m），则力F所做的功W＝__________________________.
自我检测
1．计算定积分ʃ3xdx的值为（ ）
A.B．75
C.D．25
2．定积分ʃ[－x]dx等于（ ）
A.B.－1
C.D.
3．如右图所示，阴影部分的面积是（ ）
A．2B．2－
C.D.
4．（2010·湖南）ʃdx等于（ ）
A．－2ln2B．2ln2
C．－ln2D．ln2
5．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.
探究点一 求定积分的值
例1 计算下列定积分：
（1）；
（2）；
（3）ʃ（2sinx－3ex＋2）dx；
（4）ʃ|x2－1|dx.
变式迁移1 计算下列定积分：
（1）ʃ|sinx|dx；
（2）ʃsin2xdx.
探究点二 求曲线围成的面积
例2 计算由抛物线y＝x2和y＝3－（x－1）2所围成的平面图形的面积S.
变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．
变式迁移3 A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中C点，这一段速度为1.2tm/s，到C点时速度达24m/s，从C点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24－1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求：
（1）A、C间的距离；
（2）B、D间的距离；
（3）电车从A站到B站所需的时间．
函数思想的应用
例 （12分）在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
【答题模板】
解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.[2分]
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝ʃx2dx－t2（1－t）＝t3－t2＋.[4分]
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t3－t2＋（0≤t≤1）．[6分]
令S′（t）＝4t2－2t＝4t＝0时，得t＝0或t＝.[8分]
t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝.[10分]
所以当t＝时，S最小，且最小值为.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
1．定积分ʃf（x）dx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x）围成的曲边梯形的面积；反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如ʃdx＝π（半径为2的个圆的面积），ʃdx＝2π.
2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．
3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：
第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′（x）＝f（x）的F（x）；第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．
（满分：
75分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．下列值等于1的积分是（ ）
A．ʃxdxB．ʃ（x＋1）dx
C．ʃdxD．ʃ1dx
2．（2011·汕头模拟）设函数f（x）＝则ʃf（x）dx等于（ ）
A.B.
C．6D．17
3．已知f（x）为偶函数且ʃf（x）dx＝8，则ʃf（x）dx等于（ ）
A．0B．4C．8D．16
4．（2011·深圳模拟）曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为（ ）
A．ʃ0（sinx－cosx）dx
B．2ʃ0（sinx－cosx）dx
C．ʃ0（cosx－sinx）dx
D．2ʃ0（cosx－sinx）dx
5．（2011·临渭区高三调研）函数f（x）＝ʃt（t－4）dt在[－1,5]上（ ）
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
题号
1
2
3
4
5
答案
二、填空题（每小题4分，共12分）
6．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________J.
7．ʃ（2xk＋1）dx＝2，则k＝________.
8．（2010·山东实验中学高三三诊）若f（x）在R上可导，f（x）＝x2＋2f′
（2）x＋3，则ʃf（x）dx＝________.
三、解答题（共38分）
9．（12分）计算以下定积分：
（1）ʃdx；
（2）ʃ2dx；
（3）ʃ0（sinx－sin2x）dx； （4）ʃ|3－2x|dx.
10．（12分）设y＝f（x）是二次函数，方程f（x）＝0有两个相等的实根，且f′（x）＝2x－2.
（1）求y＝f（x）的表达式；
（2）求y＝f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
11．（14分）求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．
答案自主梳理
1．x＝a，x＝b（a≠b），y＝0和曲线y＝f（x） 面积
2．
（1）kʃf（x）dx
（2）ʃf1（x）dx±ʃf2（x）dx（3）ʃf（x）dx＋ʃf（x）dx（其中a3.微积分基本定理 F（x）| 4.
（1）ʃf（x）dx
（2）－ʃf（x）dx（3）ʃ[f（x）－g（x）]dx
5.
（1）s＝ʃv（t）dt
（2）ʃF（x）dx
自我检测
1．A 2.A 3.C 4.D
5．±3
解析 由
得（x－k）2＝0，
即x＝k，
所以直线与曲线相切，如图所示，
当k>0时，S＝ʃ（x2＋k2－2kx）dx
＝ʃ（x－k）2dx＝（x－k）3|＝0－（－k）3＝，
由题意知＝9，∴k＝3.
由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±3.
课堂活动区
例1 解题导引
（1）与绝对值有关的函数均可化为分段函数．
①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
（2）f（x）是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则ʃf（x）dx＝2ʃf（x）dx.
解
（1）ʃdx
＝ʃxdx＋ʃdx＋ʃdx
＝x2|＋lnx|－|
＝（e2－1）＋（lne－ln1）－
＝e2－＋.
（2）ʃ0（sinx－2cosx）dx
＝ʃ0sinxdx－2ʃ0cosxdx
＝（－cosx）|0－2sinx|0
＝－cos－（－cos0）－2
＝－1.
（3）ʃ（2sinx－3ex＋2）dx
＝2ʃsinxdx－3ʃexdx＋ʃ2dx
＝2（－cosx）|－3ex|＋2x|
＝2[（－cosπ）－（－cos0）]－3（eπ－e0）＋2（π－0）
＝7－3eπ＋2π.
（4）∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝
∴ʃ|x2－1|dx＝ʃ（1－x2）dx＋ʃ（x2－1）dx
＝|＋|＝2.
变式迁移1 解
（1）∵（－cosx）′＝sinx，
∴ʃ|sinx|dx＝ʃ|sinx|dx＋ʃ|sinx|dx
＝ʃsinxdx－ʃsinxdx
＝－cosx|＋cosx|
＝－（cosπ－cos0）＋（cos2π－cosπ）＝4.
（2）ʃsin2xdx＝ʃdx
＝ʃdx－ʃcos2xdx
＝x|－|
＝－
＝.
例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：
（1）作出曲线的图象，确定所要求的面积；
（2）联立方程解出交点坐标；（3）用定积分表示所求的面积；（4）求出定积分的值．
解 作出函数y＝x2和y＝3－（x－1）2的图象（如图
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