中南大学高等工程数学试题集免费.docx
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中南大学高等工程数学试题集免费
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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷
考试日期：
XX年月日时间分钟
注：
解答全部写在答题纸上
一、填空题（本题24分，每小题3分）
f（x）x32x2x，写出其迭代公式，使
*
得由迭代公式产生的序列xn可以2阶收敛于方程的唯一正根x；
对方程在[ab]上，设
则当（x）满足，和f（x）0与x（x）等价，
时，由xk1（xk）产生的序列xk收敛于方程x（x）的根；
x14用分解法求方程：
x26x35
则：
L=，U=，解x=；
4
已知A132x6，5
则：
A；A1；x1
已知yf（x）在区间[ab]上通过点（xiyi）i012n，则其三次样条插值函数S（x）是满足，，；
y111
设有线性回归模型y22122，其中i~N（02）（i123）且相互独立，写出参数
y2
3
12的最小二乘估计
在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题写出三种常用的自变量的选取方法
影响数学模型数值求解结果的误差有：
，，二、已知f（x）的数据如表：
x
-2026
f（x）04-210
试求三次插值多项式N3（x），求f（5）的近似值，并给出相应的误差估计式三、引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划：
t
Z3x14x22x1x24x11x10
x20
四、某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经AB两道工序加工，A工序在设备A1或A2上完成，B工序在B1，B2，B3三种设备上完成已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品丙只能在A2与B2设备上加工加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表
设备
甲57647
产品
乙1098
丙
设备有效台时
设备加工费
A1A2
B1B2
B3
原料费售价
建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划；写出所建立的模型的对偶形式
五、一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了人服用此药品，一周后有人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实（）？
六、设有数值求积公式
3
3
f（x）dxA0f
（2）A1f（0）A2f
（2），试确定A0A1A2，使
该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少
七、影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表
因素1水平2水平
秧龄苗数氮肥小苗15万株/亩8斤/亩大亩25万株/亩12斤/亩
若考虑之间的交互作用，采用L8（27）安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：
它们的交互作用分别位于哪一列？
若按这种表头作试验并测得产量为，试寻找较好的生产条件八、设方程组为
x112x28x313
对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛；
写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式；取初始向量
x（0）（000）T，用雅可比迭代方法求准确解x*的近似解
x（k1），使
x（k1）x*
103至少需要迭代多少次？
中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷
考试日期：
XX年4月日时间分钟
注：
解答全部写在答题纸上
一、填空题（本题24分，每小题3分）1若方程f（x）0可表成x
（x），且在[ab]内有唯一根x*，那么（x）满足
，则由迭代公式xn1
（xn）产生的序列xn一定收敛于x*
已知二元非线性函数f（x）x1x1x2x22x14x2X0（22）T，该函数从X0出发的最速下降方
向为；
T
．已知二元非线性函数f（x）x1x1x2x22x14x2X0（22）T，该函数从X0出发的方
向为；
T
4．已知yf（x）在区间[ab]上通过点（xiyi）i012n，则其三次样条插值函数S（x）是满足在每个小区间是次数不超过3次的多项式，在区间[ab]上二阶导数连续，满足插值条件S（xi）yii012n）；
5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（X1X2Xn）落入W的概率为，则犯第一类错误的概率为________；
6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈大愈好，而置信区间的长度愈短愈好但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是变长；7
．
取
步
长
h
，解
y'x2y
x[01]
y（0）1
的法公式为：
；
8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有：
二、某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：
锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化
合金
矿石
12345
锡锌25400208
10015205
铅1005015
镍杂质2530204017
3030602015
费用
建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低；写出所建立的模型的对偶形式
设xj上述线性规划模型的对偶形式如下：
t
f
y10y20y40y50y3R1y6R1
4分
三、已知f（x）的数据如表：
x
f（x）
013702
试求三次插值多项式P（x），求f（4）的近似值，并给出相应的误差估计式解：
用插值法求f（x）的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：
xi
01374
f（xi）
02/7
一阶差商二阶差商三阶差商
四阶差商
－-
/3－/6-
－/42-
-
由差商表得出f（x）的三次插值多项式为：
N3（x）
于是有
x（x1）x（x1）（x3）3分
f（4）N3（4）4
4343
2分
21
77
相应的误差估计式为：
R3（x）f[0137x]x（x1）（x3）（x7）
f[01374]431（3）（36）2分
四、为了考察硝酸钠3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度，观察它在的水中溶解的3的重量，得观察结果如下：
温度x20303340151326383543重量y7981154810910
求Y对X的线性回归方程
x
i1
10
i
y
i1
10
i
81
x
i1
10
i
yi
x
i1
10
2
i
y
i1
10
2i
对回归方程的显著性进行检验，5F=）1（
F8）1（
，
（8）
（8）
解：
x
y
nxy10
xinx210
yiny2104分
2
2
ˆaˆyˆ81
ˆ（x）回归函数为
2
4分217x0
ˆ2
1ˆ）1（）（
n28
ˆ
F，或TF2分2
ˆ
F（18）
或T（8）
五、利用单纯形方法求解下面的线性规划：
F（18）故在显著水平为，下线性回归是显著的T（8）故在显著水平为，下线性回归是显著的12分
t
Zx1x22x1x240x130x10
x20
解：
第一步：
化为标准型，……………………………………（2分）第二步：
列出是单纯形表，………………………………（2分）第三步：
第一次单纯形迭代计算，…………………………（3分）第四步：
列出是单纯形表，…………………………………（3分）
第五步：
正确写出结果，最优解x（1510）f…（2分）
六、试确定求积公式hf（x）dxA1f（h）A0f（0）A1f（h）中的待定系数，使其代数精
h度尽量高解：
*
T
*
1A13h
A1A0A12h4
f（x）1xx2h（A1A1）0A0h
32
1h2（A1A1）h3A313h
x3dx（h）3（h）3x4dx（h）4（h）4
hhhh4hhf（x）dxf（h）f（0）f（h）具有三次代数精度h
算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分
七、设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：
药物1234
治愈所需天数5，7，7，7，12，84，6，6，13，4，66，4，8，5，3，97，4，6，6，3，15
试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？
解：
2nx224
24
26x126x226x326x42
方差来源组间组内
总和
平方和
自由度32023
样本方差
F值
由于F（320），故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别
八、设方程组为
x18x27
x19x38
9xxx7
312
对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；
写出对应的高斯－塞德尔迭代格式；取初始向量x解：
（0）
（000）T，用该方法求近似解x（k1），使x（k1）x（k）
103
9x1x2x37
x18x27，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞
将原方程组调整为
x9x8
13
德尔迭代法求解时收敛5分高斯－塞德尔迭代格式为
（k1）1（k）1k7
x2x3x1
（k1）1（k1）7
x1x2
98
x（k1）1x（k1）83
5分
取x（0）（000）T，用上述迭代格式计算得
（k）（k）（k）
kx1x2x3
1234
因
x（4）x（3）
*
103，
故取近似解x
x（4）（）T6分
x*x（4）（）T6分
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