安徽省舒城一中届高三寒假模拟二数学理试题word版含答案.docx
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安徽省舒城一中届高三寒假模拟二数学理试题word版含答案
2018届高三数学（理）寒假模拟
（二）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，，若，则的值为（）
A．2B．-2C．-1或2D．2或
2．复数，，是虚数单位，若，则（）
A．1B．-1C．0D．
3.“二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为（）
A．5，15，10B．5，10，15C．10，10，10D．5，5，20
4．若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，若函数是奇函数，则函数的单调递增区间为（）
A.B.
C.D.
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：
“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（）
A.48里B.24里C.12里D.6里
6．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的（）
A.2B.3C.4D.5
7．下列说法正确的是（）
A.“若，则”的否命题是“若，则”
B.“若，则”的逆命题为真命题
C.，使成立
D.“若，则”是真命题
8．四面体的各条棱长都相等，为棱的中点，过点作与平面平行的平面，该平面与平面、平面的交线分别为，则所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
9.已知函数与，设，，若存在，使得，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
10．已知数列的前项和，若数列单调递减，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11．已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径作圆，再以为直径作圆，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
A．B．
C．D．
12．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，则下列判断中一定成立的是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：
本大题有4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，则；满足的实数的取值范围是．
14．三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，侧面三角形为等腰三角形，且腰长为，若，则三棱锥外接球表面积是__________．
15.已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为.
16．已知函数，．若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是.
三、解答题（本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）已知的内角满足．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
18．（本小题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
步数性别
0-2000
2001-5000
5001-8000
8001-10000
>10000
男
1
2
3
6
8
女
0
2
10
6
2
0.10
0.05
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
附：
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）在等腰梯形中，，将梯形沿着翻折至（如图），使得平面与平面垂直．
（1）求证：
；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：
的离心率为，直线l：
y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为，．
①求证：
为定值；②求△CEF的面积的最小值.
21．（本小题满分12分）已知函数，a，b∈R．
（1）当b=2a+1时，讨论函数的单调性；
（2）当a=1，b>3时，记函数的导函数的两个零点分别是和（<），求证：
>−ln2．
选做题（本小题满分10分），请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：
只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点P（－2，－4）的直线，（为参数）与曲线相交于两点．
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若成等比数列，求实数的值．
23.已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围．
模拟
（二）1-4:
ADAB5-8:
CDDB9-12:
CADC13．14．
15.16.
三、解答题
17．解：
（1）∵，∴
∴，，
（2），∵，，故的取值范围为
积极型
懈怠型
总计
男
14
6
20
女
8
12
20
总计
22
18
40
18．解：
（1）
故没有95%以上的吧我认为二者有关
（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，；
当或时，；
当或时，；
即的分布列为
0
1
2
可得期望
19．
（1）证明，不妨设，过作垂线交于，则，，，所以，所以，又因为平面与平面垂直，所以平面，所以
（2）建立如图坐标系，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则有，取
，，直线与平面所成角的正弦值为．
20.
（1）
（2）直线AC的方程为，由得，
解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得，所以．
②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，
令y＝2，得，而，
所以，△CEF的面积．
由得，则，
当且仅当取得等号，所以△CEF的面积的最小值为．
21．【解析】
（1）因为b=2a+1，所以=，
从而==，x>0．
当a0时，由>0得01，
所以在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
当00得0，由<0得1所以在区间（0，1）和区间（，+∞）上单调递增，
在区间（1，）上单调递减．
当a=时，因为0（当且仅当x=1时取等号），
所以在区间（0，+∞）上单调递增．
当a>时，由>0得01，由<0得所以在区间（0，）和区间（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减．
综上，当a0时，在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减；
当0当a=时，在区间（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；
当a>时，在区间（0，）和区间（1，+∞）上单调递增，在区间（，1）上单调递减．
（2）解法一 因为a=1，所以=（x>0），从而=，
由题意知，是方程=0的两个根，故．
记=，因为b>3，所以=<0，=3−b<0，
所以∈（0，），∈（1，+∞），且b=2+1，b=2+1，
=（−）−（b−b）+=−（−）+，
因为=，所以=−−ln
（2），∈（1，+∞）．
令=2∈（2，+∞），==．
因为当>2时，=>0，所以在区间（2，+∞）上单调递增，
所以>=−ln2，即>−ln2．
解法二：
因为a=1，所以=（x>0），从而=，
由题意知，是方程=0的两个根，故．
记=，因为b>3，所以=<0，=3−b<0，
所以∈（0，），∈（1，+∞），且在（，）上是减函数，
所以>）=（）−（1−b）=−+−ln2，
因为b>3，所以>−+−ln2>−ln2．（12分）
22．解：
（1）把代入ρsin2θ＝2acosθ，得y2＝2ax（a>0），
由（t为参数），消去t得x－y－2＝0，
∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2ax（a>0），x－y－2＝0.
（2）将（t为参数）代入y2＝2ax，整理得t2－2（4＋a）t＋8（4＋a）＝0.
设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝2（4＋a），t1·t2＝8（4＋a），
∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴（t1－t2）2＝（t1＋t2）2－4t1·t2＝t1·t2，
∴8（4＋a）2－4×8（4＋a）＝8（4＋a），∴a＝1.
23.解：
（1）当a＝－2时，不等式f（x）设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则
其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x∈（0，2）时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0（2）当x∈时，f（x）＝1＋a.不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．故－≥a－2，即a≤.从而a的取值范围是.
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