利的过程，如图的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润y（万元）与销售时间x（月）之间的关系（即前x个月的利润和y与x的关系）．
（1）根据图上信息，求累积利润y（万元）与时间x（月）的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元？
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
28、某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.
（1）、求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
（2）、王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）、经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：
在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度.
29、如图，足球场上守门员在
处开出一高球，球从离地面1米的
处飞出（
在
轴上），运动员乙在距
点6米的
处发现球在自己头的正上方达到最高点
，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）、求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）、足球第一次落地点
距守门员多少米？
（取
）
（3）、运动员乙要抢到第二个落点
，他应再向前跑多少米？
（取
）
30、如图
（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图
（2）．求：
（1）、抛物线的解析式；
（2）、两盏景观灯
、
之间的水平距离.
31、如图所示，图
（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m，支柱
，5根支柱
之间的距离均为15m，
，将抛物线放在图
（2）所示的直角坐标系中．
①、直接写出图
（2）中点
的坐标；
②、求图
（2）中抛物线的函数表达式；
③、求图
（1）中支柱
的长度．
32、如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度BD为12米时，球移动的水平距离PD为9米．已知山坡PA与水平方向PC的夹角为30o，AC⊥PC于点C，P、A两点相距
米．请你建立适当的平面直角坐标系解决下列问题.
（1）、求水平距离PC的长；
（2）、求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）、判断小明这一杆能否把高尔夫球从P点直接打入球洞A．
33、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．
（1）、将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；
（2）、求支柱
的长度；
（3）、拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、
高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？
请说明你的理由．
33、桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）CO＝１米，FG＝２米
（1）、求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
（2）、求柱子AD的高度。
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