山东省济宁市届高考数学专题复习 第43讲 随机事件的概率练习 新人教A版.docx
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山东省济宁市届高考数学专题复习第43讲随机事件的概率练习新人教A版
第四节 随机事件的概率
[考情展望]
1.互斥事件和对立事件的概率是高考重点考查的内容，其中对立事件的
概率是“正难则反”思想的具体应用，在高考中经常考查.2.多
以选择题、填空题的形式考查，有时也渗透在解答题中，属容易题．
一、概率和频率
1．在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
2．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
二、事件的关系与运算
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
B⊇A
（或A⊆B）
相等关系
若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件（和事件）
某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B（或A＋B）
交事件（积事件）
某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B
（或AB）
互斥事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
互斥事件与对立事件区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
三、概率的几个基本性质
1．概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
2．必然事件的概率P（E）＝1.
3．不可能事件的概率P（F）＝0.
4．概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
5．对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
1．总数为10万张的彩票，中奖率是
，下列说法中正确的是（ ）
A．买1张一定不中奖
B．买1000张一定有一张中奖
C．买2000张一定中奖
D．买2000张不一定中奖
【解析】 由题意知，彩票中奖属于随机事件，故买1张也可能中奖，买2000张也可能不中奖．
【答案】 D
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．在上述事件中，是对立事件的为（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解析】 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生．
∴②中两事件是对立事件．
【答案】 B
3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P（A）＝0
.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A．0.7B．0.65
C．0.35D．0.5
【解析】 “抽到的不是一等品”与事件A是对立事件，
∴所求概率P＝1－P（A）＝0.35.
【答案】 C
4．若随机事件A、B互斥，A、B发生的概率均不等于0，且分别为P（A）＝2－a，P（B）＝3a－4，则实数a的取值范围为________．
【解析】 ∵由题意可得
，
∴
解得
＜a≤
.
【答案】
5．（2011·浙江高考）从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 从5个球中任取3个共有10种方法．
又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”
因而所求概率P＝1－
＝
.
【答案】 D
6．（2010·上海高考）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A为“抽得红
桃K”，事件B为“抽得为黑桃”，则概率P（A∪B）＝________（结果用最简分数表示）．
【解析】 52张中抽一张的基本事件为52种，事件A为1种，事件B为13种，并且A与B互斥，
所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝
＋
＝
.
【答案】
考向一[181] 互斥事件与对立事件的判定
（1）下列说法正确的是（ ）
A．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，恰好出现5次正面向上
B．连续四次掷一颗骰子，都出现6点是不可能事件
C．一个射手射击一次，命
中环数大于9与命中环数小于8是互斥事件
D．若P（A＋B）＝1，则事件A与B为对立事件
（2）从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，至少有1个红球
B．至少有1个白球，都是红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是白球
【思路点拨】
（1）根据随机事件的有关概念判断．
（2）概括对立事件的定义判断．
【尝试解答】
（1）掷一枚硬币，出现正面朝上的概率是0.5，因此掷一枚硬币10次，则出现5次正面向上的可能性较大，但不一定恰好出现5次正面向上，故A不正确．
连续四次掷一颗骰子，都出现6点是随机事件，故B不正确．
一个射手射击一次，命中环数大于9与命中环数小于8，这两件事不可能同时发生，故是互斥事件，故C正确．
若P（A＋B）＝1，则事件A与B不一定是对立事件，如向一个半径等于1的圆面（包含边界）上随即插上一根针，
设“针插在圆面上（包含边界）”为事件A，“针插在圆上”为事件B，P（A）＝1，P（B）＝0，满足P（A＋B）＝1，
但事件A和事件B不是互斥事件，故D不正确．
（2）对于A，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个红球”也会发生，
比如恰好一个白球和一个红球，故A不对立；
对于B，“至少有1个白球”说明有白球，白球的个数可能是1或2，
而“都是红球”说明没有白球，白球的个数是0，
这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，故B是对立的；
对于C，恰有1个白球，恰有2个白球是互斥事件，它们虽然不能同时发生
但是还有可能恰好没有白球的情况，因此它们不对立；
对于D，至少有1个白球和都是白球能同时发生，故它们不互斥，更谈不上对立了．
【答案】
（1）C
（2）B
规律方法1 1对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件
，这些也可类比集合进行理解.2对立事件是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.
对点训练 从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取一张．判断下列给出的每对事件，互斥事件的为________，对立事件的为________．
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
【解析】 ①是互斥事件，不是对立事件．
“抽出黑桃”与“抽出红桃”是不可能同时发生，但可以都不发生，所以两事件互斥不对立．
②是互斥事件，且对立事件．
从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
③不是互斥事件，也不是对立事件．
从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．
【答案】 ①② ②
考向二[182] 随机事件的频率与概率
图10－4－1
如图10－4－1所示，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
（1）试估计40分钟内不能赶到
火车站的概率；
（2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
【思路点拨】
（1）根据频数分布表计算频率，利用频率估计概率；
（2）分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判定．
【尝试解答】
（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44（人），
∴用频率估计相应的概率为0.44.
（2）设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的频率分别为（6＋12＋18）÷60＝0.6，（4＋16）÷40＝0.5.
∴估计P（A1）＝0.6，P（A2）＝0.5，则P（A1）＞P（A2），
因此，甲应该选择路径L1，
同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分别为48÷60＝0.8,36÷40＝0.9，
∴估计P（B1）＝0.8
，P（B2）＝0.9，P（B1）＜P（B2），
因此乙应该选择路径L2.
规律方法2 1.1解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生的频率，并用频率估计概率；2第2问的实质是比较选择不同路径概率的大小.
2.概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率.
对点训练 （2012·陕西高考）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图10－4－2所示：
图10－4－2
（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；
（2）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率．
【解】
（1）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
＝
，
用频率估计概率，所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
.
（2）根据抽样结果，寿命大于200小时的产品共有75＋70＝145（个），其中甲品牌产品是75个．
所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
＝
.
用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
.
考向三[183] 互斥事件与对立事件的概率
国家射击队的队员为在第51届射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次：
（1）射中9环或10环的概率；
（2）命中不足8环的概率．
【思路点拨】 该射击队员在一次射击中，命中几环不可能同时发生，故是彼此互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率．另外，当直接求解不容易时，可先求其对立事件的概率．
【尝试解答】 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得
P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.28＋0.32＝0.60.
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则
表示事件“射击一次，命中不足8环”．
又B＝A8＋A9＋A10，由互斥事件概率的加法公式得
P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
∴P（
）＝1－P（B）＝1－0.78＝0.22.
因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.
规律方法3 1.解答本题时，首先应正确判断各事件的关系，然后把所求事件用已知概率的事件表示，最后用概率加法公式求解.
2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由PA＝1－P
求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.
对点训练 某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
（1）至多2人排队等候的概率是多少？
（2）至少3人排队等候的概率是多少？
【解】
（1）记“在窗口等候的人数i”为事件Ai＋1，i＝0,1,2，它们彼此互斥，则至多2人排队等候的概率为
P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝0.1＋0.16＋0
.3＝0.56.
（2）至少3人排队等候的概率为
1－P（A1∪A2∪A3）＝1－0.56＝0.44.
思想方法之二十五 互斥事件的概率求解的妙招——正难则反思想
若一个事件正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”，“至多”等问题往往用这种方法求解．
————[1个示范例]————[1个对点练]————
（2012·湖南高考）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间
（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
【解】
（1）由题意，
∴x＝15，y＝20.
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为：
又
＝
＝1.9.
∴估计顾客一次购物的结算时间为1.9分钟．
（2）设B、C分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2.5分钟、3分钟”．
将频率视为概率，得P（B）＝
＝
，P（C）＝
＝
，
∵B，C互斥，且
＝B＋C，
∴P（
）＝P（B＋C）＝P（B）＋P（C）＝
＋
＝
，
因此P（A）＝1－P（
）＝1－
＝
.
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分的概率为0.7.
【名师寄语】 1准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征的含义.2正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式.
一盒中装有12个球，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率．
【解】 法一 （利用互斥事件求概率）：
记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，
则P（A1）＝
，P（A2）＝
＝
，P（A3）＝
＝
，P（A4）＝
，
根据
题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为P（A1∪A2）＝P（A1）＋P（A2）＝
＋
＝
；
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）
＝
＋
＋
＝
.
法二：
（利用对立事件求概率）：
（1）由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）＝1－P（A3∪A4）＝1－P（A3）－P（A4）
＝1－
－
＝
.
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以P（A1∪A2∪A3）＝1－P（A4）＝1－
＝
.
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