含绝对值的不等式解法练习题及答案.docx
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含绝对值的不等式解法练习题及答案
含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1不等式|8－3x|＞0的解集是
[]
答选C．
例2绝对值大于2且不大于5的最小整数是
[]
A．3 B．2
C．－2 D．－5
分析列出不等式．
解根据题意得2＜|x|≤5．
从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5，
答选D．
例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________．
分析利用所学知识对不等式实施同解变形．
解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7
例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A．
分析转化为解绝对值不等式．
解∵2＜|6－2x|＜5可化为
2＜|2x－6|＜5
因为x∈N，所以A＝{0，1，5}．
说明：
注意元素的限制条件．
例5实数a，b满足ab＜0，那么
[]
A．|a－b|＜|a|＋|b|
B．|a＋b|＞|a－b|
C．|a＋b|＜|a－b|
D．|a－b|＜||a|＋|b||
分析根据符号法则及绝对值的意义．
解∵a、b异号，
∴|a＋b|＜|a－b|．
答选C．
例6设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b的值为
[]
A．a＝1，b＝3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
分析解不等式后比较区间的端点．
解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得．
答选D．
说明：
本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．
例7解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1（m∈R）
分析分类讨论．
x＜m．
{x|1－m＜x＜m}．
说明：
分类讨论时要预先确定分类的标准．
分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．
解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2（3－|x|）≥|x|＋2，整理得
说明：
分式不等式常常可以先判定一下
分子或者分母的符号，使过程简便．
例9解不等式|6－|2x＋1||＞1．
分析以通过变形化简，把该不等式化归为|ax＋b|＜c或|ax＋b|＞c型的不等式来解．
解事实上原不等式可化为
6－|2x＋1|＞1
①
或6－|2x＋1|＜－1
②
由①得|2x＋1|＜5，解之得－3＜x＜2；
由②得|2x＋1|＞7，解之得x＞3或x＜－4．
从而得到原不等式的解集为{x|x＜－4或－3＜x＜2或x＞3}．
说明：
本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．
例10已知关于x的不等式|x＋2|＋|x－3|＜a的解集是非空集合，则实数a的取值范围是________．
分析可以根据对|x＋2|＋|x－3|的意义的不同理解，获得多种方法．
解法一当x≤－2时，不等式化为－x－2－x＋3＜a即－2x＋1＜a有解，而－2x＋1≥5，
∴a＞5．
当－2＜x≤3时，不等式化为x＋2－x＋3＜a即a＞5．
当x＞3是，不等式化为x＋2＋x－3＜a即2x－1＜a有解，而2x－1＞5，∴a＞5．
综上所述：
a＞5时不等式有解，从而解集非空．
解法二|x＋2|＋|x－3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－（－2）＝5．故可求a的取值范围为a＞5．
解法三利用|m|＋|n|＞|m±n|得
|x＋2|＋|x－3|≥|（x＋2）－（x－3）|＝5．
所以a＞5时不等式有解．
说明：
通过多种解法锻炼思维的发散性．
例11解不等式|x＋1|＞2－x．
分析一对2－x的取值分类讨论解之．
解法一原不等式等价于：
由②得x＞2．
分析二利用绝对值的定义对|x＋1|进行分类讨论解之．
解法二因为
原不等式等价于：
例12解不等式|x－5|－|2x＋3|＜1．
分析设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分
－（x－5）＋（2x＋3）＜1，得x＜－7，所以x＜－7；
－（x－5）－（2x＋3）＜1，
当x＞5时，原不等式可化为
x－5－（2x＋3）＜1，
解之得x＞－9，所以x＞5．
说明：
在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．
例13解不等式|2x－1|＞|2x－3|．
分析本题也可采取前一题的方法：
采取用零点分区间讨论去掉绝
之，则更显得流畅，简捷．
解原不等式同解于
（2x－1）2＞（2x－3）2，
即4x2－4x＋1＞4x2－12x＋9，
即8x＞8，得x＞1．
所以原不等式的解集为{x|x＞1}．
说明：
本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．
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