电磁场与电磁波课后习题及答案.docx

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电磁场与电磁波课后习题及答案

　　　　　　习题解答　　如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为　　U0，求槽内的电位函数。

　　解根据题意，电位?

（x,y）满足的边界条件为　　y?

）?

a（y,?

）0①?

（0,）0②?

（x,0?

　　③　　?

（x,b）?

U0　　根据条件①和②，电位?

（x,y）的通解应取为　　y?

（x,y）?

Ansinh（n?

yn?

x）sin（）aa　　boU0条件③，有　　a题图　　U0?

Ansinh（?

　　axn?

1n?

bn?

x）sin（）aa　　sin（两边同乘以　　　　n?

x）a，并从0到a对x积分，得到　　a2U0n?

xAn?

sin（）dx?

asinh（n?

ba）?

a0　　4U0?

1,3,5,?

sinh（n?

ba）2U0?

（1?

cosn?

）?

2,4,6,n?

sinh（n?

ba）?

0，　　?

（x,y）?

故得到槽内的电位分布　　4U01?

sinh?

1,3,5nn?

（ban?

ysinh（）a?

nx）sin（a　　）两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片y?

d到y?

b（?

）。

上板和薄片保持电位　　U0，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从y?

0到　　y?

d，电位线性变化，?

（0,y）?

U0yd。

　　yU0解应用叠加原理，设板间的电位为　　?

（x,y）?

1（x,y）?

2（x,y）　　其中，　　boxydxyoxy题图　　?

1（x,y）为不存在薄片的平行无限大导体平面间的电位，即?

1（x,y）?

U0yb；?

2（x,y）是两个电位为零　　的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

①　　　　?

2（x,0）?

2（x,b）?

0　　②　　?

2（x,y）?

0（x?

）　　U0?

0b?

2（0,y）?

（0,y）?

1（0,y）?

U0y?

d③　　（0?

d）（d?

b）　　?

xn?

nb?

2（x,y）?

Ansin（）e?

（x,y）的通解为bn?

1根据条件①和②，可设2　　U0?

0bAnsin（）?

bn?

U0y?

d条件③有　　sin（两边同乘以　　d（0?

d）（d?

b）　　n?

y）b，并从0到b对y积分，得到　　b2U2Uyn?

y11n?

yAn?

（1?

）sin（）dy?

（?

）ysin（）dy?

2U02bsin（n?

d）b0bbbddbb（n?

）db　　?

xU02bU0?

1n?

dn?

nby?

sin（）sin（）e2?

（x,y）?

bd?

bbn?

1n故得到　　求在上题的解中，除开定出边缘电容。

　　U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按　　Cf?

2WeU02解在导体板上，相应于　　?

2（x,y）的电荷面密度　　?

02?

x2?

0U0?

1n?

nb?

sin（）e?

dn?

1nb　　则导体板上相应的总电荷　　?

x2?

0U0n?

nb4?

Ub00q2?

2dx?

sin（）edx?

12sin（n?

d）n?

db?

dn?

1nb0n?

0bU011n?

dWe?

q2U0?

sin（）?

222?

dn?

1nb相应的电场储能为　　2We4?

0b?

1n?

dCf?

2sin（）U0?

dn?

1nb　　其边缘电容为　　如题图所示的导体槽，底面保持电位　　U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

　　解根据题意，电位?

（x,y）满足的边界条件为　　y?

）?

a（y,?

）0①?

（0,y?

0（y?

）②?

（x,y）③　　?

（x,0?

）U0　　根据条件①和②，电位?

（x,y）的通解应取为　　oU0　　　　a题图　　　　ax　　?

（x,y）?

Ane?

yasin（n?

x）a　　n?

x）a　　条件③，有　　　　U0?

Ansin（n?

sin（两边同乘以　　n?

x）a，并从0到a对x积分，得到　　?

4U0,?

a2U0n?

2U0An?

sin（）dx?

（1?

cosn?

）?

0，n?

0n?

1,3,5,n?

2,4,6,ya　　?

（x,y）?

故得到槽内的电位分布为　　4U01?

1,3,5nn?

xsin（）a　　一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为　　?

y（y?

b）sin（?

xa）sin（?

zc　　）的电荷。

求体积内的电位?

。

解在体积内，电位?

满足泊松方程　　?

y（y?

b）sin（）sin（）?

x2?

y2?

z2?

0ac　　　　长方体表面S上，电位?

满足边界条件　　?

0。

此设电位?

的通解为　　?

（x,y,z）?

Amnpsin（m?

1n?

1p?

xn?

yp?

z）sin（）sin（）abc　　代入泊松方程，可得　　?

Amnp[（m?

1n?

1p?

2n?

2p?

）?

（）?

（）2]?

abc　　sin（m?

xn?

yp?

z）sin（）sin（）?

y（y?

b）sin（）sin（）abcac　　（m?

1或p?

1）　　此可得　　Amnp?

2n?

yA[（）?

（）?

（）]sin（）?

1n1abcby（y?

b）　　　　p?

1式，可得　　n?

2n?

yA1n1[（）?

（）2?

（）2]?

y（y?

b）sin（）dy?

4（b）3（cosn?

1）?

abcb0bbn?

8b2?

（n?

）?

1,3,5,n?

2,4,6,8b2?

（x,y,z）?

故　　　　1?

xn?

zsin（）sin（）sin（）?

51n1?

0n?

1,3,5nabc,3[（）2?

（）2?

（）]2abc　　如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与z轴平行的线电荷　　ql，　　其位置为　　（0,d）。

求板间的电位函数。

　　解于在（0,d）处有一与z轴平行的线电荷个区域，则这两个区域中的电位上，可利用?

函数将线电荷ql，以x?

0为界将场空间分割为x?

0和x?

0两　　?

1（x,y）和?

2（x,y）都满足拉普拉斯方程。

而在x?

0的分界面　　ql表示成电荷面密度?

（y）?

ql?

（y?

y0）。

　　电位的边界条件为　　y①　　?

1（x,0）=?

1（x,a）?

0　　?

2（x,0）=?

2（x,a）?

0　　qld?

）a②　　1（x,y）?

0（x?

　　ox题　　图　　?

2（x,y）?

0（x?

）　　　　③　　?

1（0,y）?

2（0,y）　　（?

2ql?

x）x?

（y?

d）0　　条件①和②，可设电位函数的通解为　　?

1（x,y）?

xan?

ynesin（n?

1a）　　（x?

0）　　?

y2（x,y）?

xanensin（n?

1a）　　（x?

0）　　条件③，有　　?

An?

yBn?

ynsin（）?

nsin（n?

1a?

1a）　　　　?

An?

nsin（n?

1aa）?

Bnn?

1asin（n?

yqa）?

（y?

d）0　　式，可得　　An?

Bn　　　　　　　　sin（m?

y将式两边同乘以　　a），并从0到a对y积分，有　　1）　　（

　　　　　　An?

Bn?

2qln?

a0?

（y?

d）sin（2qln?

yn?

d）dy?

sin（）an?

0a　　n?

d）a　　式和解得　　An?

Bn?

　　　　qln?

0sin（?

1（x,y）?

故　　　　1n?

xan?

ysin（）esin（）?

0n?

1naa　　（x?

0）ql?

l2（x,y）?

nsin（n?

dn?

xan?

ya）esin（a）0n?

1　　（x?

0）　　如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷　　ql。

求槽内的电位函数。

　　解于在　　（x0,y0）处有一与z轴平行的线电荷ql，以　　x?

x0为界将　　场空间分割为　　0?

x0和x0?

a两个区域，则这两个区（x0,y0）域中的电位?

1（x,y）和?

2（x,y）都满足拉普拉斯方程。

而在x?

x0的　　分界面上，可利用?

函数将线电荷ql表示成电荷面密度　　?

（y）?

ql?

（y?

y0），电位的边界条件为　　①?

1（0,y=），0?

2（a,y）?

0　　②?

1（x,0）=?

1（x,b）?

0　　?

2（x,0）=?

2（x,b）?

0　　③　　?

1（x0,y）?

2（x0,y）（?

x）x?

x0?

ql?

（y?

y0）0　　条件①和②，可设电位函数的通解为　　?

1（x,y）?

Ansin（n?

yn?

xn?

1b）sinh（b）　　（0?

x0）　　ybqloax题图　　　　　　B?

（x,y）?

2n?

nsin（n?

yn?

）sinh[（a?

x）]（x?

a）bb0条件③，有　　?

x0n?

yn?

Asin（）sinh（）?

Bsin（）sinh[（a?

x0）]?

nnbbbbn?

1n?

1　　?

Ann?

1n?

x0n?

ysin（）cosh（）?

bbb　　qln?

yn?

（y?

y0）Bnsin（）cosh[（a?

x0）]?

0bbbn?

1　　　　?

式，可得　　Ansinh（n?

x0n?

）?

Bnsinh[（a?

x0）]?

0bb　　　　　　sin（将式两边同乘以　　m?

y）b，并从0到b对y积分，有　　2qln?

x0n?

Ancosh（）?

Bncosh[（a?

x0）]n?

0bb2qln?

y0sin（）n?

0b　　　　式和解得　　?

b0?

（y?

y0）sin（n?

y）dy?

b　　An?

　　　　2qln?

y01n?

sinh[（a?

x0）]sin（）sinh（n?

ab）n?

0bb　　Bn?

2qln?

x0n?

y01sinh（）sin（）sinh（n?

ab）n?

0bb　　?

1（x,y）?

故　　　　1n?

sinh[（a?

x0）]?

0n?

1nsinh（n?

ab）b2ql?

sin（n?

y0n?

xn?

y）sinh（）sin（）bbb　　（0?

x0）　　?

2（x,y）?

x01sinh（）?

0n?

1nsinh（n?

ab）b2ql?

sin（若以　　n?

y0n?

y）sinh[（a?

x）]sin（）bbb（x0?

a）　　y?

y0为界将场空间分割为0?

y0和y0?

b两个区域，则可类似地得到　　?

1（x,y）?

sin（1n?

sinh[（b?

y0）]?

0n?

1nsinh（n?

ba）a2ql?

x0n?

yn?

x）sinh（）sin（）aaa　　（0?

y0）　　?

2（x,y）?

sin（n?

y01sinh（）?

0n?

1nsinh（n?

ba）a2ql?

x0n?

x）sinh[（b?

y）]sin（）aaa（y0?

b）　　如题图所示，在均匀电场　　E0?

exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱　　的半径为a。

求导体圆柱外的电位?

和电场E以及导体表面的感应电荷密度?

。

解在外电场电荷的电位　　E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?

0与感应　　?

in的叠加。

于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。

在圆柱面坐标系中，　　外电场的电位为荷的电位　　?

0（r,?

）?

E0x?

E0rcos?

C　　，而感应电　　?

in（r,?

）应与?

0（r,?

）一样按cos?

变化，而且在无限远处为0。

于导体是等位体，　　所以?

（r,?

）满足的边界条件为　　y?

）?

C①?

（a,②　　?

（r,?

）?

Es?

C0rco?

r（?

）　　E0　　aox　　?

（r,?

）?

Ercos?

Arcos?

C01此可设　　?

Eacos?

Aacos?

C01条件①，有　　题图　　2A?

aE01于是得到　　故圆柱外的电位为　　?

（r,?

）?

（?

a2r?

1）E0cos?

C　　若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?

（a,?

）?

0，则C?

0。

导体圆柱外的电场则为　　22?

aaE?

（r,?

）?

er?

er（1?

）E0cos?

（?

）E0sin?

rr?

r2r2　　导体圆柱表面的电荷面密度为　　?

（r,?

）E0co?

sr?

r　　在介电常数为?

的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。

沿x轴方向外加一均匀电场解在电场电场　　E0?

exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

　　E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加　　E0与极化电荷的电场Ep的叠加。

外电场的电位为?

0（r,?

）?

E0x?

E0rcos?

而感应电　　荷的电位　　?

in（r,?

）应与?

0（r,?

）一样按cos?

变化，则空腔内、外的电位分别为?

1（r,?

）和　　?

2（r,?

）的边界条件为　　①　　r?

时，?

2（r,?

）?

E0rcos?

；　　?

（r,?

）为有限值；　　②r?

0时，1r?

a时，?

1（a,?

）?

2（a,?

），　　?

r　　③　　条件①和②，可设　　?

1（r,?

）?

E0rcos?

Ar1cos?

　　（r?

a）?

2（r,?

）?

E0rcos?

A2r?

1cos?

　　（r?

a）　　?

2Aa?

Aa?

aA22010带入条件③，有1，00A1?

此解得　　　　?

02E0A2?

aE0?

0，?

0　　2?

Ercos?

00（r?

a）　　　　?

1（r,?

）?

所以　　　　?

2（r,?

）?

[1?

0a2（）]E0rcos?

0r　　（r?

a）　　一个半径为b、无限长的薄导体圆柱面被分割成四个四分之一圆柱面，如题图所示。

　　第二象限和第四象限的四分之一圆柱面接地，第一象限和第三象　　y限分别保持电位　　U0和?

U0。

求圆柱面内部的电位函数。

　　0boU00解题意可知，圆柱面内部的电位函数满足边界条件为　　x　　①?

（0,?

）为有限值；　　?

U0　　题图　　②　　条件①可知，圆柱面内部的电位函数的通解为　　?

U0?

（b,?

）?

U0?

00?

23?

；　　?

（r,?

）?

rn（Ansinn?

Bncosn?

）n?

　　（r?

b）　　代入条件②，有此得到　　?

b（Ann?

nsin?

Bncno?

）b?

（,）　　1An?

nb?

（b,?

）sinn?

01b?

23?

2[?

U0sinn?

U0（1?

cosn?

）?

bnn?

2U0,n?

1,3,5,?

0，n?

2,4,6,　　1Bn?

nb?

（b,?

）cosn?

Un01?

203?

2cosn?

0U?

0cosn?

2U0,?

（?

1）2nn?

U0n?

3n?

（sin?

sin）?

0，?

bnn?

22n?

1,3,5,n?

2,4,6,　　?

（r,?

）?

故　　　　2U0?

1,3,5,?

31rn（）[sinn?

（?

1）2cosn?

]nb　　（r?

b）

　　　　　　如题图所示，一无限长介质圆柱的半径为a、介电常数为?

，在距离轴线有一与圆柱平行的线电荷解在线电荷　　r0（r0?

a）处，　　ql，计算空间各部分的电位。

　　ql作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位?

（r,?

）均为线电荷ql的电位　　?

l（r,?

）与极化电荷的电位?

p（r,?

）的叠加，即?

（r,?

）?

l（r,?

）?

p（r,?

）。

线电荷ql的电位　　?

l（r,?

）?

为　　　　yql2?

0lnR?

ql2?

0lnr2?

r02?

2rr0cos?

　　　　而极化电荷的电位　　?

p（r,?

）满足拉普拉斯方程，且是?

的偶函数。

o　　?

0ql介质圆柱内外的电位　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）满足的边界条件为分别为　　r0x　　①②　　?

1（0?

为有限值；）　　题图　　?

2（r,?

）?

（,?

）r?

（?

）lr?

2,?

02?

r　　　　③r?

a时，　　条件①和②可知，　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）的通解为　　?

1（r,?

）?

l（r,?

）?

Anrncosn?

　　（0?

a）　　　　?

2（r,?

）?

l（r,?

）?

Bnr?

ncosn?

1　　（a?

）　　　　将式～带入条件③，可得到　　?

Aann?

ncosn?

Bna?

ncosn?

（An?

nan?

Bn?

0na?

1）cosn?

（?

0）n?

ql?

lnR2?

a　　　　n当　　r?

r0时，将lnR展开为级数，有　　lnR?

lnr0?

1r（n?

1nr0）cn?

os　　　　　　带入式，得　　?

（An?

nan?

Bn?

0na?

1（?

0）ql）cosn?

0r0an?

1（）cosn?

rn?

10　　　　?

nAa?

Bann式和，有　　　　An?

nan?

Bn?

0na?

（?

0）qlan?

1（）2?

0r0r0　　ql（?

0）1ql（?

0）a2nAn?

Bn?

nn2?

（?

）nr2?

（?

）nr000000此解得，　　故得到圆柱内、外的电位分别为　　ql（?

0）?

1rn?

1（r,?

）?

lnr?

2rr0cos?

（）cosn?

02?

0（?

0）n?

1nr0　　　　ql220ql（?

0）?

1a2n?

2（r,?

）?

lnr?

2rr0cos?

（）cosn?

02?

0（?

0）n?

1nr0r　　　　ql220讨论：

利用式，可将式和中得第二项分别写成为　　ql（?

0）?

1rnql（?

0）?

（）cosn?

（lnR?

lnr0）?

0（?

0）n?

1nr02?

0（?

0）ql（?

0）?

1a2nql（?

0）?

（）cosn?

（lnR?

lnr）?

0（?

0）n?

1nr0r2?

0（?

0）　　其中　　R?

r2?

（a2r0）2?

2r（a2r0）cos?

。

因此可将　　?

1（r,?

）和?

2（r,?

）分别写成为　　?

1（r,?

）?

0qlq（?

0）lnR?

llnr02?

02?

0（?

0）1ql2?

0lnR?

（?

0）ql1（?

0）qllnR?

lnr2?

02?

0　　　　?

2（r,?

）?

0qlr,?

0所得结果可知，介质圆柱内的电位与位于的线电荷的电位相同，而介质圆　　a2　　（,0）　　r,qr柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：

位于的线电荷l；位于0的　　?

0qlql?

00线电荷；位于r?

0的线电荷。

将上题的介质圆柱改为导体圆柱，重新计算。

　　解导体圆柱内的电位为常数，导体圆柱外的电位?

（r,?

）均为线电荷电荷的电位　　ql的电位?

l（r,?

）与感应　　?

in（r,?

）的叠加，即?

（r,?

）?

l（r,?

）?

in（r,?

）。

线电荷ql的电位为　　ql2?

0lnR?

ql2?

0lnr2?

r02?

2rr0cos?

l（r,?

）?

而感应电荷的电位　　?

in（r,?

）满足拉普拉斯方程，且是?

的偶函数。

（r,?

）满足的边界条件为　　①?

（r,?

）?

lr（?

（r）?

）；　　②　　?

（a,?

）?

C。

　　于电位分布是?

的偶函数，并条件①可知，?

（r,?

）的通解为　　?

（r,?

）?

l（r,?

）?

Annr?

cosn?

0　　　　将式和带入条件②，可得到　　?

Aa?

nncosn?

qln?

02?

lna2?

r20?

2ar0cos?

0　　2将　　lna?

r20?

2ar0cos?

展开为级数，有　　lna2?

r2?

2ar?

lnr1a0cos0?

（r）ncosn?

1n0　　带入式，得　　?

nq?

lnacosn?

[lnr1ann?

020?

（）cosn?

]0n?

1nr0　　A?

qlql此可得　　2?

lnrAa2n00n?

0，　　2?

0n（r）0故导体圆柱外的电为　　?

（r,?

）?

ql2?

lnr2?

r20?

2rr0cos?

0　　3）　　　　　　qlql?

讨论：

利用式，可将式中的第二项写成为　　ql1a2n?

（）cosn?

（lnR?

lnr）?

0n?

1nr0r2?

0　　ql?

其中　　R?

r2?

（a2r0）2?

2r（a2r0）cos?

。

因此可将?

（r,?

）写成为　　?

（r,?

）?

ql2?

0lnR?

ql2?

0lnR?

ql2?

0lnr?

ql2?

0lnr0　　此可见，导体圆柱外的电位相当于三根线电荷所产生，它们分别为：

位于q的线电荷l；　　a2　　（,0）　　?

qqr位于0的线电荷l；位于r?

0的线电荷l。

　　在均匀外电场　　E0?

ezE0中放入半径为a的导体球，设导体充电至U0；　　导体上　　充有电荷Q。

试分别计算两种情况下球外的电位分布。

解这里导体充电至时导体球面上的电荷密度在　　U0应理解为未加外电场E0时导体球相对于无限远处的电位为U0，此　　?

0U0a，q?

0aU0。

E总电荷将导体球放入均匀外电场0中后，　　E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体　　球仍为等位体。

设　　?

（r,?

）?

0（r,?

）?

in（r,?

），其中　　?

0（r,?

）?

E0z?

E0rcos?

　　是均匀外电场　　E0的电位，?

in（r,?

）是导体球上的电荷产生的电位。

　　电位?

（r,?

）满足的边界条件为①　　r?

时，?

（r,?

）?

E0rcos?

；　　②r?

a时，　　?

（a,?

）?

C0，　　?

dS?

r　　其中　　C0为常数，若适当选择?

（r,?

）的参考点，可使C0?

U0。

（r,?

）?

Ercos?

Arcos?

Br?

C1011条件①，可设　　3A?

aE0，B1?

aU0，C1?

C0?

U01代入条件②，可得到　　3?

1C?

（r,?

）?

Ercos?

aErcos?

aUr00000若使，可得到　　导体上充电荷Q时，令　　Q?

0aU0，有　　U0?

Q4?

0a　　Q4?

0r　　?

（r,?

）?

E0rcos?

a3E0r?

2cos?

利用的结果，得到　　如题图所示，无限大的介质中外加均匀电场　　E0?

ezE0，在介质中有一个半径为　　a的球形空腔。

求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度。

　　解在电场电场　　E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加　　E0与极化电荷的电场Ep的叠加。

设空腔内、外的电位分别为?

1（r,?

）和?

2（r,?

），则边界　　条件为①　　r?

时，?

2（r,?

）?

E0rcos?

；　　?

（r,?

）为有限值；②r?

0时，1r?

a时，?

1（a,?

）?

2（a,?

），　　?

r　　③　　条件①和②，可设　　?

1（r,?

）?

E0rcos?

Ar1cos?

2（r,?

）?

E0rcos?

A2r?

2cos?

　　带入条件③，有　　?

3A1a?

A2a?

2，?

0E0?

0A1?

E0?

aA2　　a?

0o　　　　z　　?

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