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集合与简易逻辑教案

高中数学第一册(上)

第一章集合与简易逻辑

◇教材分析

【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(可看做集合的化简)、简易逻辑三部分:

      

【知识点与学习目标】

【高考评析】

集合知识作为整个数学知识的基础,在高考中重点考察的是集合的化简,以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维,寻求解决其他问题的方法.

◇学习指导

【学法指导】本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆.

【数学思想】1.等价转化的数学思想;  2.求补集的思想;

  3.分类思想;  4.数形结合思想.

【解题规律】

1.如何解决与集合的运算有关的问题?

    1)对所给的集合进行尽可能的化简;

    2)有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系;

    3)有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素.

  2.如何解决与简易逻辑有关的问题?

    1)力求寻找构成此复合命题的简单命题;

    2)利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题.

引言

通过一个实际问题,目的是为了引出本章的内容。

1、分析这个问题,要用数学语言描述它,就是把它数学化,这就需要集合与逻辑的知识;

2、要解决问题,也需要集合与逻辑的知识.

在教学时,主要是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对.而要进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了.

§1.1集合

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:

(1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法;

(2)初步了解“属于”关系的意义;

(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义.

〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法;难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.

〖教学过程〗

☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.

1、集合的概念:

在初中代数里学习数的分类时,就用到“正数的集合”,“负数的集合”等此外,对于一元一次不等式2x一1>3,所有大于2的实数都是它的解.我们也可以说,这些数组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.

在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.

一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只是对集合概念的描述性说明.集合则是集合论中原始的、不定义的概念.在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识.例如,“我校篮球队的队员”组成一个集合;“太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。

大西洋,印度洋,北冰洋).为了方便起见,我们还经常用大写的拉丁字母表示集合.例如,A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},B={1,2,3,4,5}.

集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如,“地球上的四大洋”这一集合的元素是:

太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.集合的元素常用小写的拉丁字母表示。

2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性:

集合中的元素必须是确定的。

这就是说,给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。

例如,给出集合(地球上的四大洋),它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素.其他对象都不是它的元素.又如。

“我国的小河流”就不能组成一个集合,因为组成它的对象是不确定的。

集合中的元素是互异的。

这就是说,集合中的元素是没有重复现象的,任何两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素.

集合中的元素是无序的。

这就是说,集合中的元素排列与顺序无关。

3、常用的数集及其记法:

全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N,非负整数集内排除0的集,也称正整数集,表示成N

或N

全体整数的集合通常简称整数集,记作Z;

全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q;

全体实数的集合通常简称实数集,记作R.

★(教科书中给出的常用数集的记法,是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意以下两点:

(1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数0;

(2)非负整数集内排除0的集,表示成N

或N

新的国家标准定义自然数集N含元素O.这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,o还是十进位数{0,1,2,…,9}中最小的数,有了0,减法运算a—a仍属于N,其中a∈N.)

4、集合的表示方法,常用的有列举法和描述法:

列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法.

例如,由方程

—1=0的所有的解组成的集合,可以表示为{-1,1};

又如,由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合,可以表示为{1,3,5,7,9}。

描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.

例如,不等式x-3>2的解集可以表示为{x∈R|x-3>2};

★(列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.)

5、集合的分类:

一般地,含有有限个元素的集合叫做有限集.

一般地,含有无限个元素的集合叫做无限集.

不含任何一个元素的集合叫做空集.记作φ。

6、素与集合之间的关系:

如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a?

A(或a∈A).

例如,设B={1,2,3,4,5},那么5∈B,8?

B.

7、练习:

①P5与P6练习。

②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。

8、小结:

(略)。

9、作业:

①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。

②练习册:

§1.1集合的内容。

§1.2子集、全集、补集

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:

(1)了解集合的包含、相等关系的意义;

(2)理解子集、真子集的概念;

(3)理解补集的概念;(4)了解全集的意义.

〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念,难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。

〖教学过程〗

☆本小节分为两部分:

第一部分讲子集,第二部分讲全集与补集.

第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出于集的概念,然后,对比集合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质.

第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概念.

1、子集的定义:

先看集合与集合之间的“包含”关系设A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},集合A是集合B的一部分,我们就说集合B包含集合A。

一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作AB(或BA).这时我们也说集合A是集合B的子集.

当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作AB(或BA).

规定:

空集是任何集台的子集。

也就是说,对于任何一个集合A,有φA。

2、集合与集合的相等:

一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B。

记作A=B。

3、真子集的定义:

对于两个集合A与B,如果AB,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集,

记作AB(或BA)。

★(关于子集与真子集的记法,教科书中采用的是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意;在开始接触子集与真子集的符号时,要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错.)

4、性质:

①AA(任何一个集台是它本身的子集);

②空集是任何非空集合的真子集;

③对于集合A,B,C,如果AB,BC,那么AC.

同样可知,如果AB,BC,那么AC.

④对于集合A,B,如果AB,同时BA,那么A=B.

5、一些容易混淆的符号的区分:

①∈与的区别:

∈是表示元素与集合之间关系的,因此,有1∈N,—1∈N等;是表示集合与集合之间关系的,因此,有NR,φR等.

②a与{a}的区别:

一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素的一个集合.因此,有1∈{1,2,3},0∈{0},{1}{1,2,3}等,不能写成0={0},{1}∈{1,2,3}.

③{0}与φ的区别:

{0}是含有一个元素的集合,φ是不含任何元素的集合,因此,有φ{0},不能写成φ={0}、φ∈{0}.

④{φ}与φ的区别:

{φ}是含有一个元素φ的集合,φ是不含任何元素的集合,因此,有φ{φ}、φ{φ}、φ∈{φ},不能写成φ={φ}.

6、补集和全集的定义:

一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。

记作

,即

={x|x∈S,且x?

A}.

如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U表示.例如.在实数范围内讨论问题时,可以把实数集R看作全集。

有理数集Q的补集

Q是全体无理数的集合。

★(关于补集,新的国家标准规定。

与补集相关的概念是集合的差,教科书中没有这个概念.集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A\B,即A\B={x|x∈A,且x?

A}.要注意,上式等号右边与补集定义中的式子类似,但意义不同.在

中,要求B是A的子集;A\B中,B可以不是A的子集.当B是A的子集的时候,也可以写成

=A\B.)

7、补集性质:

CUU=φ,CUφ=U,CU(CUA)=A。

8、例题:

例⑴写出集合{a、b}、{a、b、c}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集.并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。

解:

(略)。

例⑵解不等式x-3>2,并把结果用集合表示.

解:

x>5,原不等式的解集是{x|x>5}.

9、练习:

①P9与P10练习。

②P10习题1.2第1题、第2题。

10、小结:

(略)。

11、作业:

①P10习题1.2第3题、第4题、第5题。

②练习册:

§1.2集合的内容。

§1.3交集、并集

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:

(1)理解交集与并集的概念;

(2)掌握有关集合的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.

〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念,难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系.习本小节,关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标.

〖教学过程〗

★本小节首先结合表示两个集合的图,引出交集与并集的概念,然后在完成一些练习的基础上,介绍了交集与并集的简单性质.

1、交集、并集的概念:

一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集,记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B=

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B=

“x∈A或x∈B”—→

2、交集、并集的性质:

1A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A;

2A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A;

3A∩BAA∪B、A∩BAA∪B;

4ABA∩B=AA∪B=B;

5CUA∩A=φ,CUA∪A=U;

6CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB),CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB);

7A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C);A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

3、例题:

例1、设A={x|x>-2},B={x|x<3},求A∩B.

解:

A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2

★(解决有数集的运算问题,往往借助数轴进行数形结合。

例2、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角},求A∩B.

解:

A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角}={x|x是等腰直角三角形}.

例3、设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B.

A∪B={4,5,6,8},∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。

★(集合中的元素是没有重复现象的,在两个集合的并集中,原两个集合的公共元素只能出现一次。

例4、设A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∪B.

解:

A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角}={x|x是斜三角形}。

例5、设A=

x|-1<x<2

,B=

x|1<x<3

,求A∪B.

解:

A∪B=

x|-1<x<2

x|1<x<3

x|-1<x<3

★(解决有数集的运算问题,往往借助数轴进行数形结合。

例6、设A=

(x,y)|y=-4x+6

,B=

(x,y)|y=5x-3

,求A∩B.

解:

A∩B=

(x,y)|y=-4x+6

((x,y)|y=5x-3

=

((x,y)|

(1,2)

★(本题中,(z,y)可以看作直线上的点的坐标,也可以看作二元一次方程的一个解.)

例7、已知A为奇数集,B为偶数集,Z为整数集,求A∩B,A∩Z,B∩Z,A∪B,A∪Z,B∪Z。

解:

A∩B={奇数}∩{偶数}=,A∩Z={奇数}∩Z={偶数}=A,

B∩Z={偶数}∩Z={偶数}=B,A∪B={奇数}∪{偶数}=z,

A∪Z={奇数}∪Z=Z,B∪Z={偶数}∪Z=Z。

★(学习有关集合的初步知识,其目的主要在于应用.具体地说,就是在学习其他知识时,能读懂其

中的简单的集合概念和符号;在处理简单的实际问题时,能根据需要,运用集合语言进行表述.在安排训

练时,要把握一定的分寸,不要搞偏题、怪题.)

8、练习:

①P12与P13练习。

②P13习题1.3第1题—第6题。

9、小结:

(略)。

9、作业:

①P13习题1.3第7题、第8题。

②练习册:

§1.3交集、并集的内容。

§1.4含绝对值的不等式解法

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到掌握|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式的解法.

〖教学重点与难点〗重点是|x|<a与|x|>a(a>0)型的不等式的解法,关键是对绝对值意义的理解.

〖教学过程〗

☆本小节首先由实际问题引出含绝对值的不等式,然后由易到难,顺次介绍了|x|<a与|x|>a(a>0)型、|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式的解法.本小节开始讲了一个有关商品质量的例子,这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的,教学时,还可以适当补充学生熟悉的实例.

☆在学习含绝对值的不等式的解法时,可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质:

(1)如果a>b,那么a+c>b+c;

(2)如果a>b,c>0,那么ac>bc;

(3)如果a>b,c<O,那么ac<bc.不等式的基本性质是解不等式的基础.

1、不等式|x|<a(a>0)解集是

x|-a<x<a

不等式|x|>a(a>0)解集是

x|x<-a,或x>a

★(|x|<a与|x|>a(a>0)型不等式的解法,教科书是从具体例子人手讲述的.先考虑含绝对值的方程|x|=2的解,由此出发,根据绝对值的意义,结合数轴表示,就得到了含绝对值的不等式|x|<2与|x|>2的解。

对这个结论,应根据绝对值的意义,结合数轴表示进行讲解.注意,从数轴上看,|x|<a(a>0)的解集是-a与a之间的部分,|x|>a(a>0)的解集是-a左侧与a右侧两部分。

2、把不等式|x|<a与|x|>a(a>0)中的x替换成ax+b,就可以得到|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式的解法了.

在具体求解时,可以先直接在|x|<a与|x|>a(a>0)型不等式的解集中进行替换,这时,原不等式化成了一元一次不等式,然后就可以根据不等式的基本性质求解.

★(教学时,要注意对-c<ax+b<c(c>0)型不等式的化简做必要的说明.初学解这类不等式时,为了方便,如果所解|ax+b|<c与|ax+b|>c(c>0)型的不等式中的a是负数,可以先把a化成正数,例如要解不等式|2-x|<5,可以先把它变形成|x-2|<5,再求解.=

★(教学时,要注意控制教学要求.本小节的练习、习题所解的不等式,只限于绝对值号内为一元一次的代数式,并且是数字系数,只在习题1.4的最后,编排了|x-a|<b(b>0)这样的简单的带有字母常数的题目.=

3、例题:

例1、解不等式|x-500|

5。

例2、解不等式|2x+5|>7。

例3、解不等式|x|+|x-2|

5。

★(根据绝对值的定义,采用“零点区分法”。

4、练习:

①P16练习。

②P16习题1.4第1题、第2题、第3题⑵⑷⑹。

5、小结:

(略)。

6、作业:

①P16习题1.4第3题⑴⑶⑸、第4题。

②练习册:

§1.4含绝对值的不等式解法的内容。

§1.5一元二次不等式的解法

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:

(1)掌握一元二次不等式的解法;

(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组s

(3)了解简单的分式不等式的解法.

〖教学重点与难点〗

重点是一元二次不等式的解法,关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.

〖教学过程〗

☆本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系,利用二次函数的图象,找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法.然后,说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组,由此又引出了简单的分式不等式的解法.

1、引入新课:

首先利用一次函数的图象,讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系,进而导出一元一次不等式的解集.这些基本内容学生都比较熟悉,但是,初中数学并没有专门讲述这种解法,安排这些内容,既可以复习、巩固初中的知识,也为接下来讨论二次的问题做了铺垫.

直线与x轴交点的横坐标,就是对应的一元一次方程的根,进一步,结合直线的位置,就可以确定对应的一元一次不等式的解集了.

2、通过一个具体实例,开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论的.

先给出二次函数y=x2-x-6的对应值表与图象,然后,由对应值表与图象得出:

当x=-2,或x=3时,y=0,即x2-x-6=0;

当x<-2,或x>3时,y>0,即x2-x-6>0;

当-2<x<3时,y<0,即x2-x-6<0.

教科书中不但给出了函数的图象,还给出了函数的对应值表,这是因为结合函数的对应值表才能确定函数的图象与x轴交点的坐标,进而确定对应的一元二次方程x2-x-6=0的根.

要确定一元二次不等式x2-x-6>0与x2-x-6<0的解集,既要考虑一元二次方程x2-x-6=0的根,还要考虑抛物线的开口方向.在讲本例时,可以只就本例的具体情形考虑,暂不讨论抛物线的开口向下类型的问题。

3、结合图象指出,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2-4ac的三种取值情况(△>0、△=0、△<0=来确定.因此,要分三种情况讨论,以寻求对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0(a>0)的解集.

在讨论了a>0的情况以后,再提出a<0的情况,由学生完成.

4、可以结合例题,指出解一无二次不等式的步骤:

1先把二次项系数化成正数;

2解对应的一元二次方程;

3根据一元二次方程的根,结合不等号的方向,写出不等式的解集.

例1、解不等式2x2-3x-2>0;

例2、解不等式-3x2+6x>2;

例3、解不等式4x2-4x+1>0;

例4、解不等式-x2+2x-3>0。

5、关于(x-a)(x-b)>0、(x-a)(x-b)<0(a<b=型的不等式,有简便的解法,由(x-a)(x-b)=0的根是a与b,结合“不等号的方向”可直接写出解集.

教科书是为了介绍一种更一般的解法,即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式组的方法.一方面,这种解法可以为以后解比较复杂的不等式打基础;另一方面,这种方法也涉及了集合知识的应用.

6、对分式不等式的基本要求,仅限于可以化成一元二次不等式的类型.在全章最后的复习参考题一的B组题中,有两个简单的、相当于三次不等式的小题,它们不属于基本要求,但可以用简便的方法求解.

7、练习:

①P20及P21练习。

②P21习题1.5第1题—第4题。

8、小结:

(略)。

9、作业:

①P22习题1.5第5题—第8题。

②练习册:

§1.5一元二次不等式的解法的内容。

集合的元素个数

1.本阅读材料介绍了有关集合的元素个数的初步概念及简单的性质.编排这个阅读材料是为了扩展学生的知识,提高学生的兴趣,在关于中学生数学课外活动的材料中,常常会遇到与之有关的问题.

2.阅读这撂材料,可以与本章章头的引言结合起来.顺便指出,由于章头引言的问题比较简单,不用有关集合元素个数的公式也可以处理(用文氏图),另外,复习参考题一的B组题的第1题,同样可以用有关集合元紊个数的公式.

§1.6逻辑联结词

〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:

(1)了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成;

(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

〖教学重点与难点〗本小节的重点是判断复合命题真假的方法,难点是对“或”的含义的理解.

〖教学过程〗

☆初中数学中已经有了一些关于命题的初步知识,在此基础上,本小节首先由简单命题出发,给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念,然后借助真值表,给出判断复合命题真假的方法.

1、命题的定义:

判断一件事情的句子,叫做命题(初中).

可以判断真假的语句叫做命题(高中).

虽然说法不同,但实质是一样的。

语句是不是命题,关键在于能不能判断其真假,也就是判断其是否成立.不能判断真假的语句,就不能叫命题.例如,

⑴“这是一棵大树”;⑵“x<2”.都不能叫命题.由于“大树”没有界定,就不能判断“这是一棵大树”的真假.由于x是未知数,也不能判断“x<2”是否成立.

在教学时,不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了.

2、、逻辑联结词、简单命题与复合命题:

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。

构成复合命题

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