全国一卷理科数学高考真题及答案0417164957.docx
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全国一卷理科数学高考真题及答案0417164957
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
x
1.已知集合A={x|x<1},B={x|31
},则
A.AB{x|x0}B.ABRC.AB{x|x1}D.AB
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A.
1
4
B.
π
8
C.
1
2
D.
π
4
3.设有下面四个命题
p:
若复数z满足
1
1
z
R,则zR;p2:
若复数z满足
2
zR,则zR;
p:
若复数
3
z1,z2满足
zzR,则
12
zz;
12
p:
若复数zR,则zR.
4
其中的真命题为
A.
p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4
4.记
S为等差数列{an}的前n项和.若a4a524,S648,则{an}的公差为
n
A.1B.2C.4D.8
5.函数f(x)在(,)单调递减,且为奇函数.若f
(1)1,则满足1f(x2)1的x的取值范
围是
A.[2,2]B.[1,1]C.[0,4]D.[1,3]
6.
1
6
(1)(1x)
展开式中
2
x
2
x的系数为
A.15B.20C.30D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长
为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10B.12C.14D.16
8.右面程序框图是为了求出满足3
n-2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入
A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.A1000和n=n+1D.A1000和n=n+2
9.已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin(2x+
2π
),则下面结论正确的是
3
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度,得
6
到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π
个单位长度,
12
得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移
π
个单位长度,得
6
到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移
π
个单位长度,
12
得到曲线C2
2
10.已知F为抛物线C:
y=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,
直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16B.14C.12D.10
xyz
11.设xyz为正数,且235
,则
A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,⋯,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是
20,21,22,依此类推。
求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。
那么该
款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.
x2y1
14.设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为.
xy0
15.已知双曲线C:
22
xy
221(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线
ab
C的一条渐近线交于M、N两点。
若∠MAN=60°,则C的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O
上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥。
当△ABC的边长变
化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为_______。
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
2
a
3sin
A
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
18.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量
其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布
2
N(,).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件
数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得
161616
111
2222
xx,
9.97sxxxx,其中xi为抽取
()(16)0.212
i
ii
16
1616
i1
i1i1
的第i个零件的尺寸,i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值?
,用样本标准差s作为的估计值?
,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(3Z3)0.9974,
16
0.99740.9592,0.0080.09.
20.(12分)
已知椭圆C:
22
xy
22=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,
ab
3
2
),P4(1,
3
2
)中恰有
三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:
l
过定点.
21.(12分)
已知函数(fx)ae2x+(a﹣2)e
2x+(a﹣2)e
x
﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
y
3cos,
sin,
(θ为参数),直线l的参数方程为
xa4t,(t为参数).y1t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
19.A2.B3.B4.C5.D6.C
7.B8.D9.D10.A11.D12.A
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.2314.-515.
23
3
16.
3
15cm
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考
生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为
2
a
3sin
A
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.
解:
(1)
由题意可得
2
1a
SbcsinA
ABC
23sin
A
,
化简可得
22
2a3bcsinA,
根据正弦定理化简可得:
222
2sinA3sinBsinCsinAsinBsinC。
3
(2)
由
2
sinBsinC
cosBcosC
12
3
cosAcosABsinBsinCcosBcosCA
123
6
,
因此可得
BC,
3
将之代入
2
sinBsinC中可得:
3
31
2
sinCsinCsinCcosCsinC0,
322
化简可得
3
tanCC,B,
366
_
利用正弦定理可得sin313
a
bB
sinA2
3
2
,
同理可得c3,
故而三角形的周长为323。
20.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且BAPCDP90.
(1)证明:
平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,APD90,求二面角A-PB-C的余弦值.
(1)证明:
AB//CD,CDPDABPD,
又ABPA,PAPDP,PA、PD都在平面PAD内,
故而可得ABPAD。
又AB在平面PAB内,故而平面PAB⊥平面PAD。
(2)解:
不妨设PAPDABCD2a,
以AD中点O为原点,OA为x轴,OP为z轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标:
P0,0,2a,A2a,0,0,B2a,2a,0,C2a,2a,0,
因此可得PA2a,0,2a,PB2a,2a,2a,PC2a,2a,2a,
假设平面PAB的法向量
n1x,y,1,平面PBC的法向量n2m,n,1,
故而可得
nPA2ax2a0x1
1
nPB2ax2ay2a0y0
1
,即n11,0,1,
同理可得
nPC2am2an2a0m0
2
nPB2am2an2a0n
2
2
2
,即
2
n0,,1。
2
2
_
因此法向量的夹角余弦值:
13
cosn,n。
12
3
3
2
2
很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为
3
3
。
19.(12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量
其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布
2
N(,).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件
数,求P(X1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.279.9110.1310.029.2210.0410.059.95
经计算得
161616
1
11
2222
xx,
9.98s(xx)(x16x)0.212,其中xi为抽取
i
ii
16
1616
i1
i1i1
的第i个零件的尺寸,i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值?
,用样本标准差s作为的估计值?
,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?
剔除(?
3?
?
3?
)之外的数据,用剩下的数据估计和(精确到0.01).
附:
若随机变量Z服从正态分布
2
N,则P(3Z3)0.9974,
(,)
16
0.99840.9592,0.0080.09.
解:
(1)
16
PX11PX010.997410.95920.0408
由题意可得,X满足二项分布X~B16,0.0016,
因此可得EX16,0.0016160.00160.0256
(2)
○1由
(1)可得PX10.04085%,属于小概率事件,
故而如果出现(3,3)的零件,需要进行检查。
○2由题意可得9.97,0.21239.334,310.606,
故而在9.334,10.606范围外存在9.22这一个数据,因此需要进行检查。
此时:
21.169.22
x10.02,
15
15
1
15i
1
xx0.09。
10.28(12分)
已知椭圆C:
22
xy
22=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P
3(–1,
ab
3
2
),P4(1,
3
2
)中恰有
三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:
l
过定点.
解:
(1)
根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1,
3
2
)不可能同时在椭圆上,
P3(–1,
3
2
),P4(1,
3
2
)一定同时在椭圆上,
因此可得椭圆经过P2(0,1),P3(–1,
3
2
),P4(1,
3
2
),
代入椭圆方程可得:
13
b1,1a2
2
a4
,
故而可得椭圆的标准方程为:
2
x
4
21
y。
(2)由题意可得直线P2A与直线P2B的斜率一定存在,
不妨设直线P2A为:
ykx1,P2B为:
y1kx1.
ykx1
联立
2
x
4
2
y1
22
4k1x8kx0
,
假设
Ax1,y1,Bx2,y2此时可得:
2
2
8k14k81k141k
A,,B,
2222
4k14k141k141k1
,
22
141k14k
此时可求得直线的斜率为:
k
AB
22
4k1
yy
41k1
21
xx81k8k
21
22
4k1
41k1
,
化简可得
k
AB
1
12k
2
,此时满足
1
k。
2
○1当
1
k时,AB两点重合,不合题意。
2
○2当
1
k时,直线方程为:
2
2
18k14k
yx
222
4k14k1
12k
,
即
y
2
4k4k1x
2
12k
,当x2时,y1,因此直线恒过定点2,1。
22.(12分)
已知函数(fx)ae2x+(a﹣2)e
2x+(a﹣2)e
x
﹣x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解:
(1)对函数进行求导可得
2xxxx
f'x2aea2e1ae1e1。
xx
○1当a0时,f'xae1e10恒成立,故而函数恒递减
○2当a0时,
xx
f'xae1e10xln
1
a
,故而可得函数在
ln
1
a
上单调递
减,在
1
ln,
a
上单调递增。
(2)函数有两个零点,故而可得a0,此时函数有极小值
11
flnlna1
,
aa
要使得函数有两个零点,亦即极小值小于0,
故而可得
1
lna10a0
a
,令
1
galna1
a
,
对函数进行求导即可得到
a1
g'a0
2
a
,故而函数恒递增,
又g10,
1
galna10a1
a
,
因此可得函数有两个零点的范围为a0,1。
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4―4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为
x
y
3cos,
sin,
(θ为参数),直线l的参数方程为
xa4t,(t为参数).y1t,
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.
解:
将曲线C的参数方程化为直角方程为
2
x
9
21
y,直线化为直角方程为
11
yx1a
44
(1)当a1时,代入可得直线为
13
yx,联立曲线方程可得:
44