第二章 有理数及其运算.docx

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第二章有理数及其运算

第二章有理数及其运算

（一）有理数的意义及相关概念

1.正、负数的概念

像1、、1.2，...这样的大于零的数叫做正数;在正数的前面加上""号的数叫做负数.

0既不是正数也不是负数.

我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量.

2.有理数的定义及分类

整数和分数统称为有理数.

有理数的分类：

按符号分:

有理数

按定义分:

有理数

3.数轴：

画一条水平的直线，在直线上取一点表示零（叫做原点）选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

（三要素：

原点、单位长度、正方向。

易混淆点：

单位长度可任意选取。

）

有理数与数轴的关系：

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴的判断方法：

应抓住它的三要素：

原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。

数轴的表示方法：

数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。

比较大小（数轴）：

数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个（或多个）数的位置，然后按它的特点进行判断。

数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

比较两个负数的大小：

绝对值大的反而小

有理数大小的比较：

正数大于0；负数小于0；正数大于负数；两负数绝对值大的反而小。

4.相反数

代数定义：

只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。

0的相反数是0。

几何定义：

两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。

5.绝对值

代数定义：

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

用式子表示为：

|a|=

几何定义：

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|”。

易错知识辨析

1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;

2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为相反数;

3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是非正数.

4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值.

1、精讲例题

例题组1

1.下列说法：

①零是正数②零是整数③零是最小的有理数④零是最小的自然数

⑤零是最大的负数⑥零是非负数⑦零是偶数其中正确的说法为（）.

2．体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,

其中“+”表示成绩大于18秒,“—”表示成绩小于18秒｡这个小组女生的达标率是（）

A．25%B．37.5%C．50%D．75%

3.七名同学的体重以48kg为标准,超过即为正,不足记为负,记录如下

编号

1

2

3

4

5

6

7

与标准体重的差（kg）

-3.0

+1.5

+0.8

0

+0.3

+1.2

+0.5

A.最接近标准体重的学生体重是多少?

并说明这个有理数的意义.

B.按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学?

4．观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?

请接着写出后面的三个数,并写出第150个数.

（1）1,-,,-,,-,,-,_______,________,_______,第150个数是________;

（2）1,-,-,-,,-,-,-______,_______,_______,第150个数是________;

（3）1,,-,-,1,,-,-_______,_______,_______,第150个数是________.

搭配训练题

1．如果表示有理数,那么下列说法中正确的是（）

（A）和一定不相等（B）一定是负数

（C）和一定相等（D）一定是正数

2.π是（）

（A）整数（B）分数（C）有理数（D）以上都不对

3.大于–3.5，小于2.5的整数共有（）个。

（A）6（B）5（C）4（D）3

4.写出三个有理数，使它们满足：

①是负数；②是整数；③能被2、3、5整除。

答：

____________

5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示（单位：

万元）

月份

一月

二月

三月

收入

32

48

50

支出

12

13

10

请问：

（1）该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？

（2）如果收入用正数表示，则总收入与总支出应如何表示？

（3）该公司第一季度利润为多少万元？

例题组2

1．数轴上原点右边4.8厘米处的点表示的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是____________

2..一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数

有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

3.借助数轴列式回答下列问题

（1）与原点相距的点表示的数是什么?

（2）与-3相距的点表示的数是什么?

（3）一个点A表示的数为-,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?

（4）两个点A,B分别表示的数为-1，,有一个点C到这两个点的距离相等,则点C表示的数是什么?

搭配训练题

1．画一条数轴,并在数轴上找出比-大,且比小的整数点.

2．2．根据下面给出的数轴,解答下列问题:

（1）A、B两点之间的距离是多少?

（2）画出与点A的距离为2的点（用不同于A、B的字母在所给的数轴上表示）｡

（3）数轴上,线段AB的中点表示的数是多少?

3.有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式正确的是（）

A.a>bB.-a>-bC.b>oD.a>o

例题组3

1.已知，则a是__________数；已知，那么a是_________数。

2.

（1）.+5的相反数是–5，–5的相反数是5，那么数x的相反数是______，数–x的相反数是________；数的相反数是_________；数的相反数是____________。

（2）因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点999距离相等的数是_____________；到点距离相等的点表示的数是____________；到点m和点–n距离相等的点表示的数是________。

（3）已知点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系，那么点10和点之间的距离是____________；点m和点n（数n比m大）之间的距离是_____________。

（4）数5的绝对值是5，是它的本身；数–5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。

由这句话，正数–a的绝对值为__________；负数–b的绝对值为________；负数1+a的绝对值为________，正数

–a+1的绝对值___________。

3．

（1）如果︱x-2︱=2,求x,并观察数轴上表示x的点与表示1的点的距离｡

（2）在

（1）的启发下求适合条件︱x-1︱<3的所有整数x的值｡

搭配课堂训练题

1.下列说法中正确的是（）

A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值B.相反数等于它本身的数只有零

C.一个有理数不是正数就一定是负数D.绝对值等于它本身的数只有零.

2.若，则的取值不可能是（）

A.0B.1C.2D.-2

3.绝对值大于1而小于4的整数有，这些整数之和为。

4.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则＋m－cd的值为。

5.若＋（b-3）=0,则a=,b=,ab=.

2、巩固练习

1.

2.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（）

A.文具店B.玩具店

C.文具店西40米处D.玩具店西60米处

3.在0，，－，－8，+10，+19，+3，－3.4,π中整数的个数是（）

A.6B.5C.4D.3

4.下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系

5．如图,数轴上的点A．B．O、C．D分别表示-5、-1.5、0、2.5、6,回答下列问题.

（1）O、C以及B．D两点间的距离各是多少?

（2）你能发现所得的距离与这两点所对应的数的差有什么关系吗?

并请说出这个关系;

（3）假如数轴上任意两点A．B所表示的数是a、b,请你用一个式子表示这两点间的距离.

6.若，则;若，则;

若，则;若，则;若，则;

若，则;若，则。

7．数轴上点A表示数-1,若|AB|=3,则点B所表示的数为__________________｡

8.若，则。

9.

（1）已知，，且b

（2）已知试用号将连接起来。

10.化简的结果是__________。

（二）有理数的运算

有理数的加、减法

1.有理数加、减法的定义

（1）把两个数合成一个有理数的运算，叫做有理数的加法。

（2）已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

2.有理数加、减法法则（重点）

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加

（同号相加，符号不变，绝对值相加）

（2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（异号相加，符号同大，绝对值相减）

（3）互为相反数的两数相加得零

（4）一个数同零相加，仍得这个数

（5）减去一个数，等于加上这个数的相反数

3.有理数加法的运算律（难点）

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。

即

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

即

4.有理数加减混合运算的方法和步骤（难点）

第一步：

运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

第二步：

运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算

有理数的乘、除法

1.有理数的乘、除法法则（重点）

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

任何数与零相乘，积仍为零

（2）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何不为0的数，都得0

除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数

2.倒数、负数的倒数（重点）

（1）若两个有理数的乘积为1，则这两个有理数互为倒数

（2）求一个负整数的倒数，直接写成这个数分之一即可；

求一个负分数的倒数，把这个数的分子分母颠倒一下位置即可。

3.有理数乘法法则的推广（难点）

（1）几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：

当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；

（2）几个数相乘，只要有一个因数为零，则积为零

4.有理数的乘法运算律（难点）

（1）乘法交换律：

两数相乘，交换因数的位置，积不变。

（2）乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变

（3）乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这两个数分别同两个数相乘，再把积相加

有理数的乘方

1.乘方的定义（重点）

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，即，其中乘方的结果叫做幂，

叫做底数，n叫做指数。

2.乘方运算的符号法则（难点）

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

1,0的任何次幂分别