整理无穷级数光盘版.docx
《整理无穷级数光盘版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《整理无穷级数光盘版.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
整理无穷级数光盘版
项目四无穷级数
实验无穷级数(基础实验)
实验目的
观察无穷级数部分和的变化趋势,进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的
逼近.掌握用Mathematica求无穷级数的和,求幂级数的收敛域,展开函数为幂级数以及展
开周期函数为傅里叶级数的方法.
基本命令
1.求无穷和的命令Sum
该命令可用来求无穷和.例如,输入
Sum[1/n^2,{n,l,Infinity}]
则输出无穷级数的和为
命令Sum与数学中的求和号
相当.
2.将函数展开为幂级数的命令Series.
该命令的基本格式为
Series[f[x],{x,x0,n}]
它将
展开成关于
的幂级数.幂级数的最高次幂为
余项用
表
示.例如,输入
Series[y[x],{x,0,5}]
则输出带皮亚诺余项的麦克劳林级数
3.去掉余项的命令Normal
在将
展开成幂级数后,有时为了近似计算或作图,需要把余项去掉.只要使用
Normal命令.例如,输入
Series[Exp[x],{x,0,6}]
Normal[%]
则输出
4.强制求值的命令Evaluate
如果函数是用Normal命令定义的,则当对它进行作图或数值计算时,可能会出现问题.
例如,输入
fx=Normal[Series[Exp[x],{x,0,3}]]
Plot[fx,{x,-3,3}]
则只能输出去掉余项后的展开式
而得不到函数的图形.这时要使用强制求值命令Evaluate,改成输入
Plot[Evaluate[fx],{x,-3,3}]
则输出上述函数的图形.
5.作散点图的命令ListPlot
ListPlot[]为平面内作散点图的命令,其对象是数集,例如,输入
ListPlot[Table[j^2,{j,16}],PlotStyle->PointSize[0,012]]
则输出坐标为
的散点图(图1.1).
图1.1
6.符号“/;”用于定义某种规则,“/;”后面是条件.例如,输入
Clear[g,gf];
g[x_]:
=x/;0<=x<1
g[x_]:
=-x/;-1<=x<0
g[x_]:
=g[x–2]/;x>=1
则得到分段的周期函数
再输入
gf=Plot[g[x],{x,-1,6}]
则输出函数
的图形1.2.
图1.2
注:
用Which命令也可以定义分段函数,从这个例子中看到用“…(表达式)/;…(条件)”来
定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形,但用Mathematica命
令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用Which定义的分段函数可以求导但不能积
分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数.如:
Mod[x,1],Abs[x],Floor[x]和UnitStep[x].
其中只有单位阶跃函数UnitStep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分.因此在求分
段函数的傅里叶系数时,对分段函数的积分往往要分区来积.在被积函数可以用单位阶跃函
数UnitStep的四则运算和复合运算表达时,计算傅里叶系数就比较方便了.
实验举例
数项级数
例1.1(教材例1.1)
(1)观察级数
的部分和序列的变化趋势.
(2)观察级数
的部分和序列的变化趋势.
输入
s[n_]=Sum[1/k^2,{k,n}];data=Table[s[n],{n,100}];
ListPlot[data];
N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}]]
N[Sum[1/k^2,{k,Infinity}],40]
则输出
(1)中级数部分和的变化趋势图1.3.
图1.3
级数的近似值为1.64493.
输入
s[n_]=Sum[1/k,{k,n}];data=Table[s[n],{n,50}];
ListPlot[data,PlotStyle->PointSize[0.02]];
则输出
(2)中级数部分和的的变化趋势图1.4.
图1.4
例1.2(教材例1.2)画出级数
的部分和分布图.
输入命令
Clear[sn,g];sn=0;n=1;g={};m=3;
While[1/n>10^-m,sn=sn+(-1)^(n-1)/n;
g=Append[g,Graphics[{RGBColor[Abs[Sin[n]],0,1/n],
Line[{{sn,0},{sn,1}}]}]];n++];
Show[g,PlotRange->{-0.2,1.3},Axes->True];
则输出所给级数部分和的图形(图1.5),从图中可观察到它收敛于0.693附近的一个数.
图1.5
例1.3求
的值.
输入
Sum[x^(3k),{k,1,Infinity}]
得到和函数
例1.4(教材例1.3)设
求
.
输入
Clear[a];
a[n_]=10^n/(n!
);
vals=Table[a[n],{n,1,25}];
ListPlot[vals,PlotStyle->PointSize[0.012]]
则输出
的散点图(1.6),从图中可观察
的变化趋势.输入
Sum[a[n],{n,l,Infinity}]
则输出所求级数的和.
图1.6
求幂级数的收敛域
例1.5(教材例1.4)求
的收敛域与和函数.
输入
Clear[a];
a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1);
stepone=a[n+1]/a[n]//Simplify
则输出
再输入
steptwo=Limit[stepone,n->Infinity]
则输出
这里对a[n+1]和a[n]都没有加绝对值.因此上式的绝对值小于1时,幂级数收敛;大于1
时发散.为了求出收敛区间的端点,输入
ydd=Solve[steptwo==1,x]
zdd=Solve[steptwo==-1,x]
则输出
由此可知,当
时,级数收敛,当
或
时,级数发散.
为了判断端点的敛散性,输入
Simplify[a[n]/.x->(49/16)]
则输出右端点处幂级数的一般项为
因此,在端点
处,级数发散.再输入
Simplify[a[n]/.x->(47/16)]
则输出左端点处幂级数的一般项为
因此,在端点
处,级数收敛.
也可以在收敛域内求得这个级数的和函数.输入
Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1),{n,0,Infinity}]
则输出
函数的幂级数展开
例1.6(教材例1.5)求
的6阶麦克劳林展开式.
输入
Series[Cos[x],{x,0,6}]
则输出
注:
这是带皮亚诺余项的麦克劳林展开式.
例1.6(教材例1.6)求
在
处的6阶泰勒展开式.
输入
Series[Log[x],{x,1,6}]
则输出
例1.7(教材例1.7)求
的5阶泰勒展开式.
输入
serl=Series[ArcTan[x],{x,0,5}];
Poly=Normal[serl]
则输出
的近似多项式
通过作图把
和它的近似多项式进行比较.输入
Plot[Evaluate[{ArcTan[x],Poly}],{x,-3/2,3/2},
PlotStyle->{Dashing[{0.01}],GrayLevel[0]},AspectRatio->l]
则输出所作图形(图1.7),图中虚线为函数
实线为它的近似多项式.
图1.7
例1.9求
在
处的8阶泰勒展开,并通过作图比较函数和它的近似多项式.
输入
Clear[f];
f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2];
poly2=Normal[Series[f[x],{x,1,8}]]
Plot[Evaluate[{f[x],poly2}],{x,-1.75,1.75},PlotRange->
{-2,3/2},PlotStyle->{Dashing[{0.01}],
GrayLevel[0]}]
则得到近似多项式和它们的图1.8.
图1.8
例1.10求函数
在
处的
阶泰勒展开,通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一步观察.
因为
所以输入
Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!
{j,0,k}],
Sin[x]},{x,-40,40},
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}],{k,1,45}]
则输出为
的3阶和91阶泰勒展开的图形.选中其中一幅图形,双击后形成动画.图1.9是最后一幅图.
图1.9
例1.11利用幂级数展开式计算
(精确到
).
因为
根据
在
处的展开式有
故前
项部分和为
输入命令
s[n_]=3(1-1/(5*3^4)-Sum[Product[5i-1,{i,1,k-1}]/(5^kk!
3^(4k)),{k,2,n-1}]);
r[n_]=Product[5i-1,{i,1,n-1}]/5^n/n!
3^(4n-5)/80;
delta=10^(-10);n0=100;
Do[Print["n=",n,",","s[n]=",N[s[n],20]];
If[r[n]则输出结果为
傅里叶级数
例1.12(教材例1.8)设
是以
为周期的周期函数,它在
的表达式是
将
展开成傅里叶级数.
输入
Clear[g];
g[x_]:
=-1/;-Pi<=x<0
g[x_]:
=1/;0<=xg[x_]:
=g[x-2Pi]/;Pi<=x
Plot[g[x],{x,-Pi,5Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}];
则输出
的图形(图1.10).
图1.10
因为
是奇函数,所以它的傅里叶展开式中只含正弦项.输入
b2[n_]:
=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x],{x,0,Pi}]/Pi;
fourier2[n_,x_]:
=Sum[b2[k]*Sin[k*x],{k,1,n}];
tu[n_]:
=Plot[{g[x],Evaluate[fourier2[n,x]]},{x,-Pi,5Pi},
PlotStyle->{RGBColor[0,1,0],RGBColor[1,0.3,0.5]},DisplayFunction->Identity];
(*tu[n]是以n为参数的作图命令*)
tu2=Table[tu[n],{n,1,30,5}];
(*tu2是用Table命令作出的6个图形的集合*)
toshow=Partition[tu2,2];
(*Partition是对集合tu2作分割,2为分割的参数*)
A.环境影响报告表Show[GraphicsArray[toshow]]
(*GraphicsArray是把图形排列的命令*)
则输出6个排列着的图形(图1.11),每两个图形排成一行.可以看到
越大,
的傅里叶级数的前
(3)机会成本法
项和与
越接近.
(3)机会成本法
图1.11
(1)规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估;
表四:
项目排污情况及环境措施简述。
(3)是否符合区域、流域规划和城市总体规划。
实验习题
1.求下列级数的和:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.求幂级数
的收敛域与和函数.
(三)安全评价的内容和分类3.求函数
的6阶麦克劳林多项式.
4.求
的6阶麦克劳林多项式.
5.设
求
的5阶和10阶麦克劳林多项式,把两个近似多项式和函数的
D.可能造成轻度环境影响、不需要进行环境影响评价的建设项目,应当填报环境影响登记表图形作在一个坐标系内.
6.设
在一个周期内的表达式为
将它展开为傅里叶级
数(取6项),并作图.
(4)跟踪评价的结论。
7.设
在一个周期内的表达式为
将它展开为傅里叶级数
(取8项),并作图.
8.求级数
的和的近似值.
一、安全评价