《概率论与数理统计》习题三答案.docx
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《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P（0黑,2红,2白）=
0
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求二维随机变量（X，Y）在长方形域内的概率.
【解】如图
题3图
说明：
也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
求：
（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】
（1）由
得A=12
（2）由定义，有
（3）
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X<1.5}；
（4）求P{X+Y≤4}.
【解】
（1）由性质有
故
（2）
（3）
（4）
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
fY（y）=
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{Y≤X}.
题6图
【解】
（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
而
所以
（2）
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=
求（X，Y）的联合分布密度.
【解】
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】
题8图题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求边缘概率密度.
【解】
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
（1）试确定常数c；
（2）求边缘概率密度.
【解】
（1）
得.
（2）
11.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
题11图
【解】
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X与Y的联合分布律如下表
3
4
5
1
2
0
3
0
0
（2）因
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
258
0.4
0.8
0.150.300.35
0.050.120.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X和Y的边缘分布如下表
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.2
0.42
0.38
（2）因
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
fY（y）=
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】
（1）因
故
题14图
（2）方程有实根的条件是
故X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为
f（x）=
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数
（1）当z≤0时，
（2）当0题15图
（3）当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）
即
故
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，202），
从而
17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…，
P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
P{Z=i}=，i=0，1，2，….
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
所以
于是
18.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.
方法二：
设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则
X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′,
X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,
所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
19.设随机变量（X，Y）的分布律为
012345
0
1
2
3
00.010.030.050.070.09
0.010.020.040.050.060.08
0.010.030.050.050.050.06
0.010.020.040.060.060.05
（1）求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}；
（2）求V=max（X，Y）的分布律；
（3）求U=min（X，Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.
【解】
（1）
（2）
所以V的分布律为
V=max（X,Y）
0
1
2
3
4
5
P
0
0.04
0.16
0.28
0.24
0.28
（3）
于是
U=min（X,Y）
0
1
2
3
P
0.28
0.30
0.25
0.17
（4）类似上述过程，有
W=X+Y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P
0
0.02
0.06
0.13
0.19
0.24
0.19
0.12
0.05
20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.
（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；
（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.
题20图
【解】因（X，Y）的联合概率密度为
（1）
（2）
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？
题21图
【解】区域D的面积为（X,Y）的联合密度函数为
（X，Y）关于X的边缘密度函数为
所以
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
X
Y
y1y2y3
P{X=xi}=pi
x1
x2
1/8
1/8
P{Y=yj}=pj
1/6
1
【解】因,
故
从而
而X与Y独立，故,
从而
即：
又
即
从而
同理
又,故.
同理
从而
故
1
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ（λ>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
【解】
（1）.
（2）
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~，而Y的概率密度为f（y），求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
由于X和Y独立，可见
由此，得U的概率密度为
25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.
解：
因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有
因为X，Y相互独立，所以
推得.
26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
101
1
0
1
a00.2
0.1b0.2
00.1c
其中a,b,c为常数，且X的数学期望E（X）=0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：
（1）a,b,c的值；
（2）Z的概率分布；
（3）P{X=Z}.
解
（1）由概率分布的性质知，
a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.
由，可得
.
再由,
得.
解以上关于a，b，c的三个方程得
.
（2）Z的可能取值为2，1，0，1，2，
，
，
，
，
，
即Z的概率分布为
Z
21012
P
0.20.10.30.30.1
（3）.
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