七年级数学下册 86《利用变换设计图案》教案 鲁教版.docx

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七年级数学下册86《利用变换设计图案》教案鲁教版

2019-2020年七年级数学下册8.6《利用变换设计图案》教案鲁教版

一．教学目标

（一）教学知识点

利用平移或旋转来进行简单的图案设计.

（二）能力训练要求

1.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.

2.能够灵活运用平移旋转与轴对称的组合进行一定的图案设计.

（三）情感与价值观要求

1.经历对生活中的典型图案进行观察、分析、欣赏等过程，进一步发展空间观念、增强审美意识.

2.通过学生之间的交流、讨论、培养学生的合作精神.

二．教学重点

灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计.

三．教学难点

灵活运用平移、旋转与轴对称的组合进行简单的图案设计.

四．教学方法

分组讨论法.

五．教具准备

投影片三张：

第一张：

引例（记作投影片§8.6A）；

第二张：

做一做（记作投影片§8.6B）；

第三张：

例1（记作投影片§8.6C）.

电脑操作：

平移、轴对称、旋转等.

六．教学过程

Ⅰ.巧设情景问题、引入课题

［师］在现实生活中，我们经常见到一些美丽的图案，看大屏幕（出示投影片§8.6A）

P22的图8—33

你能用平移、旋转或轴对称分析图3—23中各个图案的形成过程吗？

你是怎样分析的？

与同伴交流.

［生甲］

（1）的图案可以看做是图形的六分之一绕图形的中心旋转60°、120°、180°、240°、300°前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形的中心旋转120°、240°前后图形所组成的；也可以看做是图形的二分之一绕图形的中心旋转180°前后图形所组成的.

［生乙］

（2）的图形可以看做是由“基本图案”——一个四边形平移组成的.这三个四边形的任一个都可以作为“基本图案”；只是平移的方向和距离有所不同.

［生丙］

（2）的图形还可以这样：

把其中的一个四边形作为“基本图案”，然后作它的轴对称的图案来形成整个图案.

［生丁］（3）的图案既可以看做是图形的六分之一绕图形的中心分别旋转60°、120°、180°、240°、300°前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形的中心分别旋转120°、240°前后图形所组成的；还可以看做是图形的二分之一绕图形的中心旋转180°前后图形所组成的；

（3）的图案是轴对称图形.所以还可以利用作图形中任一部分的轴对称的图案来完成整个图案.

［生戊］（4）的图案可以看做是图形中的一个三角形绕两个三角形重叠部分的线段的中点，即图形的中心，旋转180°前后图形所组成的.

［生己］（5）的图案的形成与图案（3）的基本一样，既可以用旋转，也可以用轴对称.即：

整个图案可以看做是图形的六分之一绕图形中心分别旋转60°、120°、180°、240°、300°.前后图形所组成的；也可以看做是图形的三分之一绕图形中心分别旋转120°、240°前后图形所组成的；还可以看做是图形的二分之一绕图形中心旋转180°前后图形所组成的；

这个图案也可以利用轴对称来完成整个图案，即可把图形中的某一部分作为“基本图案”，然后作它的轴对称的图案，从而完成整个图案.

［生庚］图案（6）可以看做是图形的十一分之一绕图形的中心分别旋转：

、2×、3×、4×、5×、6×、7×、8×、9×、10×前后图形所组成的.

［师］同学们表现得很好，分析得很有道理，这六个图案都是真实的标志性图案的再加工，它们都可以看做是其中的某些部分通过适当的平移、旋转或轴对称所形成的.

好，我们能分析已有图案，那么能否仿照图3—23中的某个标志来设计一个图案呢？

这节课我们来研究：

简单的图案设计.

Ⅱ.讲授新课

［师］下面我们分组来设计图案.要求如下（出示投影片§8.6B）

做一做

P22的图8—34.

（1）仿照上图中的某个标志，每个小组设计一个图案.

（2）你设计的图案是如何形成的？

要表现什么？

（各小组同学经过讨论、分析，然后每位同学进行绘画，课堂气氛活跃，充分发挥学生丰富的想像力）

各小组选出较好的上台展示，然后叙述其图案的形成及意图.

［师］各小组展示的图案都匠心独具，非常精彩，下面请大家再看一幅图（出示投影片§8.6C）

欣赏上图的图案，并分析这个图案形成的过程.

［师生共解］这个图案是由三个“基本图案”组成的，它们分别是三种不同颜色的“爬虫”（形状、大小完全相同）.

在图中，同色的“爬虫”之间是平移关系，所有同色的“爬虫”可以通过其中一只经过平移而得到；相邻的不同色的“爬虫”之间可以通过旋转而得到，其中，旋转角度为120°，旋转中心为“爬虫”头上、腿上或脚趾上一点.

［师］生活中有好多的图案用到了平移或旋转，你收集到的图案多吗？

请大家拿出来，看一看哪些图案用到了平移或旋转？

分析其中一个，并与同伴进行交流.

（学生进行分析、讨论，教师巡视、指导）

［师］同学们能准确地找到生活中用平移或旋转组成的图案，并能分析、这很好.那你在计算机上能进行平移、旋转、轴对称吗？

大家来读一读P75的“在计算机上进行平移、旋转、轴对称”.

（学生阅读后，教师进行在电脑上演示）

Ⅲ.课时小结

这节课我们通过对一些图案的观察、分的，并进行了简单的图案的设计，进一步理解了平移、旋转及轴对称的性质，同学们以后要灵活应用这些性质.

Ⅳ.课后作业

（一）课本习题8.61、2.

（二）1.预习内容：

本章所有内容.

2.预习提纲.

（1）总结本章所学内容.

（2）每位同学出一份自测题.

Ⅴ.活动与探究

下图是由12个全等三角形组成的，利用平移、轴对称或旋转分析这个图案的形成过程.

过程：

让学生进行观察、分析，找到这个图案的形成过程.

结果：

这个图案可以看做是按照如下步

_骤形成的.

（1）以一个三角形的一条边为对称轴作与它轴对称的图形.

（2）将得到的这组图形以一条边的中点为旋转中心旋转180°.

（3）分别以这两组图形为平移的“基本图案”，各平移两次，即可得到最终的图形.

七．板书设计

§8.6利用变换设计图案

一、观察图案、分析图案

做一做

二、例1（分析密铺图案）

议一议

三、读一读

四、课时小结

五、课后作业

2019-2020年七年级数学下册9不等式与不等式组教案（新版）新人教版

1.了解不等式的概念,会从实际问题中建立不等式的数学模型.

2.经历探究的过程,掌握不等式的性质,会运用它进行简单的不等式变形.

3.经历问题的建模过程,感受不等式是刻画现实世界的有效模型.

4.理解不等式（组）的解及解集的含义,会解简单的一元一次不等式（组）,能在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集,并能求一元一次不等式（组）的特殊解,初步体会数形结合思想.

5.能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组）,解决简单的实际问题.

1.通过学生自己动手、动脑去体验、发现、归纳、概括不等式的性质.

2.通过类比一元一次方程（组）学习一元一次不等式（组）,充分利用知识的类比进行学习、探索.

3.把不等式（组）的解集在数轴上直观地表示出来,加深学生对不等式（组）解集的理解,使学生形象地认识不等式解集的几何意义和它的无限性.

通过对不等式、不等式的解与解集的探究,培养学生的实践能力、概括能力、类比推理能力,也培养学生的合作交流意识和探索精神.

单元开始从一个实际问题引入,体现了现实生活中的不等关系,从认识不等式开始入手,在一元一次方程的基础上,依次介绍了不等式及其解的意义,不等式的性质,一元一次不等式（组）的解法和一元一次不等式（组）在实际问题中的应用与探索等问题,体现了类比、化归思想在数学中的应用.

【重点】　一元一次不等式的解法、不等式的性质和不等式（组）的应用.

【难点】　

1.不等式的解和不等式组的解.

2.应用不等式（组）解决实际问题.

1.在单元学习的过程中注意贯彻类比思想,借助于等式、一元一次方程帮助、指导学生学习一元一次不等式（组）的相关知识.

2.在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现,要结合教学对学生进行数形结合思想、方法的指导.

3.在利用不等式（组）解决实际问题时,注意对一些关键词语的理解,同时要注意挖掘题目中所隐含的不等关系,利用建模思想,将不等关系与实际问题结合起来,并注意不等式（组）解的特殊性.

9.1　不等式

9.1.1　不等式及其解集（1课时）

9.1.2　不等式的性质（2课时）

3课时

9.2　一元一次不等式

2课时

9.3　一元一次不等式组

2课时

单元概括整合

1课时

9.1　不等式

1.了解不等式、不等式的解、不等式解集的概念.

2.理解不等式的性质.

3.运用不等式的性质解简单的不等式.

4.能在数轴上表示不等式的解集.

通过类比思想,借助于等式的概念和性质,学习和掌握不等式的性质及其解法.

培养学生积极寻求研究问题方法的意识,培养学生细心探索和善于合作的精神.

【重点】　利用不等式的性质解简单的不等式.

【难点】

1.利用数轴表示不等式的解集.

2.根据实际意义确定不等式的解集.

9.1.1　不等式及其解集

感受生活中不等关系的存在,了解不等式的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.

经历探究不等式的解与解集的不同意义的过程,体会数形结合思想.

培养学生的合作交流意识和探索精神.

【重点】　理解不等式、不等式的解与解集的意义,能把不等式的解集正确地表示在数轴上.

【难点】　把不等式的解集正确地表示在数轴上.

【教师准备】　课堂教学讨论问题的投影.

【学生准备】　复习方程的有关定义.

导入一:

如图所示,小明与小丽比身高,小丽身高为qcm,小明身高为pcm,小丽站在20cm高的箱子上还没有小明高,则q+20与p哪个大?

[设计意图]　通过生活情境引导学生从不等的角度思考问题,初步感受不等的数量关系.

导入二:

天平是物理课上常用的一种仪器,如图

（1）所示的天平两边托盘上的物体一样重,此时天平平衡,若天平两边托盘上的物体不一样重,就会出现如图

（2）（3）所示的情形,此时两天平不平衡.

【问题思考】　我们应如何表示物体A的质量呢?

[设计意图]　通过“天平”暗示方程与不等式的关系,暗示等式和不等式之间的联系.

导入三:

如图所示,小明和爸爸、妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸的体重为72千克,坐在跷跷板的一端;体重只有妈妈一半的小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端.这时,爸爸坐的一端仍然着地,后来小明借来一个质量为6千克的哑铃,加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被翘起.

在上面的例子中,如果设小明的体重为x千克,那么妈妈的体重为2x千克,当爸爸所坐的一端着地时,（x+2x）千克小于72千克;当爸爸被翘起时,（x+2x+6）千克大于72千克.怎样用数学式子表示上述不等关系呢?

[设计意图]　借助于生活情境,帮助学生体会未知数的数量关系,为引入不等式解决问题作认知的准备.

一、不等式

　　[过渡语]　生活中不仅有等量关系还有不等量关系,从本课时开始,我们学习新的数量关系:

不等量关系.

一辆匀速行驶的汽车在11:

20距离A地50km,要在12:

00之前驶过A地,车速应满足什么条件?

问题1

如果把原题变为:

要在12:

00正好到达A地,车速应该是多少?

[设计意图]　通过时间和路程的关系,学生很容易算出车速.以这个车速为依据,帮助学生进行下一步的思考.

问题2

如果设车速为xkm/h,从时间上看,h和h是什么关系?

板书总结:

<.①

问题3

如果设车速为xkm/h,从路程上看,汽车要在12:

00之前驶过A地,那么以这个速度行驶h的路程和50km是什么关系?

板书总结:

x>50.②

问题4

根据上面的式子,你能总结什么是不等式吗?

总结:

像①和②这样用符号“<”或“>”表示大小关系的式子,叫做不等式.像a+2≠a-2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式.有些不等式中不含未知数,例如3<4,-1>-2.有些不等式中含有未知数,例如①和②式中字母x表示未知数.

　（补充）下列各式:

①-3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+2x+y2;⑤x≠2;⑥x+2>2x+3.其中属于不等式的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

〔解析〕　本题直接考查不等式的定义.③是等式;④是一个代数式.③④均不是不等式.只有用不等号连接,表示不等关系的式子才是不等式.故选D.

[设计意图]　在鉴别不等式的过程中,加深对不等式意义的理解.培养学生主动参与、合作交流的意识,同时体会在现实生活中,不等关系要比相等关系多得多.

[知识拓展]　1.不等式的定义也可以叙述成“用不等号表示不等关系的式子叫做不等式”.

2.常见的不等号有:

①“>”读作“大于”;②“<”读作“小于”;③“≠”读作“不等于”,它没有明确大小关系.

二、不等式的解

　　[过渡语]　虽然不等式①和②表示了车速应满足的条件,但是我们希望更明确地得出x可以取哪些值.上面的不等式中,有哪些数值能够满足或者不满足不等式的条件呢?

思路一

问题1

以不等式②为例,你能说出几个使不等式成立的数值吗?

例如:

当x=80时,x>50;当x=78时,x>50.这就是说,当x取某些值（如80,78）时,不等式x>50成立.

问题2

以不等式②为例,你能说出几个使不等式不成立的数值吗?

例如:

当x=72时,x<50;当x=75时,x=50.这就是说,当x取某些值（如72,75）时,不等式x>50不成立.

问题3

你能借助方程的解,总结什么是不等式的解吗?

总结:

与方程的解类似,我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

思路二

问题1

要使汽车在12:

00之前驶过A地,你认为车速应该为多少呢?

问题2

车速可以是每小时85千米吗?

每小时82千米呢?

每小时75.1千米呢?

每小时74千米呢?

问题3

以下各数中哪些能够使不等式x>50成立?

76,73,79,80,74.9,75.1,90,60.

问题4

“使方程两边相等的未知数的值就是方程的解”,那么什么是不等式的解呢?

讨论后得出:

当x为76,79,80,75.1,90时,也就是当x>75时,不等式x>50成立;同理可得,当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.

总结:

我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

三、不等式的解集

　　[过渡语]　除了80和78,不等式x>50还有其他解吗?

如果有,这些解应满足什么条件?

〔解析〕　当x>75时,不等式x>50总成立;而当x<75或x=75时,不等式x>50不成立.这就是说,任何一个大于75的数都是不等式x>50的解,这样的解有无数个;任何一个小于或等于75的数都不是不等式x>50的解.因此,x>75表示能使不等式x>50成立的x的取值范围,它可以在数轴上表示,如下图所示.

　　由上可知,在前面问题中,汽车要在12:

00之前驶过A地,车速必须大于75km/h.

问题1

怎样表示不等式的所有解呢?

问题2

什么叫解方程呢?

问题3

什么叫解不等式呢?

总结:

一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解集.求方程解的过程叫做解方程.求不等式的解集的过程叫做解不等式.

[设计意图]　在数轴上表示不等式的解集,是让学生感受数形结合的思想.让学生充分发表意见,并通过计算、动手验证、动脑思考,初步体会不等式的解集的意义以及不等式的解集与方程的解的不同之处.有意识、有计划、有条理地设计一些引人入胜的问题,可让学生始终处在积极的思考状态,不知不觉中接受了新知识.

　（补充）如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说不等式x<5的解是x=1,2,3,4,这种说法正确吗?

解:

这种说法不正确,因为不等式的解是一个范围内的数,不是在这个范围内的几个数,正确说法是“如果对于不等式x<5,当x=1,2,3,4时都成立,那么就说x=1,2,3,4都是不等式x<5的解”.

[知识拓展]　不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念:

①不等式的解是指某一范围内的数,用它代替不等式中的未知数,不等式成立;②不等式的解集是一个含有未知数的不等式的所有解组成的集合,简称不等式的解集,不等式的解集是一个范围,在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解;③不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值.

不等式的解和解集的区别和联系如下表:

区别

举例:

x-1>2

概念

个数

表示方法

不等式的解

x=4,5……

是一些具体的值

无数个

用等号表示

不等式的解集

x>3

是一个范围

一个

用不等号表示

联系

在不等式解集范围内的每一个数值都是此不等式的一个解或者说不等式的每一个解都在它的解集的范围内

1.下面各式是不等式的个数为（　　）

①-2<1;②x=1;③a+b;④2a+b>0;⑤a≠3;⑥x+1>y+4.

A.1B.2C.3D.4

解析:

用不等号表示不等关系的式子叫不等式,①④⑤⑥是不等式.故选D.

2.下列说法中正确的是（　　）

A.x=3是不等式2x>1的解

B.x=3是不等式2x>1的唯一解

C.x=3不是不等式2x>1的解

D.x=3是不等式2x>1的解集

解析:

x=3能使2x>1成立,则x=3是不等式2x>1的所有解中的一个解.故选A.

3.在数轴上表示不等式x<2的解集.

解析:

在表示2的点上画空心圆圈,表示不包含这一点.

解:

如下图所示.

4.用不等式表示:

（1）a与b的和的3倍是负数;

（2）x的与3的和比5大;

（3）代数式3x+2的值大于1.

解:

（1）3（a+b）<0.　

（2）x+3>5.　（3）3x+2>1.

9.1.1　不等式及其解集

1.不等式

例1

2.不等式的解

3.不等式的解集

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第115页练习第1题.

【选做题】

教材第116页练习第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在下列式子中,不是不等式的是（　　）

A.2x<1B.x≠-2

C.4x+5>0D.a=3

2.下列说法中,错误的是（　　）

A.不等式x<5的整数解有无数多个

B.不等式x>-5的负整数解有有限个

C.不等式2x>-8的解集是x<-4

D.-40是不等式2x<-8的一个解

3.在-,-1,0,,-3中,能使不等式x+2>1成立的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.“x的4倍与2的和是负数”用不等式表示为　　　　. 

5.在课后的探究性学习活动中,小明、小丽和小颖三位同学对某个不等式的解集有着不同的说法:

小明说,x=2.5是不等式的一个解;

小丽说,-2,-1,0都是不等式的解;

小颖说,不等式的正整数解只有1,2.

请你能根据他们三位同学的描述,写出符合这样条件的一个不等式.（只写出其中一个即可,不必考虑所有情况）

【能力提升】

6.下列说法正确的是（　　）

A.x=3是不等式x+1>2的解集

B.不等式4x<-8的解是x<-2

C.不等式-6x<18的解集为x<-3

D.x>是不等式2x-1>0的解集

7.下列不等式一定成立的是（　　）

A.2x<6B.-x<0

C.|x|+1>0D.x2>0

8.如图所示,天平右盘中每个砝码的质量都是1g,则图中显示出来的某药品A的质量的范围是（　　）

A.大于2gB.小于3g

C.大于2g且小于3gD.大于2g或小于3g

9.规定一种新运算:

aΔb=a·b-a-b+1,如:

3Δ4=3×4-3-4+1.请比较大小:

（-3）Δ4　　　　4Δ（-3）（填“<”“=”或“>”）. 

10.先阅读下面的材料,然后解答问题:

要比较a,b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数或零.若差是正数,则a大于b;若差是0,则a等于b;若差是负数,则a小于b.例如:

5-2>0,则5>2;-6-（-4）<0,则-6<-4;8-8=0,则8=8.

试比较2x2-2x+3与x2-2x-1的大小.

【拓展探究】

11.某班26名同学到人民公园举行活动.人民公园的门票是:

每人5元,一次购票满30张,可以享受优惠:

每张少收1元.当领队小明同学准备好了零钱到售票处买26张票时,爱动脑筋的小丽却喊住了小明,提议要买30张票.

（1）如果当时你在现场,你会支持谁?

为什么?

（2）如果是23名同学呢?

12.某学校要刻录一批电脑光盘,若到电脑公司刻录,每张需8元（包括空白光盘费）,若自刻,则每张需4元,此外,还需120元空白光盘费.设刻录x张电脑光盘,请用不等式或等式表示:

（1）刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录省钱.

（2）刻录这批电脑光盘,自刻省钱.

（3）刻录这批电脑光盘,到电脑公司和自刻费用一样.

【答案与解析】

1.D（解析:

根据不等式的概念:

用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式可得答案.A,B,C是不等式,D是等式.故选D.）

2.C（解析:

正确求出不等式的解集,就可以进行判断.A.正确;B.不等式x>-5的负整数解有-4,-3,-2,-1,正确;C.不等式2x>-8的解集是x>-4,错误;D.不等式2x<-8的解集是x<-4,包括-40,正确.故选C.）

3.C（解析:

把已知的5个数代入不等式中,-,0和能使不等式x+2>1成立,所以能使不等式x+2>1成立的有3个.故选C.）

4.4x+2<0（解析:

x的4倍为4x,负数<0,据此列不等式为4x+2<0.）

5.解:

本题答案不唯一,例如:

x-3<0.

6.D（解析:

因为x=3是不等式x+1>2的一个解,而不是不等式的解集,所以A错;因为x<-2是不等式4x<-8的解集,而不是解,所以B错;取一个小于-3的数代入不等式,例如当x=-5时,不等式的左边是（-6）×（-5）=30>18,所以C错;选项D正确.）

7.C（解析:

根据不等式的定义对各选项进行逐一分析即可.A.当x为3或大于3时不成立,故本选项错误;B.当x为0或比0小时不成立,故本选项错误;C.不论x为何值,不等式均成立,故本选项正确;D.当x=0时不成立,故本选项错误.故选C.）

8.C（解析:

观察第一幅图易发现A的质量>2g,再观察第二幅可以发现A的质量<3g.故A的质量大于2g且小于3g.故选C.）

9.=（解析:

因为aΔb=a·b-a-b+1,所以（-3）Δ4=（-3）×4-（-3）-4+1=-12,4Δ（-3）=4×（-3）-4-（-3）+1=-12,所以（-3）Δ4=4Δ（-3）.）

10.解:

因为2x2-2x+3-（x2-2x-1）=2x2-2x+3-x2+2x+1=x2+4>0,所以2x2-2x+3>x2-2x-1.

11.解:

（1）支持小丽.因为30×（5-1）=120（元）,26×5=130（元）,130>120,所以小丽的说法更有道理.　

（2）如果是23名同学,应该选择购买23张票,理由是30×（5-1）=120（元）,23×5=115（元）,120>115.

12.解:

因为要刻录x张电脑光盘,所以到电脑公司刻录需8x元,自刻需（120+4x）元.

（1）8x<120+4x.　

（2）8x>120+4x.　（3）8x=120+4x.

本课时在教