全国高考理科数学试题及答案全国1卷.docx
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全国高考理科数学试题及答案全国1卷
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合Ax|x1,B{x|3x1},则
A.AIB{x|x0}B.AUBR
C.AUB{x|x1}D.AIB
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切
圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方
形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
B.-
8
D.—
4
3
.设有下面四个命题
其中的真命题为
单位长度，得到曲线C2
个单位长度，得到曲线C2
单位长度，得到曲线C2
，一1.、
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的一倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
212
个单位长度，得到曲线C2
2
10.已知F为抛物线C:
y4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线li,l2,直线li与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB+|DE的最小值为
A.16B.14C.12D.10
11.设xyz为正数，且2x3y5z,则
A.2x3y5zB.5z2x3y
C.3y5z2xD.3y2x5z
12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。
为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…，其中第一项是2°,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是2°,21,22,依此类推。
求满足如下条
件的最小整数N：
N100且该数列的前N项和为2的整数哥。
那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1，则|a+2b|=.
x2y1
14.设x,y满足约束条件2xy1,则z3x2y的最小值为.
xy0
22
xy
15.已知双曲线C:
二2T1（a0,b0）的右顶点为A以A为圆心，b为半径做圆A,ab
圆A与双曲线C的一条渐近线交于MN两点。
若MAN60°,则C的离心率为
16.如图，圆形纸片的圆心为Q半彳仝为5cm,该纸片上的等边三角形ABC勺中心为QDE、F为圆。
上的点，△DBCAEC/A4FAB分别是以BCCAAB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BCCAAB为折痕折起△DBC△EC/A△FAEB使得DE、F
重合，得到三棱锥。
当^ABCW边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为
O
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
a2
17.（12分）△ABC勺内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC勺面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC1,a3,求^ABC勺周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥P-ABC珅，AB//CD,且BAPCDP90o.
（1）证明：
平面PABL平面PAD
（2）若PA=PD=AB=DCAPD900,求二面角A-PBC的余弦值.
19.（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个
零件，并测量其尺寸（单位：
cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布N（,2）.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）
之外的零件数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ii）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
116116116
经计算得X—x9.97,sLL（xx）2J—（x216x2）20.212,
16i1116i1\16i1i
其中X为抽取的第i个零件的尺寸，i1,2,,16.
用样本平均数x作为的估计值？
，用样本标准差s作为的估计值？
，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？
剔除（？
3?
?
3?
）之外的数据，用剩下的数据
估计和（精确到0.01）.
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,2）,则P（3Z3）0.9974,0.9974160.9592,j0.0080.09.
20.（12分）
22~
已知椭圆C：
x2与=1（a>b>0）,四点R（1,1）,B（0,1）,R（T,—3）,P4（1,a2b22
—）中恰有三点在椭圆C上.
2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于AB两点。
若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明：
l过定点.
21.（12分）
已知函数f（x）ae2x（a2）exx
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.［选彳4—4:
坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线c的参数方程为x3cos'（0为参数），直线l的参数方
ysin,
程为xa4t,（t为参数）.y1t,
（1）若a=-1,求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为折，求a.
23.［选彳4—5:
不等式选讲］（10分）
已知函数f（x）x2ax4,g（x）|x1||x1|
（1）当a1时，求不等式f（x）Rg（x）的解集；
（2）若不等式f（x）ng（x）的解集包含[-1,1],求a的取值范围
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
、选择题：
本题共
12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有
项是符合题目要求的。
7.B8.D9.D10.A11.D12.A
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
11）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1,a=3,求^ABC勺周长.
解：
（1）
a
3sinA
1a1
由题设得一acsinB,即一csinB
23sinA2
一1sinA
由正弦定理得1sinCsinB-s^nA
23sinA
2
故sinBsinC一。
3
⑵
故ABC的周长为3底
18.（12分）解:
（1）由已知BAPCDP900,得ABAP,CDPD
由于AB//CD，故ABPD,从而AB平面PAD
又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD
（2）在平面PAD内作PFAD,垂足为F
由
（1）可知，AB平面PAD，故ABPF,
可彳导PF平面ABCD
uuuuuru
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单
（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
设m（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
可取m（1,0,1）
位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz
（3,3）之外的概率为0.0026，故X~B（16,0.0026）,因此
P（X1）1P（X0）10.9974160.0408
X的数学期望为EX160.00260.0416
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3,3）之外的概率只有0.0026,
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有
0.0408,发生的概率很小。
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的。
（ii）由X9.97,s0.212,得的估计值为？
9.97,的估计值为？
0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在（？
3?
?
3?
）之外，因此需对当天
的生产过程进行检查。
—（1591.1349.2221510.022）0.00815
因此的估计值为70.0080.09
20.（12分）解:
（1）由于P3,P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3,P4两点
一，1113一一
又由-2-2~2—2■知，C不经过点R,所以点F2在C上
ab2a24b2
4t24t2
储丁八丁
0
c,2
8km4m4
2,x〔x22
4k214k21
y21
x2
2
X2从而可设l:
ykxm（m1）,将ykxm代入一y1得
4
,2,、22-
（4k1）x8kmx4m40
由题设可知16（4k2m21）
设A（x1,y1）,BNyz）,则x〔x?
而k1k2
x1
kx1m1kx2m1
又2
x1
2kxix2（m1）（x1x2）
x1x2
解得k
一.，,__m1
当且仅当m1时，0,于是l:
ym—」xm,
2
所以l过定点（2,1）
21.（12分）解:
（1）f（x）的定义域为（
）,f（x）2ae2x（a2）ex1（aex1）（2ex1）
（i）若a0,则f（x）0,所以f（x）在（，）单调递减（ii）若a0,则由f（x）0的xIna
当x（,Ina）时，f（x）0;
当x（Ina,）时，f（x）0
所以f（x）在（，lna）单调递减，在（lna,）单调递增。
（2）（i）若a0,由
（1）知，f（x）至多有一个零点
（ii）若a0,由
（1）知，当xlna时，f（x）取得最小值
1
f（lna）1lnaa
①当a1时，由于f（lna）0,故f（x）只有一个零点;
个零点。
3
en0
设正整数n0满足n0ln（-1）,a
则f（n0）en0（aen0a2）n0
一•，3
由于ln（—1）lna,因此f（x）在（lna,）有一个零点a
综上，a的取值范围为（0,1）
22.解：
2
（1）曲线C的普通方程为—y21,
9,
当a1时，直线l的普通方程为x4y30
（2）直线l的普通方程为x4ya40,故C上的点（3cos,sin）至1]l的距离为
13cos4sina4|
..17
当a4时，d的最大值为^—9,由题设得a—9病，所以a8；
17.17
当a4时，d的最大值为由题设得一=1折，所以a16
.17；17
综上，a8或a16
23.解：
（1）当a1时，不等式f（x）g（x）等价于
2…
xx|x1||x1|40①
当x1时，①式化为x23x40,无解；
当1x1时，①式化为x2x20,从而1x1；
当x1时，①式化为x2x40,从而1x——或Z
2
所以f（x）g（x）的解集为{x|1x——"17}
2
⑵当x［1,1］时，g（x）2
所以f（x）g（x）的解集包含［1,1］,等价于当x［1,1］时f（x）2
又f（x）在［1,1］的最小值必为f
（1）与f
（1）之一，所以f
（1）2且f
（1）2,得
1a1
所以a的取值范围为［1,1］
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