人教版五升六暑期奥数培训讲义.docx

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人教版五升六暑期奥数培训讲义

人教版五升六暑期奥数培训讲义

第1讲小数的巧算与速算

第2讲用等量代换求面积

第3讲数学游戏-----智取火柴

第4讲和差问题

第5讲和倍问题

第6讲差倍问题

第7讲年龄问题

第8讲：

分解质因数

第9讲：

最小公倍数

第10讲还原问题

第11讲周期问题

第12讲鸡兔同笼问题与假设法

第13讲盈亏问题与比较法

（一）

第14讲盈亏问题与比较法

（二）

第15讲逻辑问题

第一讲小数的巧算与速算

【例1】.简算：

（1）

思路导航：

题中，9.9接近10，且6.8和0.68都是有6、8这两个数字。

解法一：

解法二:

=99×0.68+1×0.68=9.9×6.8+0.1×6.8

=（99+1）×0.68=（9.9+0.1）×6.8

=100×0.68=10×6.8

=68=68

想想还有别的解法吗?

同步导练一：

（1）272.4×6.2+2724×0.38

（2）1.25×6.3+37×0.125

（3）7.24×0.1+0.5×72.4+0.049×724

（4）6.49×0.22+258×0.0649+5.3×6.49+64.9×0.19

【例2】：

（２+0.48+0.82）×（0.48+0.82+0.56）-（2+0.48+0.56）×（0.48+0.82）

思路导航：

整个式子是乘积之差的形式,它们构成很有规律,如果把２+0.48+0.82用A表示,把0.48+0.82用B表示,则原式化为A×（B+0.56）-（A+0.56）×B,再利用乘法分配律计算,大大简化了计算过程.

解:

设A=２+0.48+0.82B=0.48+0.82,

原式=A×（B+0.56）-（A+0.56）×B

=A×B+A×0.56-（A×B+0.56×B）

=A×B+A×0.56-A×B-0.56×B

=0.56×（A-B）

=0.56×2

=1.12

同步导练二：

（1）（3.7+4.8+5.9）×（4.8+5.9+7）-（3.7+4.8+5.9+7）×（4.8+5.9）

（2）（4.6+4.8+7.1）×（4.8+7.1+6）-（4.6+4.8+7.1+6）×（4.8+7.1）

【例三】:

计算76.8÷56×14

思路导航：

这道题是乘除同级运算，解答时，利用添括号法则，在“÷”后面添括号，括号里面要变号，“×”变“÷”，“÷”变“×”。

不过，同学们请注意，这种方法只适用于乘、除同级运算。

解：

76.8÷56×14

=76.8÷（56÷14）

=76.8÷4

=19.2

同步导练三：

（1）144÷15.6×13

（2）

（3）

【例四】:

0.999×0.7+0.111×3.7

思路导航：

本类题可以将原式进行合理的等值变形后，再运用适当的方法进行简便运算

=0.111×9×0.7+0.111×3.7

=0.111×6.3+0.111×3.7

=0.111×（6.3+3.7）

=0.111×10

=1.11

同步导练四:

（1）0.999×0.6+0.111×3.6

（2）0.222×0.778+0.444×0.111

（3）0.888×0.9+0.222×6.4（4）0.111×5.5+0.555×0.9

5.下面有两个小数:

a=0.00…0125b=0.00…08

1996个02000个0

试求a+b,a-b,ab,ab.

第2讲用等量代换求面积

　　一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

　　例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　分析与解：

阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。

　　所以，阴影部分的面积是17厘米2。

　　例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

　　分析与解：

因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于

　　10×8÷2+10=50（厘米2）。

　　例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

　　分析与解：

求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。

因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。

也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC的长，从而求出ED的长。

　　梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2），

　　三角形ECB面积=36-18=18（厘米2），

　　EC=18÷6×2=6（厘米），

　　ED=6-4=2（厘米）。

　　例4下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

　　分析：

直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之差，不太容易做到。

如果利用差不变性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了。

　　解法一：

连结B，E（见左下图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形BEO，则原来的问题转化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差。

所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

　　解法二：

连结C，F（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上三角形CFO，则原来的问题转化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差。

所求为4×（10-7）÷2-2×（10-7）÷2=3。

　　解法三：

延长BC交GF于H（见下页左上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形COFH，则原来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差。

所求为（4+2）×（10-7）÷2-2×（10-7）=3。

　　解法四：

延长AB，FE交于H（见右上图）。

三角形BCO与三角形EFO都加上梯形BHEO，则原来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差。

所求为4×（10-7）-（10-7）×（4+2）÷2=3。

　　例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积

　　分析与解：

这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系。

连结AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，所以面积相等。

因为三角形AFD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABF与三角形FCD面积仍然相等。

根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于4×4÷2=8（厘米2）。

练习：

　1.右上图（单位：

厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。

　　2.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

　　6.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

　　影部分的面积和。

第3讲数学游戏------智取火柴

　　在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。

但不论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。

例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。

规定谁取走最后一根火柴谁获胜。

如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？

例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？

有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。

你选择先报数还是后报数？

怎样才能获胜？

例5、1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。

规定将棋子移到最后一格者输。

甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？

例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。

两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。

规定取得最后一根者为赢。

问：

先取者有何策略能获胜？

　请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？

例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。

甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。

如果采用最佳方法，那么谁将获胜？

练习

1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。

问：

先取者如何拿才能保证获胜？

2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。

如果甲先取，那么谁将获胜？

3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。

谁将获胜？

怎样获胜？

4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。

如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，…，51。

甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。

规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。

问：

甲有必胜的策略吗？

　　6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。

问：

要想获胜是先取还是后取？

第4讲和差问题

和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

解答这类应用题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。

解题时，我们可以假设小数增加到与大数同样多，先求大数再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数再求大数。

我们可以用下面的数量关系式表示：

（和+差）÷2=大数

（和-差）÷2=小数

1．学校合唱团共有72名成员，其中男合唱队员比女合唱队员少6名，合唱团中男、女队员各有多少名？

2．甲乙两校共有学生2346人，如果甲校增加146人，乙校减少