高考数学文高频考点揭秘与仿真测试及解析导数及其应用导数的应用.docx

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高考数学文高频考点揭秘与仿真测试及解析导数及其应用导数的应用

专题19导数及其应用导数的应用3（恒成立及存在性问题、导数的综合应用）

【考点讲解】

1、具本目标：

1.导数在研究函数中的应用：

①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。

②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.

2.生活中的优化问题：

会利用导数解决某些实际问题。

考点透析：

1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；

2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；

3.适度关注生活中的优化问题.

3.备考重点：

（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；

（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.

二、知识概述：

一）函数的单调性：

1.设函数y=f（x）在某个区间内可导，如果，则函数y=f（x）为增函数；如果f'（x）<0，则函数y＝f（x）为减函数；如果恒有f'（x）＝0，则y=f（x）为常函数.

2.应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系，甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性，这样就将研究的范围局限于可导函数．

3.f（x）在区间I上可导，那么是f（x）为增函数的充分条件，例如f（x）=x3是定义于R的增函数，

但f'（0）=0，这说明f'（x）>0非必要条件．为增函数，一定可以推出，但反之不一定．

4.讨论可导函数的单调性的步骤：

（1）确定的定义域；

（2）求，令，解方程求分界点；

（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；

（4）判断在每个开区间内的符号，即可确定的单调性.

5.我们也可利用导数来证明一些不等式．如f（x）、g（x）均在[a、b]上连续，（a，b）上可导，那么令

h（x）＝f（x）－g（x），则h（x）也在[a，b]上连续，且在（a，b）上可导，若对任何x∈（a，b）有h'（x）>0且h（a）≥0，则当x∈（a，b）时h（x）>h（a）=0，从而f（x）>g（x）对所有x∈（a，b）成立．

二）函数的极、最值：

1．函数的极值

（1）函数的极小值：

函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．

（2）函数的极大值：

函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

2．函数的最值

（1）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．

（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．

【真题分析】

1.【优选题】若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.

【解析】由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，

所以.

【答案】

2.【2018年江苏卷】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3

【变式】若函数有零点，则k的取值范围为_______.

【答案】

3.【2018年理新课标I卷】已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

4.【优选题】已知，若对任意两个不等的正实数都有恒成立，则的取值范围是.

【解析】由题意可知（x＞0）恒成立，∴恒成立，

令则，

∵为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，取得最大值，∴即a的取值范围是[1，+∞）．

【答案】

5.【2017深圳模拟】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

6.【优选题】已知函数.

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

【解析】本题是函数的综合问题.

（1）的定义域为，，

∴，，

解得，∴．

（2），

当时，，

∴的单调增区间为.

当时，由，

∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为.

当时，由，

∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为.

综上所述：

当时，，

∴的单调增区间为，

当时，

∴的单调增区间为，，

的单调减区间为

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为.

（3）若至少存在一个，使得，∴，

当时，，∴有解，

令，∴.

，

∴在上单调递减，

∴得，．

7.【2018山东模拟】设函数

（Ⅰ）当曲线处的切线斜率.

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且.若对任意的，恒成立，求m的取值范围.

（2），令，得到

因为

当x变化时，的变化情况如下表：

+

0

-

0

+

极小值

极大值

在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=.

函数在处取得极小值，且=.

（3）由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得

因为.

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得.

综上，m的取值范围是.

8.【优选题】已知函数

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若当时，恒成立，求的取值范围；

（3）求证：

（2）由，得

令，则

当时，，在，上单调递减.

，故.

（3）由

（2）知，

取得，即.

.

即.

【模拟考场】

1.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】B

2.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

【解析】，

记，则题意说明存在唯一的整数，使的图象在直线下方，，当时，，当时，，

因此当时，取得极小值也是最小值，又，，

直线过点（1,0）且斜率为，

故，解得．

【答案】

（1）增区间为，单调减区间为

（2）