最新高中数学平面向量练习题优秀名师资料.docx
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最新高中数学平面向量练习题优秀名师资料
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高中数学平面向量练习题
1（以下说法错误的是
A（零向量与任一非零向量平行B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量（下列四式不能化简为AD的是
，BC;，;A（B（,BM;,OA，CD;C（MB，ADD（OC
3（已知=，=，与则夹角的余弦为
A（
63
B（C（
565
D（
4（已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60?
那么|a+b|=
A（7
B（
?
?
?
C（
?
D（4
5（已知ABCDEF是正六边形，且AB,a，AE,b，则BC,
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?
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1
a，b
111?
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6（设a，b为不共线向量，AB,a+2b,BC,,4a,b,CD,,5a,3b,则下列关系式中正确的是
AD,BCAD,2BCAD,,BCAD,,2BC（设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1，e2与e1，ke2共线，则k的值是
1,1?
1任意不为零的实数（在四边形ABCD中，AB,DC，且AC?
BD,0，则四边形ABCD是
矩形菱形直角梯形等腰梯形
9（已知M、N，点P是线段MN上的点，且PN,,2PM，则P点的坐标为
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10（已知a,，b,，且ka+b与a,kb垂直，则k,
?
1?
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2?
1?
3?
2
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?
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11、若平面向量a?
和b?
互相平行，其中x?
R.则a?
b?
A.?
2或0;
B.C.
或D.或10.
12、下面给出的关系式中正确的个数是
?
?
?
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?
2?
2?
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?
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?
0?
a?
0?
a?
b?
b?
a?
a?
a?
c?
a?
a?
b?
a?
b01
二.填空题:
13（若?
,点的坐标为，则,点的坐标为（14（已知a?
b?
，则2|a|?
3a?
b?
（
?
?
?
?
?
15、已知向量a?
3,b?
，且a?
b，则a的坐标是_________________。
16、ΔABC中，A,B,重心G，则C点坐标为________________。
17（如果向量
与b的夹角为θ，那么我们称
?
b为向量
与b的“向量积”，
?
b是一个向量，它的长度|?
b|=|||b|sinθ，如果||=4,|b|=3,?
b=-2，则|?
b|=____________。
三.解答题:
18、设平面三点A，B，C（
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试求向量2，AC的模;试求向量与AC的夹角;试求与垂直的单位向量的坐标（
19（已知向量
=
求向量b，使|b|=2||，并且
与b的夹角为
。
20.已知平面向量a?
b?
.若存在不同时为零的实数k和t,使2
?
?
?
?
k?
t,且?
.
试求函数关系式k=f
求使f>0的t的取值范围.
21（如图，
=,
，且
。
求x与y间的关系;若
，求x与y的值及四边形ABCD的面积。
22（求t的值
已知a、b共线同向时，求证b与a+tb垂直
分）已知向量a、b是两个非零向量，
平面向量专题复习
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一（向量有关概念:
1（向量的概念:
既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么,。
如:
2（零向量:
长度为0的向量叫零向量，记作:
0，注意零向量的方向是任意的;
?
?
?
?
?
?
?
?
AB3（单位向量:
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量;
|AB|
4（相等向量:
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性;
5（平行向量:
方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作:
?
，规
定零向量和任何向量平行。
提醒:
?
相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;
?
两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:
两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
?
?
平行向量无传递性～若a?
b，则a?
b。
两个向量相
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等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
若
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
AB?
DC，则ABCD是平行四边形。
若ABCD是平行四边形，则AB?
DC。
若a?
b,b?
c，则
?
?
?
?
?
?
?
?
a?
c。
若a//b,b//c，则a//c。
其中正确的是_______
二、向量的表示
1（几何表示法:
用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后;（符号表示法:
用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等;
3（坐标表示法:
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，为基底，
?
?
?
则平面内的任一向量a可表示为a?
xi?
yj?
?
x,y?
，称?
x,y?
为向量a的坐标，a,?
x,y?
叫做向量a的
坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
三（平面向量的基本定理:
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，
有且只有一对实数?
1、?
2，使a=?
1e1，?
2e2。
如
?
?
?
?
例2若a?
b?
c?
，则c?
______
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下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A.e1?
e2?
B.e1?
e2?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1C.e1?
e2?
D.e1?
e2?
24?
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?
已知AD,BE分别是?
ABC的边BC,AC上的中线,且AD?
a,BE?
b,则BC可用向量a,b表示为_____
已知?
ABC中，点D在BC边上，且CD?
2DB，CD?
rAB?
sAC，则r?
s的值是___
?
?
?
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?
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?
?
?
?
四（实数与向量的积:
实数?
与向量a的积是一个向量，记作?
a，它的长度和方向规定如下:
?
?
?
1?
?
a?
?
a,?
2?
当?
>0时，?
a的方向与a的方向相同，当?
?
?
?
当,0时，?
a?
0，注意:
?
a?
0。
五（平面向量的数量积:
1（两个向量的夹角:
对于非零向量，，作
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OA?
a,OB?
b，?
AOB?
?
?
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?
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?
?
?
0?
?
?
?
?
称为向量，的夹角，当?
0时，，同向，当?
?
时，，反向，当?
2时，
?
?
2（平面向量的数量积:
如果两个非零向量，，它们的夹角为?
，我们把数量|a||b|cos?
叫做?
?
与b的数量积，记作:
a?
b，即a?
b,abcos?
。
规定:
零向量与任一向量的数量
积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
?
a，b垂直。
?
3（在上的投影为|b|cos?
，它是一个实数，但不一定大于0。
?
4（?
的几何意义:
数量积?
等于的模|a|与在上的投影的积。
5（向量数量积的性质:
设两个非零向量，，其夹角为?
，则:
?
?
?
?
?
a?
b?
a?
b?
0;
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?
?
?
2?
?
?
2?
?
当a，b同向时，a?
b,ab，特别地，a?
a?
a?
a,a?
;当a与b反向时，a?
b,
?
?
?
?
?
?
b不同向，a?
b?
0是?
为锐角的必要非充分条件;当?
为钝,ab;当?
为锐角时，a?
b,0，且a、
?
?
?
?
b不反向，a?
b?
0是?
为钝角的必要非充分条件;角时，a?
b,0，且a、
?
?
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?
?
?
a?
b
?
非零向量，夹角?
的计算公式:
cos?
?
;?
|a?
b|?
|a||b|。
ab
例3如?
ABC中，|AB|?
3，|AC|?
4，|BC|?
5，则AB?
BC?
_________
?
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?
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?
?
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?
?
1?
1?
?
?
已知a?
b?
c?
a?
kb,d?
a?
b，c与d的夹角为，则k等于____
422
?
?
?
?
?
?
b?
?
3，则a?
b等于____已知a?
2,b?
5,a?
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?
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?
?
?
?
已知a,b是两个非零向量，且a?
b?
a?
b，则a与a?
b的夹角为____
例4已知|a|?
3，|b|?
5，且a?
b?
12，则向量a在向量b上的投影为______
例5已知a?
，b?
，如果a与b的夹角为锐角，则?
的取值范围是______
?
?
?
?
?
?
13
已知?
OFQ的面积为S，且OF?
FQ?
1，若?
S?
，则OF,FQ夹角?
的取值范围是。
22
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
六（向量的运算:
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1（几何运算:
?
向量加法:
利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
外，向量加法还可利用“三角形法则”:
设AB?
a,BC?
b，那么向量AC叫做a与b的和，即?
?
?
?
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?
a?
b?
AB?
BC?
AC;
?
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?
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?
?
?
向量的减法:
用“三角形法则”:
设AB?
a,AC?
b,那么a?
b?
AB?
AC?
CA，由减向量的终
点指向被减向量的终点。
注意:
此处减向量与被减向量的起点相同。
?
?
2（坐标运算:
设a?
b?
，则:
?
?
?
向量的加减法运算:
a?
b?
。
?
?
实数与向量的积:
?
a?
?
?
x1,y1?
?
?
?
x1,?
y1?
。
?
?
?
?
?
若A,B，则AB?
?
x2?
x1,y2?
y1?
，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线?
?
?
平面向量数量积:
a?
b?
x1x2?
y1y2。
如
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已知向量a,,b,,c,。
若x,
段的终点坐标减去起点坐标。
?
，求向量a、c3
的夹角;若x?
[?
3?
?
1
]，函数f?
?
?
的最大值为，求?
的值
284
?
?
?
2222
?
向量的模:
|a|?
a?
|a|?
x?
y。
?
两点间的距离:
若A?
x1,y1?
B?
x2,y2?
，则
|AB|?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
例6:
?
AB?
BC?
CD?
___;?
AB?
AD?
DC?
____;?
?
?
_____
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
例7已知点A,B，C，若AP?
AB?
?
AC，则当?
____时，点P在第一、三象限的角平分线上
?
1?
?
?
?
?
已知A,B,且AB?
，x,y?
，则x?
y?
222
?
?
?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
例8设A,B，且AC?
AB，AD?
3AB，则C、D的坐标分别
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是__________
3?
?
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?
?
?
?
例9已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?
3b|,_____
七（向量的运算律:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1（交换律:
a?
b?
b?
a，?
?
a?
?
?
?
?
a，a?
b?
b?
a;
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2（结合律:
a?
b?
c?
a?
b?
c,a?
b?
c?
a?
b?
c，?
a?
b?
?
a?
b?
a?
?
b;
?
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