高一数学必修一 教案 15 全称量词与存在量词.docx

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高一数学必修一教案15全称量词与存在量词

1．5　全称量词与存在量词

1．5.1　全称量词与存在量词

学习目标

　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.

3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

知识点　全称量词和存在量词

全称量词

存在量词

量词

所有的、任意一个

存在一个、至少有一个

符号

∀

∃

命题

含有全称量词的命题是全称量词命题

含有存在量词的命题是存在量词命题

命题形式

“对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p（x）”

“存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．（　×　）

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（　√　）

3．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．（　√　）

一、全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1　

（1）下列语句不是存在量词命题的是　（　　）

A．有的无理数的平方是有理数

B．有的无理数的平方不是有理数

C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数

D．存在x∈R,2x＋1是奇数

答案　C

解析　因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为存在量词命题，选项C为全称量词命题．

（2）给出下列几个命题：

①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；

②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；

④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．

其中是全称量词命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．0

答案　B

解析　因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为存在量词命题，②③为全称量词命题，所以全称量词命题的个数为2.

反思感悟　全称量词命题或存在量词命题的判断

注意：

全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．

跟踪训练1　下列命题中全称量词命题的个数为（　　）

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两边平行；

③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　①②是全称量词命题，③是存在量词命题．

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2　判断下列命题的真假．

（1）∃x∈Z，x3<1；

（2）存在一个四边形不是平行四边形；

（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；

（4）∀x∈N，x2>0.

解　

（1）因为－1∈Z，且（－1）3＝－1<1，

所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．

（2）真命题，如梯形．

（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．

（4）因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

反思感悟　全称量词命题和存在量词命题真假的判断

（1）要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p（x）为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为假．

（2）要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p（x）为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对于给定集合的每一个元素x，命题p（x）为假．

跟踪训练2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．

（1）∀x∈N,2x＋1是奇数；

（2）存在一个x∈R，使

＝0.

解　

（1）是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．

（2）是存在量词命题．因为不存在x∈R，使

＝0成立，所以该命题是假命题．

三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅.

（1）若命题p：

“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；

（2）命题q：

“∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．

解　

（1）由于命题p：

“∀x∈B，x∈A”是真命题，

所以B⊆A，B≠∅，

所以

解得2≤m≤3.

（2）q为真，则A∩B≠∅，

因为B≠∅，所以m≥2.

所以

解得2≤m≤4.

反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略

对于全称（存在）量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立（能成立）问题，通常转化为求函数的最大值（或最小值）．

跟踪训练3　若命题“对任意实数x,2x>m（x2＋1）”是真命题，求实数m的取值范围．

解　由题意知，不等式2x>m（x2＋1）恒成立，

即不等式mx2－2x＋m<0恒成立．

（1）当m＝0时，不等式可化为－2x<0，显然不恒成立，不合题意．

（2）当m≠0时，要使不等式mx2－2x＋m<0恒成立，

则

解得m<－1.

综上可知，所求实数m的取值范围是m<－1.

1．下列语句不是全称量词命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二

（一）班绝大多数同学是团员

D．每一个学生都充满阳光

答案　C

解析　“高二

（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二

（一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题．

2．下列命题中为全称量词命题的是（　　）

A．有些实数没有倒数

B．矩形都有外接圆

C．存在一个实数与它的相反数的和为0

D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行

答案　B

3．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（　　）

A．每个二次函数的图象都开口向上

B．存在一条直线与已知直线不平行

C．对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b

D．存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立

答案　C

解析　B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a<0）的图象开口向下，也应排除，故应选C.

4．下列命题，是全称量词命题的是________，是存在量词命题的是________（填序号）．

①正方形的四条边相等；

②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；

③正数的平方根不等于0；

④至少有一个正整数是偶数．

答案　①②③　④

解析　①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．

5．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是______________．

答案　a≤3

解析　对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.

1．知识清单：

（1）全称量词命题、存在量词命题的概念．

（2）含量词的命题的真假判断．

（3）通过含量词的命题的真假求参数．

2．常见误区：

有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．

1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是（　　）

A．有一个x∈R，使得x2>3

B．对有些x∈R，使得x2>3

C．任选一个x∈R，使得x2>3

D．至少有一个x∈R，使得x2>3

答案　C

2．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成（　　）

A．若x∈R，则x2＋1>0B．∀x∈R，x2＋1<0

C．∃x∈R，x2＋1<0D．以上都不正确

答案　C

解析　存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示，故选C.

3．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（　　）

A．锐角三角形的内角是锐角或钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，使

>2

答案　B

4．给出下列三个命题：

①对任意的x∈R，x2>0；

②存在x∈R，使得x2≤x成立；

③对于集合A，B，若x∈A∩B，则x∈A且x∈B.

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　对于①，存在x＝0，使得x2＝0，故①是假命题；显然②③是真命题．

5．下列说法正确的是（　　）

A．对所有的正实数t，有

B．存在实数x，使x2－3x－4＝0

C．不存在实数x，使x<4且x2＋5x－24＝0

D．任意实数x，使得|x＋1|≤1且x2>4

答案　B

解析　t＝

时，

>t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错．

6．下列存在量词命题中真命题有________．

①有的实数是无限不循环小数；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有的菱形是正方形．

答案　①②③

7．命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．

答案　∃x<0，（1＋x）（1－9x）2>0

解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为“∃x∈M，p（x）”．

8．下列命题中，是全称量词命题的有________．（填序号）

①有的实数是整数；②三角形是多边形；

③矩形的对角线互相垂直；④∀x∈R，x2＋2>0；

⑤有些素数是奇数．

答案　②③④

9．判断下列命题的真假．

（1）每一条线段的长度都能用正有理数来表示；

（2）存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．

解　

（1）假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为

，

就不能用正有理数表示．

（2）假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

10．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假：

（1）∃x，x－2≤0.

（2）三角形两边之和大于第三边．

（3）有些整数是偶数．

解　

（1）存在量词命题．x＝1时，x－2＝－1≤0，故存在量词命题“∃x，x－2≤0”是真命题．

（2）全称量词命题．三角形中，任意两边之和大于第三边．故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题．

（3）存在量词命题.2是整数，2也是偶数．故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题．

11．下列全称量词命题中真命题的个数为（　　）

①对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

②二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

③∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1B．2C．3D．0

答案　B

12．已知命题p：

∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a>－1B．a<－1C．a≥－1D．a≤－1

答案　B

解析　依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.

13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．

答案　{a|a<1}

解析　当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；

当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1

故0

综上所述，实数a的取值范围是a<1.

14．若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解　

（1）当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.

（2）当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，

即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，

恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，

解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，－1≤a≤1.

15．已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是（　　）

A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5

答案　C

解析　当该命题是真命题时，只需a≥（x2）max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4，故选C.

16．已知函数y1＝x

，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．

解　因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，

所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，

又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，

即y1的最小值大于等于y2的最小值，

即－4－m≤0，

所以m≥－4.

真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。

——欧文

土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。

如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连小草也长不出来的。

——别林斯基

我需要三件东西：

爱情友谊和图书。

然而这三者之间何其相通！

炽热的爱情可以充实图书的内容，图书又是人们最忠实的朋友。

——蒙田

时间是一切财富中最宝贵的财富。

——德奥弗拉斯多