出的取值范I制为（）
m+1
「€+2e„“「2€门
A・[—，牙+1]B・[，于+1]
e+e+l2e+12
2€
c.[—aid.[i巧+i]
e+l2
12・己知双曲线C：
二-其=1（。
>0上>0）右支上的一点P,经过点P的直线与双曲crIr
线C的两条渐近线分别相交于A，〃两点.若点4，B分别位于第一,四彖限，O为
坐标原点•当AP^-PB时，AAOB的面积为2b,则双曲线C的实轴长为（）
14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的
高表示喜欢该项运动的频率•己知该年级男生.女生各500名（假设所有学生都参加了
调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人
15.已知抛物线C：
y2=2px（p>0）的焦点为尸，准线/与x轴的交点为P是抛
物线C上的点，且”丄X轴•若以AF为直径的圆截直线AP所得的弦长为2，则实数”的值为.
16.已知数列｛①｝共16项，且©=1,傀=4,记关于x的函数，
fH（x）=|x3-anx2+（a：
-1）x,〃wM,若x=«r+1（1
<15）是函数£（x）的极值点，且曲线y=f^x）在点（。
心人⑺“））处的切线的斜率为15,则满足条件的数列｛a”｝
的个数.
三、解答题
17・己知函数fix）=>/3sin—cos—-cos2△+丄.
2222
（I）求函数/U）的单调递减区间；
（n）若aABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,/（A尸a=
sinB=2sinC,求c.
18.近年来，共享单车己经悄然进入了广人市民的口常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价•现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的2x2列联表如下：
对优惠活动好评
对优惠活动不满意
合计
对车辆状况好评
100
30
130
对车辆状况不满意
40
30
70
合计
140
60
200
（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？
（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三
种骑行券.用户每次使用4PP扫码用车后，都可获得一张骑行券•用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是*,且各次获取骑行券的结果相互独立•若某用户
一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:
P（K2>k）
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
n（ad-be）2
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）
19.如图，D是4C的中点，四边形是菱形，平面丄平面ABC
ZFBD=60’，佃丄BC，AB=BC=>/2・
（1）若点M是线段BF的中点，证明：
BF丄平面4MC；
（1）求平面4EF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
20.已知椭圆C：
二+L=l（a>b>0）的左、右焦点分别为人，化，左顶点为A,crZr
离心率为也，点B是椭圆上的动点，aABF]的面积的最犬值为辺二！
•
22
（1）求椭圆C的方程；
（2）设经过点人的直线/与椭圆C相交于不同的两点M，N,线段的中垂线为
\PQ\
若直线P与直线/相交于点P,与直线x=2相交于点0,求幣的最小值.
\MN\
21.已知函数/（X）=xlnx+ax+\,a^R
（1）当x>0时，若关于x的不等式/W>0恒成立，求。
的取值范|亂
（2）当ngN*时，证明：
一-—2/7+42nn+1
小x=25/3cos
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为fY,其中Q为参数,
y=2sina
在以坐标原点O为极点，兀轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为
直线/的极坐标方程为Psm[8-彳）+5JI=0.
（1）求直线/的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
（2）若0是曲线C上的动点，M为线段凡2的中点•求点M到直线/的距离的最人值.
23.已知函数/（x）=|2x+l|+|x-l|.
（1）解不等式/W>3:
（2）记函数/⑴的最小值为〃7,若a,b,c均为正实数，且*a+b+2c=加，求
cr+b2+c2的最小值.
参考答案
1.D
【解析】
•/P={x||x-1|<1}={x10・•・Pr>Q={x\O故选D・
2.B
【解析】
由题，3^-5=（3,-1）,\'^3a-b）//c,:
.6+k=0,:
.k=-6.
故选B
3.A
【解析】
v（l+/）Z=l-2/3,.\=
1+2/（1+2/）（1-/）3+/||
1+/（1+'）（1一°2…国2
故选A.
4.D
【解析】
4（a.+ci.）仆“
•••=20、・・.=20,/.q+①=10.又冬=•可得
+a4==d,.・・q=d=2,则铁=2+（16-1）x2=32.
故选D.
5.C
【分析】
利用直线与平面的位置关系逐一判断即可.
【详解】
对于A,直线加与平面0可能垂直，也可能平行或加在平面0内，故A不正确:
对于E,直线加与”平行、异面或相交，故E不正确；对于C,加丄0,则m//a或加ua,又m（za9所以mHa,故C正确;
对于D,缺少条件"U0,故D不正确:
故选：
C
【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，熟悉相关判定定理与性质定理是解答此题的关键，属
于基础题.
【解析】
故选E.
【解析】由题意可知/（x）的振幅4=2,周期T=4（—--—）=^,则^=
88
2x-—（p=-—,得:
（p=—,.二f（x）=2s〃2（2xh—）
8244
将函数/（X）图彖上的所有点向右平移扌个单位长度得到函数g（H的图象，则gCx）=2sin[2（x-―）+—]=2sin（2x-―）,
444
故选D.
【点睛】本题考查求函数f（x）=Asm（cox+（p的解析式，函数的坐标变换，考查数形结合
思想，属于基础题.
8.B
【解析】
“5x52”是“2<匚2<3”成立的必要不充分条件.
故选E・
9.A
【分析】
还原几何体为四棱锥P-ABCD,底面ABCD为长方形，易知该几何体与变成为1,2,1的长方
体有相同的外接球，则长方体的体对角线即为外接球的直径，从而得解.
【详解】
如图所示，该几何体为四棱锥P-ABCD,底面ABCD为长方形.
其中"丄底面ABCD,AB=1,AD=2.PD=1.
易知该几何体与变成为1Z1的长方体有相同的外接球.
则该阳马的外接球的直径为=JF+22+F=羽・
故选A.
【点睛】
本题主要考查了几何的外接球问题，常用的解法是将几何体放入长方体内，即补体的思想,
考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
10・D
【解析】
当〃=1时，S=0+2=2,。
=2+2=4；当77=2时，S=2+4=6,。
=4+2=6；当
7?
=3时，S=6+6=12,«=6+2=8:
当〃=4时，S=12+8=20,d=8+2=10；当7?
=5时，S=20+10=30»d=10+2=12；当n=6时，
5=30+12=42,c/=14+2=16，当n=7时，5=42+14=56.此时有n=7>6,算法结束，所以判断框中的条件应填//>6,这样才能保证进行7次求和.
故选D・
【点睛】本题考查了程序框图中的直到型循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累枳等，在循环结构框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等.
11・A
【解析】
由题意m=nxlnx-\-x在区间［1,习内有唯一实数解令g（x）=nxlnx+x,xg[1,e],
S\x）=/?
hix+77+1=0t解得lnx=_^^v_l,x<丄，,ne
•••函数g（x）在区间［1,J上单调递增,g（l）=1,g（w）=ne+e//0<77.l>7-1-9w+2£
则2/?
?
+1£+0+12_
故选A.
12.A
【分析】
由于A、B两点在渐近线上，可设出两点坐标为
ACtn,—m）,BC/?
-—/?
）,”，m>O^OAB的面积为
cia
S=I\OA\-\OB\sinZAOB=|^OA^\OB^-（OAOB^,代入可得〃m=2a,又由
M=丄肋，表示出p点坐标，把p点坐标代入双曲线方程又可得//?
/?
=—,28
从而可解得d值.
【详解】
可设A（//?
—/w）,BCn,-—n）,n,加＞0,aa
△OAB的面积为S=^\OA[\OB\sinZAOB=iJ网0科_（前5）'
（2ni+ny_b-（2m-ny=化简得肋=竺，②，由①@解得兰，所以2a=—.9a9a2b2899
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的性质，解题时把△OAB的面积转化为向量表示，目的是用£3两点的坐
标表示面积，求出4"两点坐标与面积的一个关系式，由AP=^PB容易联想到A、P、B三
2
点间坐标关系，而把P点坐标代入双曲线方程是解题的常用方法，这样本题的这种解法就确定了.
1
13.——
3
【分析】
先求ab的值，再利用对数运算求解即可
【详解】
【分析】
先求出喜欢篮球运动的男生与女生的比例，再求抽取的男生人数.
【详解】由题得喜欢篮球运动的男生与女生的比例为：
060.2=3:
1,
所以从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为32x-=24.
4
故答案为24
【点睛】本题主要考查等高条形图和分层抽样，意在考查学生对这些知识的掌握水平.
15.2^2
【解析】
【分析】
由题意，先表示出4、F、P的坐标，然后可得到直线4P的方程，求出圆心到直线4P的
距离为d=f，圆的半径为",再结合弦长为l=2jFh，求解即可・忑2
【详解】
AP的方程为x-y+^=0,以4尸为直径的圆的圆心为O（0,0）,半径为R=与,则O到
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，考查了圆的性质，考查了圆中弦长的计算，属于中档题.
16.1176
【解析】由题£'（x）=F_2q/+a”2_i,,x=an+1（l（E+J'一2色•匕出+叮-1=0,（%+】一aH）2=1,/.\all+l-alt\=l
T（q—⑦）+（⑦一偽）+•••+（%—@）=4—°s~—3
y,,\al-a2\=\a2-ai\=...=\a1-a3\故这七项中必有2项取1,5项取-1,,即C；中方法，又曲线=£（*）在点（46，£（®6））处的切线的斜率为15.,即
（再6—兔）'=16,.I風6一鸟|=4,勺§=0或=8,
T仏—©）+（©—珂0）+・・+（如—珂6）=—珂6=4（或~4），故这八项中必有2项取-1,6项取1，（这八项中必有6项取-1,2项取1）,故满足条件的数列｛%｝共有C；（或C：
中方法，所以方法总数为C；C；=1176个
即答案为1176.
17.（I）［年+2炽，¥+2炽］,keZ
（II）c=l
【解析】
【分析】
（1）运用二倍角公式和辅助角公式可将函数化为/（x）=sin（x-彳），再写出单调区间；
（2）由〃）=*，可求4=彳，结合余弦定理即可解决。
【详解】
（I）/（开）=fsilLY-*COS¥=sill
兀—兀3兀—f
由—+2k7r262
+^,keZ
33
・•・函数/（x）的单调递减区间为#+2炽,子+2炽,kez
•・・sinB=2sinC,・•・由正弦定理一仑一=丄，得b=2csinBsinC
又由余弦定理cr=b2+c2-IbccQsA»a=$,得3=4c‘+c‘一4c‘x*.
【点睛】本题考查三角恒等变换及正、余弦定理解三角形，属于基础题。
18.
（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有
关系.
（2）分布列见解析;EX=i.S（元）・
【解析】试题分析：
（1）由题意求得的值，然后即可确定结论;
（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可.
试题解析
（1）由2x2列联表的数据，有
（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）-140x60x70x130
20°朋8.48<10.828.
14x6x7x13637
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.
3
⑵由题意，可知-次骑行用户获得。
元的概率为©X的所有可能取值分别为。
」2,
3,4.
P（X=4）=
・•・X的分布列为:
X
0
1
2
3
4
p
9
100
3
To
37
100
1
5
1
25
33711
X的数学期望为EX=lx—+2x——+3x-+4x—=1.8（元）.
10100525
19.
（1）见解析；
（2）—.
【详解】
试题分析：
（1）连接MD,FD..由四边形3£>£尸为菱形，可证丄AC.由平面反疋尸丄平面ABC,可证4C丄平面BDEF.即可证明丄平面AMC\
2）设线段EF的中点为N,连接DN.易证DV丄平面ABC.以D为坐标原点，DE，DC,
所在直线分别为x轴，V轴，乙轴建立如图所示的空间直角坐标系.求出相应点及向量的坐标，求得平面AEF,平面的法向量历=（X］，X，©）,亓=（七,旳心）.•利用空间向量夹角公式可求得平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
试题解析：
（1）连接MD,FD'••四边形为菱形，且ZFBD=60°，
・••ADBF为等边三角形.
TM为的中点，:
・DM丄BF.
•/AB丄BC,AB=BC=迈,又D是4C的中点，
:
・BD丄4C.
T平面BDEFc平面ABC=BD,平面ABC丄平面BDEF,ACu平面ABC,
・•・AC丄平面BDEF.
又BFu平面BDEF，「AC丄BF.
由DM丄BF,AC丄3F,DMC\AC=D,
BF丄平面AMC.
（2）设线段£尸的中点为N,连接OV•易证DV丄平面4BC•以D为坐标原点，DE，
DC,DN所在直线分别为x轴Q轴二轴建立如图所示的空间直角坐标系•则4（0,-也0）,
F
2凹
22
\/
22
3（100）,C（0丄0）.
设平面AEF,平面BCF的法向量分别为帀冠二（吃宀忆2）・
取石=_2,•••用=（0.J§\_2）・
—mn11
••cos価用=兩=时〒
・•・平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为|.
20•见解析.
【解析】
试题分析：
（1）由已知，有£=,可得b=c.设B点的纵坐标为儿（凡丰0）.可得S"跖a2
的最大值扌（。
—c）b=耳丄求出b=l,a=.即可得到椭圆C的方程；
（2）由题意知直线/的斜率不为0,故设直线/：
x=my-l.
设M（不必）,N（32），P（“yJ。
（2诜）.
%2+2/=2
得（讦+2）/-2®—1=0•由弦长公式可得\MN\=2JI・
nr+1
nr+2
PQ=V1
—2^1+6,由此得到溜的表达式，由基本不等式可得到臨的最小
m2+2\MN\
值.
试题解析:
（1）由己知，有十孚即宀2宀
•/a2=b2+c2:
・b=c・
设3点的纵坐标为北（）‘0工0）・
则=*（d—"I儿|<^（d_c）b
即（Q_b）b=JI_1・
•：
b=1,a=5/2•
•••椭圆c的方程为—+/=1.
2‘
（2）由题意知直线/的斜率不为0,故设直线/：
x=my-l.
设M（s），Ng%），P（»dp），0（2%）・
此时△=8（讦+1）>0.
2m
由弦长公式，得=Jl+m2\y\-y2\=yjl+m2如"["；
2[
整理，得|mn|=2>/T•竺号「）1+”（-2
・•・PQ=Jl+加‘Xp—2=J1+〃F•2，i\+6
J"+i+上
yjm2+1丿
nr+2
.『Q_+6_>/2nr+3
2J屛+12
/=，即m=±l时等号成立.7〃厂+1
・••当加二±1,即直线/的斜率为±1时，船取得最小值2.
21.
（1）[—1,+<"）・
（2）见解析.
•求出尸（X）的最
【解析】
试题分析：
（1）Fh/（x）>0,得一a小值，即可得到。
的取值范I韦I;
启为数列
（/?
+!
）（/?
+2）
的前〃项和，曲为数列
1
7?
（77+1）
＞的前"项和.
・•・只需证明7——开—<（1n即可.
（"+1）（〃+2）n77（/7+1）
试题解析：
（1）由/（^）＞0,得xlnv+ov+l＞0（X＞0）.
11整理，得一a＜\nx+-恒成立，即一aS111V+-・
久\'丿nun
令F（x）=\nx+-.则F'（x）=--X=丄■丄.XXx~x~
・•・函数尸（X）在（0,1）±单调递减，在（1,+8）上单调递增.
・・・函数尸（x）=111X+丄的最小值为尸⑴=1.
X
/•—ci19即an_1.
•••"的取值范围是［—h+s）・
（M+1
现证明——
n
1,M+1
・••只需证明（〃+1）（〃+2严「〒
由
（1）,当a=—1时，右xliiv—x+1n0,即liiYnx—.X
n+1,cm〃+l,
令/=>1,即得In>1-
nn+1
]
"（”+1）
1
y/ny/n+1
n+l-n
现证明21iiv1）•
X
构造函数G（x）=x---21iiv（x>l）,
X
xt12x2-2x+l心
则Gr（x）=l+—一一=；——>0.
•••函数G（0在［一*）上是增函数,即G（x）＞G（l）=0.
・••当x>l时，有G（x）>0,即2111V<%--成立.
X
令“厝,则（*）式成立.
1,->11+1综上，得0+1）（〃+2）<~
J1:
丿1严11.
1
l（〃+l）（〃+2）J
rr“ri
n（n+l）
对数列
分别求前〃项和，得
丄VE2+1H煜+•+心丄
2/7+42nn+1
22.⑴曲线C的普通方程为訴才1直细的
升级会员 