分母有理化组卷.docx

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分母有理化组卷

2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷

一．选择题（共3小题）

1．（2005春涪陵区校级期中）把分母有理化得（　　）

A．B．C．D．1

2．（2002金华）把分母有理化的结果是（　　）

A．B．C．1﹣D．﹣1﹣

3．（1997河北）化简的结果是（　　）

A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣

二．填空题（共13小题）

4．（2013秋上海校级期中）分母有理化=　　　　　　．

5．（2013秋新沂市期中）化去分母中的根号：

=　　　　　　．

6．（2012秋甘井子区期末）化简：

=　　　　　　．

7．（2012南京）计算的结果是　　　　　　．

8．（2010秋柳南区校级期中）计算：

=　　　　　　，=　　　　　　，=　　　　　　．

9．（2010秋建阳市校级月考）化简的结果是　　　　　　．

10．（2007厦门）计算=　　　　　　．

11．（2007秋招远市期末）观察下列等式：

；…

请用含有自然数n（n≥1）的式子将你发现的规律表示出来　　　　　　．

12．将分母中的根号去掉：

（1）=　　　　　　，

（2）=　　　　　　．

13．计算：

==　　　　　　；

==　　　　　　；

==　　　　　　．

按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：

　　　　　　．

14．计算：

=　　　　　　．

15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数　　　　　　．

16．分母有理化：

=　　　　　　；=　　　　　　（a＞0）．

三．解答题（共14小题）

17．（2015春崆峒区期末）阅读下列解题过程：

，，

请回答下列回题：

（1）观察上面的解答过程，请直接写出=　　　　　　；

（2）根据上面的解法，请化简：

．

18．（2015春泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

；

．以上这种化简过程叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

．

（1）请用其中一种方法化简；

（2）化简：

．

19．（2015春东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：

==．①

==．②

===﹣1．③

以上化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

====﹣1．④

（Ⅰ）请用不同的方法化简

（1）参照③式化简=　　　　　　

（2）参照④式化简　　　　　　

（Ⅱ）化简：

+++…+．

20．（2015春新泰市期中）阅读下面的问题：

==；

==；

==2﹣

…

（1）求的值；

（2）已知m是正整数，求的值；

（3）计算++…++．

21．（2015秋泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：

==；==；

==2﹣…

（1）在计算结果中找出规律=　　　　　　（n表示大于0的自然数）

（2）通过上述化简过程，可知　　　　　　（天“＞”、“＜”或“=”）；

（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：

（…+）（）

22．（2013秋古田县校级期末）先阅读，后解答：

像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，

（1）的有理化因式是　　　　　　；的有理化因式是　　　　　　．

（2）将下列式子进行分母有理化：

（1）=　　　　　　；

（2）=　　　　　　．

（3）已知，比较a与b的大小关系．

23．（2014春袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：

形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，=，那么便有==±（a＞b）例如：

化简

解：

首先把化为，这里m=7，n=12；

由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，=，

∴===2+

由上述例题的方法化简：

（1）；

（2）；

（3）．

24．（2013秋涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．

（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．

①（2+）（2﹣）；

②（2+）（2﹣）；

③（3+2）（3﹣2）

④（4+）（4﹣）

⑤（5+）（5﹣）

（2）根据

（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；

（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少

25．（2014春赵县期末）

（1）

（2）

（3）．

26．（2014春孝义市期末）

（1）计算：

（÷）；

（2）已知实数x、y满足：

+（y﹣）2=0，求的值．

27．（2012春西城区校级期中）①

②．

28．（2010秋浦东新区期中）计算：

÷×（a＞0）．

29．（2010秋宿豫区期中）计算：

．

30．（2009秋信州区校级期中）计算：

①（+）×

②（4﹣3）÷2

③（+）（﹣）

④（5+2）2．

2016年02月01日王俊燕的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

【点评】本题考查的是分母有理化的计算方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．

【点评】此题主要考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

【点评】本题考查了分母有理化的知识，一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．

二．填空题（共13小题）

4．（2013秋上海校级期中）分母有理化=　　．

【考点】分母有理化．

【分析】根据分母有理化的定义先分子、分母同乘以，去掉分母中的根号，从而得出答案．

【解答】解：

==；

故答案为：

．

【点评】此题考查了分母有理化，分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．

5．（2013秋新沂市期中）化去分母中的根号：

=　　．

【考点】分母有理化．

【分析】分子分母同时乘以即可得出结论．

【解答】解：

原式==．

故答案为：

．

【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键．

6．（2012秋甘井子区期末）化简：

=　　．

【考点】分母有理化．

【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．

【解答】解：

==．

故答案为．

【点评】本题考查了二次根式的分母有理化，一般地，将分子、分母同乘分母的有理化因式，可将分母中的根号化去．本题还可将分子写成（）2，再约分即可．

7．（2012南京）计算的结果是　+1　．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题．

【分析】分子分母同时乘以即可进行分母有理化．

【解答】解：

原式===+1．

故答案为：

+1．

【点评】此题考查了分母有理化的知识，属于基础题，注意掌握分母有理化的法则．

8．（2010秋柳南区校级期中）计算：

=　2　，=　　，=　||　．

【考点】分母有理化．

【分析】根据二次根式的性质化简即可．

【解答】解：

===2，

=，

=||．

故答案为：

2，，||．

【点评】考查了分母有理化和二次根式的性质，是基础题型，比较简单．

9．（2010秋建阳市校级月考）化简的结果是　﹣　．

【考点】分母有理化．

【专题】常规题型．

【分析】分子、分母同乘以有理化因式，即可分母有理化使式子最简．

【解答】解；=﹣．

故答案为：

﹣．

【点评】此题考查分母有理化，关键是确定有理化因式．

10．（2007厦门）计算=　　．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题．

【分析】运用二次根式的乘法法则，将分子的二次根式化为积的形式，约分，比较简便．

【解答】解：

原式==．

故答案为：

．

【点评】主要考查了二次根式的化简和二次根式的运算法则．

注意最简二次根式的条件是：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；

②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．

上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式．

【点评】本题考查了分母有理化的知识，发现规律是解题的关键．

12．将分母中的根号去掉：

（1）=　　，

（2）=　　．

【考点】分母有理化．

【分析】

（1）分子分母都乘以，可分母有理化；

（2）分子分母都乘以，可分母有理化．

【解答】解：

（1）原式==；

（2）原式===2，

故答案为：

，2．

【点评】本题考查了分母有理化，利用了二次根式的乘法．

13．计算：

==　﹣　；

==　2﹣　；

==　﹣2　．

按照以上的规律，写出接下来的一个式子，并计算：

　﹣3　．

【考点】分母有理化．

【分析】根据分子分母同乘以有理化因式进行分析整理．

【解答】解：

===﹣；

===2﹣；

===﹣2．

===﹣3．

故答案是：

﹣；2﹣；﹣2；﹣3．

【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

14．计算：

=　　．

【考点】分母有理化．

【分析】分子分母同乘以，再化简即可．

【解答】解：

==．

故答案为：

．

【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化是解题的关键．

15．写出一个无理数，使它与3的积是有理数　　．

【考点】分母有理化．

【专题】开放型．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合条件的数即可．

【解答】解：

如：

，

∵×3=6，

∴故答案为：

．

【点评】本题考查了分母有理数的应用，注意：

3的有理化因式是n（n为非零整数）．

16．分母有理化：

=　　；=　　（a＞0）．

【考点】分母有理化．

【分析】利用二次根式的性质，即可将各二次根式化简，注意分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

【解答】解：

==；

=．

故答案为：

，．

【点评】此题考查了分母有理化的知识．此题比较简单，注意将各二次根式化为最简二次根式是解此题的关键．

三．解答题（共14小题）

17．（2015春崆峒区期末）阅读下列解题过程：

，，

请回答下列回题：

（1）观察上面的解答过程，请直接写出=　﹣　；

（2）根据上面的解法，请化简：

．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题．

【分析】

（1）根据题目提供的信息，最后结果等于分母的有理化因式；

（2）先把每一项都分母有理化，然后相加减即可得解．

【解答】解：

（1）=﹣；

（2）+++…++，

=﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣，

=﹣1，

=10﹣1，

=9．

故答案为：

（1）﹣，

（2）9．

【点评】本题考查了分母有理化，读懂题目信息，得出每一个分式化简的最后结果等于分母的有理化因式是解题的关键．

18．（2015春泰兴市期末）阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

；

．以上这种化简过程叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

．

（1）请用其中一种方法化简；

（2）化简：

．

【考点】分母有理化．

【专题】阅读型．

【分析】

（1）运用第二种方法求解，

（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律后面的第二项和前面的第一项抵消，得出答案，

【解答】解：

（1）原式==；

（2）原式=+++…

=﹣1+﹣+﹣+…﹣=﹣1

=3﹣1

【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．

19．（2015春东城区期末）在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简：

==．①

==．②

===﹣1．③

以上化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

====﹣1．④

（Ⅰ）请用不同的方法化简

（1）参照③式化简=　﹣　

（2）参照④式化简　=﹣　

（Ⅱ）化简：

+++…+．

【考点】分母有理化．

【专题】阅读型．

【分析】（Ⅰ）中，通过观察，发现：

分母有理化的两种方法：

1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；

（Ⅱ）中，注意找规律：

分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．

【解答】解：

（1）参照③式化简==﹣．

故答案是：

﹣．

（2）参照④式化简

====﹣．

故答案是：

=﹣．

（Ⅱ）原式=（+++…+）

=[（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]

=（﹣1）．

【点评】本题考查了分母有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．

【点评】本题主要考查了利用分母有理化，利用平方差公式，找出有理化因式是解答此题的关键．

21．（2015秋泗县期中）观察下列一组等式的化简．然后解答后面的问题：

==；==；

==2﹣…

（1）在计算结果中找出规律=　﹣　（n表示大于0的自然数）

（2）通过上述化简过程，可知　＞　（天“＞”、“＜”或“=”）；

（3）利用你发现的规律计算下列式子的值：

（…+）（）

【考点】分母有理化．

【专题】阅读型．

【分析】

（1）根据平方差公式，可得答案；

（2）根据分母有理化，可得答案；

（3）根据分母有理化，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．

【解答】解：

（1）=﹣；

（2）﹣=，﹣=，

﹣＞﹣；

（3）原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）

=（﹣1）（+1）

=2016﹣1

=2015．

【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式是分母有理化的关键．

22．（2013秋古田县校级期末）先阅读，后解答：

像上述解题过程中，相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化，

（1）的有理化因式是　　；的有理化因式是　﹣2　．

（2）将下列式子进行分母有理化：

（1）=　　；

（2）=　3﹣　．

（3）已知，比较a与b的大小关系．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题．

【分析】

（1）的有理化因式是它本身，的有理化因式符合平方差公式的特点的式子．据此作答；

（2）①分子、分母同乘以最简公分母即可；②分子、分母同乘以最简公分母3﹣，再化简即可；

（3）把a的值通过分母有理化化简，再比较．

【解答】解：

（1）的有理化因式是；的有理化因式是﹣2．

（2）

（1）==；

（2）==3﹣；

（3）∵a=，b=2﹣，

∴a=b．

【点评】此题考查二次根式的分母有理化，确定最简公分母是关键．

23．（2014春袁州区校级期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：

形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样（）2+（）2=m，=，那么便有==±（a＞b）例如：

化简

解：

首先把化为，这里m=7，n=12；

由于4+3=7，4×3=12，即（）2+（）2=7，=，

∴===2+

由上述例题的方法化简：

（1）；

（2）；

（3）．

【考点】分母有理化．

【专题】计算题．

【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．

【解答】解：

（1）==﹣；

（2）===﹣；

（3）==．

【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．

24．（2013秋涉县校级月考）学完“二次根式”这一章后，老师给茗茗布置了一道题，你帮帮茗茗做一下．

（1）根据以前学过的知识我们知道，两个有理数的积是1，则你这两个有理数互为倒数．同样，当两个实数a+与a﹣的积是1时，我们仍然称这两个实验数互为倒数．计算下列各式，并判断哪些式中的实数是互为倒数的．

①（2+）（2﹣）；

②（2+）（2﹣）；

③（3+2）（3﹣2）

④（4+）（4﹣）

⑤（5+）（5﹣）

（2）根据

（1）中的计算和判断，请你用发现的规律，写出当实数a+与a﹣互为倒数时，a与b之间的数量关系；

（3）若x=8+3，y=8﹣3，则（xy）2003的值是多少

【考点】分母有理化．

【专题】阅读型．

【分析】

（1）先计算，再根据定义判定哪些式中的实数是互为倒数，

（2）由实数是互为倒数的定义求解即可，

（3）先求出xy，再求（xy）2003的值即可．

【解答】解：

（1）①（2+）（2﹣）=1；

②（2+）（2﹣）=﹣1；

③（3+2）（3﹣2）=1；

④（4+）（4﹣）=1；

⑤（5+）（5﹣）=﹣1；

所以①③④中的实数是互为倒数的．

（2）由（a+）（a﹣）=a2﹣b，

可得a2﹣b=1时，实数a+与a﹣互为倒数．

（3）∵x=8+3，y=8﹣3，

∴xy=1

∴（xy）2003=1．

【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是理解题中的概念．

25．（2014春赵县期末）

（1）

（2）

（3）．

【考点】二次根式的乘除法；完全平方公式．

【专题】计算题．

【分析】

（1）先将各二次根式化为最简，再运用乘法分配律进行运算，然后再进行二次根式的加减．

（2）运用平方差公式进行计算即可．

（3）直接进行开方运算即可得出答案．

【解答】解：

（1）原式=6×（3﹣5﹣2）=18﹣60﹣12，

=6﹣60，

=12﹣60；

（2）原式=﹣，

=18﹣75，

=﹣57；

（3）==．

【点评】本题考查二次根式的乘除运算，难度不大，注意在运算时公式的运用，更要细心．

26．（2014春孝义市期末）

（1）计算：

（÷）；

（2）已知实数x、y满足：

+（y﹣）2=0，求的值．

【考点】二次根式的乘除法；非负数的性质：

偶次方；非负数的性质：

算术平方根．

【专题】计算题．

【分析】

（1）利用二次根式的乘除法法则求解；

（2）利用算术平方根和一个数的平方等于0求出x，y，再求的值．

【解答】解：

（1）（÷）

=

=

=

=；

（2）由+（y﹣）2=0，

可知，=0且（y﹣）2=0，

即，

解得．

所以==．

【点评】本题主要考查了二次根式的乘除法，非负数的性质及算术平方根，解题的关键是利用算术平方根和一个数的平方等于0求解．

27．（2012春西城区校级期中）①

②．

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】①把根号外的因式和被开方数分别相乘、相除，再求出即可；

②把被开方数相乘，再求出即可．

【解答】解：

①原式=（×4×）

=2×

=3；

②原式=

=．

【点评】本题考查了二次根式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力．

28．（2010秋浦东新区期中）计算：

÷×（a＞0）．

【考点】二次根式的乘除法．

【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可．

【解答】解：

原式=…（2分）

=…（2分）

=…（1分）

【点评】本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键．

29．（2010秋宿豫区期中）计算：

．

【考点】二次根式的乘除法．

【专题】计算题．

【分析】先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘除运算．

【解答】解：

原式===．

【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简．

30．（2009秋信州区校级期中）计算：

①（+）×

②（4﹣3）÷2

③（+）（﹣）

④（5+2）2．

【考点】二次根式的乘除法．

【专题】计算题．

【分析】①运用乘法分配律进行计算，然后将二次根式化为最简即可．

②先将括号里面的各项分别除以2，然后在合并同类二次根式即可．

③运用平方差公式进行计算．

④根据完全平方公式进行展开运算，然后合并即可．

【解答】解：

①原式=+=4+3；

②原式=2﹣；

③原式=﹣=5﹣3=2．

④原式=75+20+20=95+20．

【点评】此题考查了二次根式的乘除法，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的乘除法则及二次根式的化简．