江苏省南通市中考数学知识点总结.docx
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江苏省南通市中考数学知识点总结
江苏省南通市中考数学知识点总结
江苏省南通市中考数学知识点总结
1.相反数
(1)相反数的概念:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
(2)相反数的意义:
掌握相反数是成对出现的,不能单独存在,从数轴上看,除0外,互为相反数的两个数,它们分别在原点两旁且到原点距离相等.
(3)多重符号的化简:
与“+”个数无关,有奇数个“﹣”号结果为负,有偶数个“﹣”号,结果为正.
(4)规律方法总结:
求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”,如a的相反数是﹣a,m+n的相反数是﹣(m+n),这时m+n是一个整体,在整体前面添负号时,要用小括号.
2.绝对值
(1)概念:
数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值.
①互为相反数的两个数绝对值相等;
②绝对值等于一个正数的数有两个,绝对值等于0的数有一个,没有绝对值等于负数的数.
③有理数的绝对值都是非负数.
(2)如果用字母a表示有理数,则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定:
①当a是正有理数时,a的绝对值是它本身a;
②当a是负有理数时,a的绝对值是它的相反数﹣a;
③当a是零时,a的绝对值是零.
即|a|={a(a>0)0(a=0)﹣a(a<0)
3.科学记数法—表示较大的数
(1)科学记数法:
把一个大于10的数记成a×10n的形式,其中a是整数数位只有一位的数,n是正整数,这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式:
a×10n,其中1≤a<10,n为正整数.】
(2)规律方法总结:
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键,由于10的指数比原来的整数位数少1;按此规律,先数一下原数的整数位数,即可求出10的指数n.
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示,实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示,只是前面多一个负号.
4.实数的运算
(1)实数的运算和在有理数范围内一样,值得一提的是,实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算,又可以进行开方运算,其中正实数可以开平方.
(2)在进行实数运算时,和有理数运算一样,要从高级到低级,即先算乘方、开方,再算乘除,最后算加减,有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到有的顺序进行.
另外,有理数的运算律在实数范围内仍然适用.
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1.运算法则:
乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.
2.运算顺序:
先乘方,再乘除,后加减,有括号的先算括号里面的,在同一级运算中要从左到右依次运算,无论何种运算,都要注意先定符号后运算.
3.运算律的使用:
使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.
5.同底数幂的乘法
(1)同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
am•an=am+n(m,n是正整数)
(2)推广:
am•an•ap=am+n+p(m,n,p都是正整数)
在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:
①底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x﹣y)2与(x﹣y)3等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.
(3)概括整合:
同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂.
6.分式的加减法
(1)同分母分式加减法法则:
同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
(2)异分母分式加减法法则:
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.:
说明:
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母,分母是多项式时,必须先分解因式,分子是多项式时,要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘,而不能只同其中某一项相乘.
②通分是和约分是相反的一种变换.约分是把分子和分母的所有公因式约去,将分式化为较简单的形式;通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式,使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式.约分是对一个分式而言的;通分则是对两个或两个以上的分式来说的.
7.零指数幂
零指数幂:
a0=1(a≠0)
由am÷am=1,am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1(a≠0)
注意:
00≠1.
8.解二元一次方程组
(1)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:
①从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求出x(或y)的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中,求出另一个未知数的值.⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来,就是方程组的解.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤:
①方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使某一个未知数的系数相等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程,求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起,就得到原方程组的解,用{x=ax=b的形式表示.
9.根与系数的关系
(1)若二次项系数为1,常用以下关系:
x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数.
(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=,反过来也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2.
(3)常用根与系数的关系解决以下问题:
①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0,△≥0这两个前提条件.
10.分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤:
设、列、解、验、答.
必须严格按照这5步进行做题,规范解题步骤,另外还要注意完整性:
如设和答叙述要完整,要写出单位等.
2、要掌握常见问题中的基本关系,如行程问题:
速度=路程时间;工作量问题:
工作效率=工作量工作时间
等等.
列分式方程解应用题一定要审清题意,找相等关系是着眼点,要学会分析题意,提高理解能力.
11.解一元一次不等式组
(1)一元一次不等式组的解集:
几个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集.
(2)解不等式组:
求不等式组的解集的过程叫解不等式组.
(3)一元一次不等式组的解法:
解一元一次不等式组时,一般先求出其中各不等式的解集,再求出这些解集的公共部分,利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
方法与步骤:
①求不等式组中每个不等式的解集;②利用数轴求公共部分.
解集的规律:
同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.
12.一元一次不等式组的整数解
(1)利用数轴确定不等式组的解(整数解).
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.
(2)已知解集(整数解)求字母的取值.
一般思路为:
先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等,然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式,最后解代数式即可得到答案.
13.坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:
①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号.
2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题.
14.函数自变量的取值范围
自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义.
①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.
②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x﹣1.
③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.
④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.
15.动点问题的函数图象
函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力.
用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图.
16.一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y=kx+b,(k≠0,且k,b为常数)的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是(﹣,0);与y轴的交点坐标是(0,b).
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b.
17.反比例函数综合题
(1)应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型,是解决实际问题的关键一步,培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力.在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.
(2)数形结合类综合题
利用图象解决问题,从图上获取有用的信息,是解题的关键所在.已知点在图象上,那么点一定满足这个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数形结合在一起,是分析解决问题的一种好方法.
18.二次函数综合题
(1)二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时,先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号,然后判断新的函数关系式中系数的符号,再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征,则符合所有特征的图象即为正确选项.
(2)二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
(3)二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系,建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建,建立直角坐标系下的二次函数图象,然后数形结合解决问题,需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义.
19.对顶角、邻补角
(1)对顶角:
有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角.
(2)邻补角:
只有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角.
(3)对顶角的性质:
对顶角相等.
(4)邻补角的性质:
邻补角互补,即和为180°.
(5)邻补角、对顶角成对出现,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的.
20.垂线
(1)垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.