九年上 第一章证明二 学案全章精品.docx

九年上 第一章证明二 学案全章精品.docx

《九年上 第一章证明二 学案全章精品.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年上 第一章证明二 学案全章精品.docx（31页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年上第一章证明二学案全章精品

1.1你能证明它们吗

（1）

教师寄语：

良好的开端是成功的一半

学习目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索---发现---猜想---证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

学习过程：

一、前置准备：

1、请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。

2、列举我们已知道的公理：

、

（1）公理：

同位角，两直线平行。

（2）公理：

两直线，同位角。

（3）公理：

的两个三角形全等。

（4）公理：

的两个三角形全等。

（5）公理：

的两个三角形全等。

（6）公理：

全等三角形的对应边，对应角。

注：

等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。

二、自主学习：

（自学指导：

利用已有的公理和定理证明。

5分钟）

“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

”

三、合作交流；议一议：

1、等腰三角形性质：

等腰三角形的两个相等（简称：

等对等）

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，求证：

∠B＝∠C

证明：

2、推论：

等腰三角形的顶角的、底边上的、底边上的互相重合（简称：

）

3、请证明推论2：

等边三角形的三个角都是，并且每个角都等于。

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、当堂训练：

1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）

A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、腰长相等的两个等腰直角三角形；

C、两个等边三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.

2、如图，已知：

∥

，AB=CD，若要使

△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，

哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）

A、∠A=∠D;B、BF=CE;

C、AE∥DF;D、AE=DF.

3、如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为___________。

4、

（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为。

（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为。

5、△ABC中，AB=AC,且BD=BC=AD，则∠A的

度数为。

6、如图，已知D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:

BD=CE

六、学而不思则罔，本节课我的反思：

1.1你能证明它们吗

（2）

教师寄语：

未来与期待总是并肩向我们走来

学习目标：

1、学会证明等腰三角形中有关相等的线段及等角对等边。

2、结合实例体会反证法的含义。

学习过程：

一、前置准备：

1、等腰三角形的性质是什么？

2、等腰三角形的一个内角为700，则顶角为。

3、等腰三角形的一个外角为1000，则其顶角顶角为。

二、自主学习：

（自学提示：

从三角形特殊的线段入手，自己观察、探索发现相等的线段，在证明。

注意：

1.画图是否准确规范。

2.已知和求证是否表达清楚。

3.应用综合法证明的格式是否正确。

5分钟）

1、等腰三角形两底角的平分线相等吗？

已知：

如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的角平分线。

求证：

BD＝CE

2、等腰三角形中还有其它相等的线段吗？

请你证明它们，并与同伴交流。

3、自学展示、教师指导：

三、合作交流；

1、请同学们阅读P7的问题

（1）、

（2），由此得到什么结论？

2、我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？

并与同伴交流，由此得到什么结论？

得出定理：

；简称：

。

3、请同学们阅读P7“想一想”，这一结论成立吗？

你能证明吗？

若不会证明，请看P8小明是怎样证明的，这种证明问题的方法与以前的证明方法相同吗？

若不同应称为什么方法？

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、当堂训练：

1、已知：

如图，在△ABC中，AB=AC,

∠BAC=1200,D、E是BC上两点，且

AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形。

2、如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分

线交与点O，过点O作MN∥BC,若AB=12，AC=18，

BC=24，则△AMN的周长为（）

（A）30;（B）36;（C）39;（D）42。

3、在△ABC中，AB=AC,∠A=360,BD、CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形。

4、已知：

△ABC.求证：

∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.

六、学而不思则罔，本节课我的反思：

1.你能证明它们吗（3）

教师寄语：

一个能思考的人，才是一个力量无边的人。

学习目标：

1、掌握“等边三角形判定”及“300角的直角三角形的性质”的推论，会用上述结论进行相关的计算和证明。

学习过程：

一、前置准备：

1、已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形。

2、利用刻度尺两测量一下含300角的三角板的斜边和较短的直角边，与同伴比较结果，交流其关系。

二、自主学习：

（自学提示：

600的角可，可能是顶角也可能是底角）

1、有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？

试着证明你的结论。

得出定理：

有一个角是的三角形是等边三角形。

三、合作交流；

做一做：

用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由。

根据操作，思考：

在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？

并试着证明。

得出定理：

在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的。

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

如图，等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高。

六、当堂训练：

1、判断：

（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半。

（）

（2）有一个角是600的三角形是等边三角形。

（）

2、证明三个角都相等的三角形是等边三角形。

3、等腰三角形的底角等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是多少？

4、在Rt△ABC中，∠ACB=900,∠A=300,

CD⊥AB,BD=1,则AB是多少？

5、如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一

条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中

点D处，则∠A多少度？

七、学而不思则罔，本节课我的反思：

1.2直角三角形

（1）

学习目标：

1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法；

2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。

学习过程：

一、前置准备

1、说出你知道的勾股数

2、勾股定理的内容是：

_____________________________;

它的条件是：

______________________________________;

二、自主学习：

（自学提示：

能否联想到“全等”，进而设法“构造全等三角形”是解题的关键。

）

将勾股定理的条件和结论分别变成结论和条件，其内容是：

下面试着将上述命题证明：

已知在△ABC中，AB2+AC2=BC2

求证：

△ABC是直角三角形。

3、自学展示、教师指导：

得出定理：

如果三角形两边的__________等于__________，那么这个三角形是直角三角形。

三、合作交流：

1、观察勾股定理及上述定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

然后观察下列每组命题，是否也在类似关系

（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

（3）三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

像上述每组命题我们称为互逆命题，即一个命的条件和结论分别是另一个命题的__________和__________。

2、阅读课本P18“想一想”，回答下列问题：

①一个命题是真命题，那么它的逆命题也一定是真命题吗？

②什么是互逆定理？

③是否任何定理都有逆定理？

④思考我们学过哪些互逆定理？

四、归纳总结：

1、勾股定理和逆定理的内容分别是什么？

2、什么是互逆定理，什么是互逆命题？

五、当堂训练：

1、判断

A：

每个命题都有逆命题，每个定理也都有逆定理。

（）

B：

命题正确时其逆命题也正确。

（）

C：

直角三角形两边分别是3，4，则第三边为5。

（）

2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）

①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10

A：

①②④B：

②④⑤C：

①③⑤D：

①③④

3、以下命题的逆命题属于假命题的是（）

A：

两底角相等的两个三角形是等腰三角形。

B：

全等三角形的对应角相等。

C：

两直线平行，内对角相等。

D：

直角三角形两锐角互余。

4、若一个直角两直角边之比为3：

4，斜边长20CM，则两直角边为（，）

5、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：

A：

五边形是多边形。

B两直线平行，同位角相等。

：

C：

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

D：

如果AB=0，那么A=0，B=0。

6、公园中景点A、B间相距50M，景点A、C间相距40M，景点B、C间相距30M，由这三个景点构成的三角形一定是直角三角形吗？

为什么？

7、台风过后，某小学旗杆在B处断裂，旗杆顶A落在离旗杆底部C点8M处，已知旗杆原长16M，则旗杆在距底部几米处断裂。

六、学而不思则罔，本节课我的反思：

1.2直角三角形

（2）

学习目标：

1.能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2.进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。

学习过程：

一、前置准备

1、直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；

2、命题与逆命题，定理与逆定理的关系。

二、自主学习：

（自学提示：

不会的可参照书中进行，时间5分钟）

问题1：

两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

如果其中一边所对的角是直角呢？

请证明你认为正确的结论。

问题2：

（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？

不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性。

三、合作交流：

（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？

把它们分别写出来。

四、归纳总结：

1、证明△全等的判定定理有哪些？

2、如何用三角尺做书籍角的平分线？

五、例题解析：

D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF，求证BF=CE

[解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED

当堂训练：

1、下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）

A：

两条直角边对应相等的两个直角三角形。

B：

两条锐角边对应相等的两个直角三角形。

C：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形。

D：

有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

2、下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）

①8、15、17②4、5、6、③7.5、4、8.5④24、25、7⑤5、8、10

A：

①②④B：

②④⑤C：

①③⑤D：

①③④

3、下列命题中，假命题是（）

A：

三个角的度数之比为1：

3：

4的三角形是直角三角形。

B：

三个角的度数之比为1：

√3：

2的三角形是直角三角形。

C：

三边长之比为1：

√3：

2的三角形是直角三角形。

D：

三边长之比为√2：

√2：

2的三角形是直角三角形。

课下训练：

1、下列说法正确的有（）

（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等。

（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等。

（4）有两条边相等的两个直角三角形全等。

（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

A：

2个B：

3个C：

4个D：

5个

2、下列说法中错误的是（）

A:

直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边。

B:

等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半。

C:

直角三角形中每条直角边都小于斜边。

D:

等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为1+√2

3、以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（）

A：

8、15、17B：

4、5、6

C：

5、8、10D：

8、39、40

4、命题：

若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________。

5、AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，则BC`与BC之间的数量关系是____________。

6、四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，

AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积________。

学而不思则罔，本节课我的反思：

1.3线段的垂直平分线

（1）

学习目标：

1.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，并能够运用此定理进行简单的计算与证明。

2.能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。

学习过程：

一、前置准备：

1、什么是线段的垂直平分线？

2、你会画线段的垂直平分线？

二、自主学习：

“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？

三、合作交流；

议一议：

写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？

它是真命题吗？

如果是，请证明，并与同伴交流。

做一做：

阅读P25做一做，然后用尺规作出右图已知线段AB的垂直平分线CD，并说明为什么CD是线段AB的垂直平分线？

AB

反思：

如何用尺规作图确定已知线段的中点？

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、例题解析：

如图在△ABC中，AD是∠BAC平分线,AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E

求证：

（1）∠EAD=∠EDA;

（2）DF∥AC

（3）∠EAC=∠B

六、当堂训练：

1、已知：

线段AB及一点P，PA=PB，则点P在上。

2、已知：

如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直

平分线交BC于D则∠ADC=。

3、△ABC中，∠A=500，AB=AC,AB的垂直平分线

交AC于D则∠DBC的度数。

4、△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC垂直平分线，则∠B∠BAE，∠C∠GAF，若∠BAC=1260，则∠EAG=。

5、如图，△ABC中，AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分

AB，则△BCD的周长是。

6、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。

学而不思则罔，本节课我的反思：

1.3线段的垂直平分线

（2）

学习目标：

1、能够证明线段的垂直平分线相交于一点这一定理。

2、能够用尺规作已知线段的垂直平分线和已知底边及底边上的高作等腰三角形。

学习过程：

一、前置准备：

1、等腰三角形的顶点一定在上。

2、在△ABC中，AB、AC的垂直平分线相交于点P，则PA、PB、PC的大小关系是。

3、在△ABC中,AB=AC,∠B=580,AB的垂直平分线交AC于N,则∠NBC=.

4已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线。

AB

二、自主学习：

1、三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？

剪一个三角形纸片，通过折叠观察一下，并与同桌交流。

2、上面的问题如何证明？

定理：

三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离。

三、合作交流；

1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？

如果能，能作几个？

所作的三角形都全等吗？

2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？

能作几个？

3、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。

已知：

线段a、h

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、当堂训练：

1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）

A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；

C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。

2、已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC

的形状为（）

A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不能确定

3、等腰Rt△ABC中，AB=AC,BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是。

4、已知线段a、b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形。

ab

六、选作题：

（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB、AC的垂直平分线的交点，求∠OCB的度数；

（2）如果将

（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；

（3）如果将

（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB的度数。

你发现了什么规律？

请证明；

（4）如果将

（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？

你又发现了什么？

学而不思则罔，本节课我的反思：

1.4角平分线

（1）

教师寄语：

成功的欢乐是一种巨大的学习动力

学习目标：

通过学习角平分线定理及逆定理的过程，掌握该定理及逆定理，并运用之进行证明、计算、作图，以及掌握该定理在三角形中的应用；

学习过程：

一、前置准备

角平分线的定义：

______________________________________

二、自主学习：

问题1：

还记得角平分线上的点有什么性质吗？

你是怎样得到的？

你能证明它吗？

定理归纳：

问题2：

你能写出这个定理的逆命题？

它是真命题吗？

如果是，你作证明它？

定理归纳：

三、合作交流：

（做一做）用尺规怎样做已知角的平分线呢？

并对自己的做法加以证明。

四、归纳总结：

1、角平分线的性质及判定的内容是什么？

2、如何用尺规作已知角的平分线？

五、例题解析：

如图，已知AD为△ABC的角

平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，

求证BE=CF

[解析]要证BE=CF，只需证△BDE≌△FDC

六、当堂训练：

1、如图在△ABC中AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，

PS⊥AC于S，则三个结论：

①AS=AR，②QP∥AR，

③△BRP≌△QSP中（）

A全部正确B：

仅①和②正确C：

仅①正确D：

仅①和③正确。

2、在△ABC中∠C=90°，∠A的平分线交BC于D，BC=CM，BD：

DC：

=4：

3，则点D到AB的距离为___________。

3、在RT△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，DE是是斜边AB的垂直平分线，且DE=1CM，则AC=_______________.

学习笔记：

课下训练：

1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）

A：

PD=PEB：

OD=OEC：

∠DPO=∠EPOD：

PD=OD

a）如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足

为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确

的是（）

A:

△AEG≌△AFGB:

△AED≌△AFD

C:

△DEG≌△DFGD:

△BDE≌△CDF

3、△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=

25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°

4、与相交的两直线距离相等的点在（）

A：

一条直线上B：

一条射线上

C：

两条互相垂直的直线上D：

以上都不对

5、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为____________。

6、在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________。

学而不思则罔，本节课我的反思：

1.4角平分线

（2）

教师寄语：

一份耕耘，一份收获

学习目标：

1、能够证明三角形的三条角平分线相交于一点这一定理。

并用它解决有关的几何证明问题.

学习过程：

一、前置准备：

三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？

作用呢？

二、自主学习：

如图：

设△ABC的角平分线BM、CN交于P，求证：

P点在∠BAC的平分线上

定理：

三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离。

引申：

三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=。

对应练习：

1、已知：

△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为。

2、到三角形三边距离相等的点是（）

A、三条中线的交点；B、三条高的交点；C、三条角平分线的交点；D、不能确定

三、合作交流；

例：

△ABC中，AC=BC,∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E。

（1）已知：

CD=4cm,求AC长

（2）

求证：

AB=AC+CD

四、归纳总结：

1、我的收获？

2、我不明白的问题？

五、当堂训练：

1、到一个角的两边距离相等的点在。

2、△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D,BC=21cm,BD:

DC=4:

3,则D到AB的距离为.

3、Rt△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC，DE⊥BC

于E，AB=8cm，则DE+DC=cm。

（3）

4、△ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O,则

∠BAO和∠CAO的大小关系为。

（4）

5、Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积

是。

6、已知：

OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM,AD⊥ON,BE⊥OM,BF⊥ON,垂足分别为C、D、E、F，且AC=AD求证：

BE=BF

7、已知：

如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。

求证：

点F在∠DAE的平分线上。

课下训练：

P37习题1、2、3

学而不思则罔，本节课我的反思：

第一章证明（Ⅱ）检测题

姓名＿＿＿＿＿＿

一、选择题（每小题3分，共30分）请将正确答案填在括号内.

1、在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（）

A、∠A=∠DB、∠C=∠FC、∠B=∠ED、∠C=∠D

2、下列命题中是假命题的是（）

A、两条中线相等的三角形是等腰三角形

B、两条高相等的三角形是等腰三角形

C、两个内角不相等的三角形不是等腰三角形

D、三角形的一个外角的平分线平行于这个三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形

3、如图，已知AB=AC，BE=CE，D是AE上的一点，