12第十二章级数.docx

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12第十二章级数

第十二章级数

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1．了解无穷数项级数的收敛、发散及级数和的概念.

2．了解无穷级数收敛的必要条件,知道无穷级数的基本性质.

3．了解几何级数和-级数的敛散性,会用正项级数的比较审敛法,掌握正项级数的比值审敛法.

4．会用交错级数的莱布尼茨判别法，知道级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系.

5．了解幂级数及其收敛半径的概念，会求幂级数的收敛半径和收敛区间.

6．了解幂级数在收敛区间内的基本性质.

7．知道泰勒（Taylor）级数公式和函数展开成泰勒级数的充要条件.

8．会用、、与等函数的麦克劳林（Maclaurin）级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数.

9．了解以为周期的函数的傅里叶（Fourier）级数的概念，会计算周期函数的傅里叶系数.

10．知道周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件.

11．掌握周期函数以及定义在和上的函数展开成傅里叶级数的方法.

12．会将定义在上的函数展开成正弦级数或余弦级数.

重点正项级数的比较与比值判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的概念，幂级数在收敛区间内的基本性质，用、、与等函数的麦克劳林（Maclaurin）级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，以为周期的函数的傅里叶级数的概念，周期函数可展开成它的傅里叶级数的充分条件，掌握周期函数以及定义在和上的函数展开成傅里叶级数的方法.

难点无穷数项级数的收敛与发散的判别，区分绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径与收敛区间，用已知基本展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，将函数展开成傅里叶级数时，计算该函数的傅里叶系数.

（二）内容提要

1.数项级数

⑴定义设给定一个无穷数列，则

称为数项级数，简称级数.其中第项称为级数的通项或一般项.该级数的前项和

称为级数的前项部分和,并称数列为级数的部分和数列.

⑵级数的收敛、发散与级数和

若级数的部分和数列的极限存在，即，则称级数收敛，若部分和数列的极限不存在，则称级数发散.

当级数收敛时，称其部分和数列的极限为级数的和，记为.

⑶数项级数的性质

①若级数和分别收敛于与,则级数收敛于，即

=+．

②级数和为任一常数，有相同的敛散性，且若收敛于，则收敛于，即=.

③添加、去掉或改变级数的有限项，所得级数的敛散性不变.

④（级数收敛的必要条件）　若级数收敛，则.

⑷正项级数及其收敛判别法

若，则称级数为正项级数.

①比较判别法

设和是两个正项级数，且，那么有

若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则级数也发散.

②比值判别法

设是正项级数，且，则

当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛，也可能发散.

⑸交错级数与莱布尼茨判别法

①交错级数

设，级数称为交错级数.

②莱布尼茨判别法

如果交错级数满足莱布尼茨（Leibniz）条件：

且,

则该级数收敛,且其和,其余项的绝对值.

⑹绝对收敛与条件收敛

如果级数收敛，则称级数是绝对收敛的；如果级数收敛而级数发散，则称级数是条件收敛的.对于绝对收敛的级数，有如下结论：

如果级数是绝对收敛的，则级数也收敛.

⑺两个重要级数

①几何级数

形如

的级数称为几何级数.几何级数的敛散性有如下结论：

当时，几何级数收敛于；当时，几何级数发散.

②级数

形如

的级数称为级数．级数的敛散性有如下结论：

当时，级数收敛；当时，级数发散.

特殊地,时的级数称为调和级数,调和级数是发散的.

2．幂级数

⑴函数项级数

如果级数

的各项都是定义在某个区间上的函数，则称该级数为函数项级数，称为通项或一般项.当在区间中取定某个常数时，该级数是数项级数.如果数项级数收敛，则称为函数项级数的一个收敛点；如果发散，则称为函数项级数的一个发散点，函数项级数的所有收敛点组成的集合称为它的收敛域.

对于收敛域内的任意一个数，函数项级数为该收敛域内的一个数项级数，于是有一个确定的和.这样，在收敛域上，函数项级数的和是的函数，通常称为函数项级数和函数，即

，

其中是收敛域内的任意一个点．

⑵幂级数的定义

形如

的函数项级数称为的幂级数，其中称为该幂级数的第项系数.

⑶幂级数的收敛半径

幂级数的系数满足

，

当时，称为幂级数的收敛半径；当时，规定收敛半径为；当时，规定收敛半径.

⑷幂级数的收敛区间、收敛域

①收敛区间

如果幂级数的收敛半径为，则称区间为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛.

②收敛域

把收敛区间的端点代入幂级数中，判断数项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.

⑸幂级数的性质

设,

①幂级数的和函数在收敛区间内连续．

②（加法运算）当时，有

．

③（逐项微分运算）当时，有

，

且收敛半径仍为.

④（逐项积分运算）当时，有

==，

且收敛半径仍为.

（6）泰勒级数与麦克劳林级数

①泰勒公式

如果函数在开区间内具有直至阶导数,且,则对任意点,有在处的阶泰勒公式

其中称为阶泰勒公式的余项，当时，它是比高阶的无穷小，故一般可写成.余项有多种形式，一种常用的形式为拉格朗日型余项，其表达式为

.

②泰勒级数

称为在处的泰勒级数.

③麦克劳林级数

称为的麦克劳林级数.

④函数展开成泰勒级数的充要条件

设函数在的某个邻域内有任意阶导数，则函数的泰勒级数在该邻域内收敛于的充要条件是：

（其中是泰勒余项）.如果在处的泰勒级数收敛于,则在处可展开成泰勒级数,即

，

称其为在处的泰勒展开式，也称为关于的幂级数.

当时，有

称为函数的麦克劳林展开式.

（7）常用初等函数的麦克劳林展开式

①

②③　　　

④

⑤

其中为任意实常数

⑥

3.傅里叶级数

⑴以为周期的函数展开成傅里叶级数

①设是周期为的函数，则的傅里叶系数的公式为

，

，

由的傅里叶系数所确定的三角级数

称为的傅里叶级数.

②当是周期为的奇函数时，的傅里叶级数是正弦级数，其中系数.

③当是周期为的偶函数时，的傅里叶级数是余弦级数，其中系数.

⑵狄利克雷（Dirichlet）收敛定理

设以为周期的函数在上满足狄利克雷条件：

①连续或仅有有限个第一类间断点；

②至多只有有限个极值点，

则的傅里叶级数收敛，且有

①当是的连续点时，的傅里叶级数收敛于；

②当是的间断点时，的傅里叶级数收敛于这一点左、右极限的算术平均数.

⑶或上的函数展开成傅里叶级数

如果函数只在区间上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们可以在或外，补充函数的定义，使它拓广成周期为的周期函数（按这种方式拓广函数的定义的过程称为周期延拓）.再将展开成傅里叶级数,并且该傅里叶级数在时,就是函数的傅里叶级数,在处，傅里叶级数收敛于.

类似地，如果只在上有定义且满足狄利克雷收敛定理的条件，我们在内补充的定义,得到定义在上的函数,使它在上成为奇函数（偶函数）（按这种方式拓广函数的定义的过程称为奇延拓（偶延拓））.然后把奇延拓（偶延拓）后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数（余弦级数）.

⑷以为周期的函数，且在上满足狄利克雷收敛定理的条件，得到的傅里叶级数展开式为

，

当是的连续点时，上式成立.其中

，

.

二、主要解题方法

1．判断数项级数的敛散性的方法

例1判断下列级数的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛

（1），

（2）．

解

（1）先判断级数=的敛散性，显然级数是正项级数，因为>，而级数发散，由比较判别法知级数发散．又因为级数是一交错级数，=0且>，由莱布尼茨判别法知，级数收敛，故此级数条件收敛．

（2）当0<时，0，由级数收敛的必要条件知级数发散．

当时,先判断级数=的敛散性，因为==<1，由比值判别法知，级数绝对收敛．

小结对任意级数先取绝对值，判断绝对值级数的敛散性，因为绝对值级数是正项级数，所以可以用只适用于正项级数的比较判别法和比值判别法来判断，若收敛即为绝对收敛，若发散再看是否为交错级数，若是交错级数再用莱布尼茨判别法判断其敛散性．

当然，不论判断何类级数，都先用收敛的必要条件来判断是否发散，当判断不出时，再考虑用其他方法．

2．幂级数收敛区间或收敛域的方法

例2求下列幂级数的收敛域

（1），

（2），（3）．

解

（1）因为===，

所以收敛半径=3，收敛区间为（3，3）．

当=3时，级数为，收敛，

当=3时，级数为，显然发散．

故收敛域为[3，3．

（2）因为==，所以收敛半径=2，

由<2得，收敛区间为（3，1），

当时，级数为，发散，

当=1时，级数为，发散，

故级数的收敛域为（3，1）．

（3）幂级数缺少奇次项，直接用比值判别法有==0，

收敛半径=，收敛域为（）．

小结如果幂级数属于或形式，其收敛半径可按公式=求得．若不属于标准形式，缺奇次（或偶次）项，则可用比值判别法求得．

3．求幂级数的和函数的方法

例3利用逐项求导和逐项微分，求下列级数在其收敛区间的和函数

（1），

（2）．

解

（1）由于幂级数的系数含有幂指数加1的因子，所以采用“先积后微”的方法，

设=，===，，于是

===，

即=，.

（2）由于幂级数的系数含有幂指数的因子，所以采用“先微后积”的方法

设=，

则=，==，

===，

==[]，

即=[]．

小结掌握幂级数在其收敛区间内和函数的求法，首先要熟悉几个常用的初等函数的幂级数展开式，其次还必须分析所给幂级数的特点，找出它与和函数已知的幂级数之间的联系，从而确定出用逐项求导法还是用逐项积分法求所给幂级数的和函数．

4．把函数展开成幂级数的方法

例4把下列函数展开为（）的幂级数

（1）=，=4；

（2）=，．

解

（1）利用等比级数求和公式

==，

因为=（1<<1），所以=，

这里1<<1，得7<<1，于是

=（7<<1）．

（2）==

=（1++++）[+（++（+

=++++（1<<1）．

由的收敛区间为（1，1）可知的幂级数收敛区间为（2，2），的麦克劳林级数的收敛区间取（1，1）与（2，2）中较小的一个，即（1，1）．

小结把函数展开为（）的幂级数的方法有二：

（1）直接展开法（泰勒展开）此方法计算量大，的一般表达式不易求出，并且讨论余项当时是否趋于0也困难．为了避免这些缺点，常用间接展开法．

（2）间接展开法利用已知的函数展开式，通过恒等变换、变量代换、幂级数的代数运算及逐项求导或逐项积分把展开成幂级数．

5．傅里叶级数的展开法

例5设是以2为周期的函数，它在[，]上的表达式为

=

将展开成傅里叶级数．

解满足收敛定理条件，

的图形如图所示

因此===，

==

=（+）

=

===（+）=．

又在除外处处连续，故的傅里叶级数展开式为

=+（）+（+）

+（+（且（）），

当时，级数收敛于．

小结把（满足收敛定理条件）展开成傅里叶级数主要工作是计算傅里叶系数．因

此要根据函数的特点尽量用适当的恒等变形或适当变量代换，把函数转化成求具有奇偶性的

函数的傅里叶系数，这样可以简化运算．

三、学法建议

1．本章的重点是数项级数的敛散性概念及其判别法，幂级数的收敛半径与收敛区间的

概念及求法，用，,与等函数的麦克劳林级数展开式与幂级数的基本性质将一些简单的函数展开成幂级数，掌握周期函数以定义在