所以f(|x|+1)=loga(|x|+1)≤0,故选A.
4.若函数f(x)=
的图象如图所示,则f(-3)等于( )
A.-
B.-
C.-1D.-2
答案 C
解析 由图象可得-a+b=3,ln(-1+a)=0,得a=2,b=5,∴f(x)=
故f(-3)=2×(-3)+5=-1,故选C.
5.函数f(x)的图象向右平移1个单位,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=ex+1B.f(x)=ex-1
C.f(x)=e-x+1D.f(x)=e-x-1
答案 D
解析 与y=ex的图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
6.(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=
若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,1)B.(-∞,1]
C.(0,1)D.(-∞,+∞)
答案 A
解析 当x≤0时,f(x)=2-x-1,当0类推有f(x)=f(x-1)=22-x-1,x∈(1,2],…,也就是说,x>0的部分是将x∈(-1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的,其部分图象如图所示.
若方程f(x)=x+a有两个不同的实数根,则函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a<1,即a的取值范围是(-∞,1).
7.设函数y=f(x+1)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x-1)f(x)≤0的解集为.
答案 {x|x≤0或1解析 画出f(x)的大致图象如图所示.
不等式(x-1)f(x)≤0可化为
或
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或18.设函数y=f(x)的图象与y=2x-a的图象关于直线y=-x对称,且f(-2)+f(-4)=1,则实数a=.
答案 -2
解析 由函数y=f(x)的图象与y=2x-a的图象关于直线y=-x对称,可得f(x)=-a-log2(-x),由f(-2)+f(-4)=1,可得-a-log22-a-log24=1,解得a=-2.
9.已知f(x)是以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四个实数根,则k的取值范围是.
答案
解析 由题意作出f(x)在[-1,3]上的示意图如图所示,记y=k(x+1)+1,∴函数y=k(x+1)+1的图象过定点A(-1,1).
记B(2,0),由图象知,方程有四个实数根,
即函数f(x)与y=kx+k+1的图象有四个交点,
故kAB=-
,∴-
10.给定min{a,b}=
已知函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4,若动直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,则实数m的取值范围为.
答案 (4,5)
解析 作出函数f(x)的图象,函数f(x)=min{x,x2-4x+4}+4的图象如图所示,由于直线y=m与函数y=f(x)的图象有3个交点,数形结合可得m的取值范围为(4,5).
11.已知函数f(x)=
的值域为[0,2],则实数a的取值范围是.
答案 [1,
]
解析 先作出函数f(x)=log2(1-x)+1,-1≤x<0的图象,再研究f(x)=x3-3x+2,0≤x≤a的图象.
令f′(x)=3x2-3=0,得x=1(x=-1舍去),由f′(x)>0,得x>1,
由f′(x)<0,得0又f(0)=f(
)=2,f
(1)=0.所以1≤a≤
.
12.已知函数f(x)=2x,x∈R.
(1)当实数m取何值时,方程|f(x)-2|=m有一个解?
两个解?
(2)若不等式f2(x)+f(x)-m>0在R上恒成立,求实数m的取值范围.
解
(1)令F(x)=|f(x)-2|=|2x-2|,
G(x)=m,画出F(x)的图象如图所示.
由图象可知,当m=0或m≥2时,函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点,原方程有一个实数解;
当0(2)令f(x)=t(t>0),H(t)=t2+t,t>0,
因为H(t)=
2-
在区间(0,+∞)上是增函数,
所以H(t)>H(0)=0.
因此要使t2+t>m在区间(0,+∞)上恒成立,应有m≤0,即所求m的取值范围为(-∞,0].