中考综合型问题集四.docx

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中考综合型问题集四

91．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－

x2＋16与x轴正半轴交于点F、与y轴正半轴交于点E，边长为8的正方形ABCD的边CD在x轴上，且顶点C与点F重合，抛物线与边AB交于点P．

（1）求点F、点P的坐标；

（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．当P、Q分别经过AB、CD的三等分点时，设点A的坐标为（m，n）（m＞0），求m的值；

（3）当正方形ABCD左右平移时，抛物线始终与边AB交于点P，且同时与边CD交于点Q，设点A的坐标为（m，n）（m＞0），求m的取值范围．

92．已知抛物线y＝－

（x－2）2＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，顶点为D，DE⊥x轴于点E，DA交y轴于点F，sin∠DOE＝

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过E点的直线与y轴相交于点P，过O、D两点作直线PE的垂线，垂足分别为G、H，若

＝

，求点P的坐标；

（3）点A关于y轴的对称点为A′，Q为抛物线上一动点，直线FQ交x轴于点K．是否存在这样的点Q，使△AFK与△AA′D相似？

若存在，求出所有符合条件的直线QK的解析式；若不存在，请说明理由．

93．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点A（－3，0），B（1，0），与y轴负半轴交于点C，sin∠OBC＝

，点D的坐标为（0，－9）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点E在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，四边形ABCE是以AB为一底边的梯形，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，过点E作直线EF⊥x轴于F，直线EF与线段AD相交于点G．问：

在二次函数的图象上是否存在点P，使直线PG与y轴相交所成的锐角等于梯形ABCE的底角？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

94．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，AO＝AB，点B坐标为（10，0），过原点O的抛物线，又过点A和G，点G坐标为（7，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）边OB上有一动点T（t，0）（T不与点O、B重合），过点T作OA、AB的垂线，垂足分别为C、D．设△TCD的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）已知M（2，0），过点M作MK⊥OA，垂足为K，作MN⊥OB，交OA于点N．在线段OA上是否存在一点Q，使得Rt△KMN绕点Q旋转180°后，点M、K恰好落在

（1）中所求抛物线上，若存在，请求出点Q和抛物线上与M、K对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

95．如图，点M坐标为（－4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、B两点，与y轴交于点C（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D（m，

）（m＜0）是抛物线y＝

x2＋bx＋c上一点，点P是抛物线对称轴上的一个动点，求PB＋PD的最小值；

（4）CE切⊙M于点E，且点E在第三象限．在抛物线上是否存在一点Q，使△QOC的面积等于△EOC的面积？

若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

96．抛物线y＝ax2＋2x＋3（a＜0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为D，连接BD并以BD为直径作⊙M．

（1）写出抛物线的对称轴及C、D两点的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）当a＝－1时，判断⊙M是否经过点C，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，点P是抛物线上任意一点，过P作对称轴的垂线，垂足为Q．那么是否存在这样的点P，使△PQD与以B、C、D为顶点的三角形相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

97．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请直接写出点P的坐标；

（3）连接AC．探索：

在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？

若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

98．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，－3），顶点为D（－1，－4），连接AC、CD．

（1）求抛物线的解析式；

（2）试在x轴上找一点E，使∠CED最大，求点E的坐标；

（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点P，使以A、C、P、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

99．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过A（3，0）、B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．

（1）若点P在第四象限，连接AM、BM，当△ABM的面积最大时，求△ABM的AB边上的高；

（2）若四边形PMBO为等腰梯形，求点P的坐标

（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

100．如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝

x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积；

（3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．

问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？

如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

101．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，

）．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；

（3）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），分别连结AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？

若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

102．如图，已知直线y＝－

x＋2与抛物线y＝a（x＋2）2相交于A、B两点，与x轴相交于C点，点B在y轴上，D为抛物线的顶点．P为线段AB上一个动点（点P不与A、B重合），过P点作x轴的垂线与抛物线交于Q点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设直线与抛物线的对称轴交于点E，如果以P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，求点P的坐标；

（3）连接QD，探究四边形PQDE的形状：

①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？

如果能，求点P的坐标；如果不能，请说明理由．

103．已知抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求A、B的坐标；

（2）过点D作DH⊥y轴于点H，若DH＝HC，求a的值和直线CD的解析式；

（3）在

（2）的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M，使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

104．如图，半径为1的⊙M经过直线坐标系的原点O，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B，∠OMA＝60°，过点B的切线交x轴负半轴于点C，抛物线经过点A、B、C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）求抛

物线的函数关系式；

（3）若点D为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点D，使得△BCD是等腰三角形？

若存在，求出符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

105．已知抛物线y＝

（x－2）（x－2t－3）（t＞0）与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且△ABC的面积为

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设l为过点B且经过第一、二、四象限的一条直线，过原点O的直线与l交于点E，与以AC为直径的圆交于点D，若△OAD∽△OEB，求直线l的解析式；

（3）在

（2）的条件下，若点Q为直线l上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使得以P、Q、A、C四点为顶点的四边形为菱形？

若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

106．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）、B（5，0），与y轴交于点C，顶点的纵坐标为4．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△ABC的外接圆⊙M与y轴的另一交点为D，⊙M的弦DE∥x轴，求直线CE的解析式；

（3）在x轴上是否存在点F，使以O、C、F为顶点的三角形与△CDE相似？

若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙M的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由．

107．如图，抛物线y＝ax2＋bx经过点A（－4，0）、B（－2，2），连接OB、AB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求证：

△OAB是等腰直角三角形；

（3）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上.

（4）在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形ABOM成直角梯形，若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由．

108．九

（1）班数学课题学习小组为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：

（1）实践：

他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如

图②所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式．

（2）应用：

按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？

（3）探究：

该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：

Ⅰ．如图③，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上．顶点A、B落在x轴上．设矩形A

BCD的周长为l，求l的最大值．

Ⅱ．如图④，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂

线交抛物线于点Q．问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？

若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

109．已知抛物线y＝

x2－mx＋2m－

．

（1）试说明：

无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）如图，当该抛物线的对称轴为直线x＝3时，抛物线的顶点为点C，直线y＝x－1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．

①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

110．如图，在直角坐标

系中

，点P的坐标为（n，0）（n＞0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过原点O和点P，正方形ABCD的三个顶点为A（2，2），B（3，2），D（2，3）．

（1）求c、b的值并写出抛物线对称轴及y的最大值（用含有n的代数式表示）；

（2）求证：

抛物线的顶点在函数y＝x2的图象上；

（3）若抛物线与直线AD交于点N，求n为何值时，△NPO的面积为1；

（4）若抛物线经过正方形区域ABCD（含边界），请直接写出n的取值范围．

111．如图，已知抛物线经过原点O和点A，点B（2，3）是该抛物线对称轴上一点，过点B作BC∥x轴交抛物线于点C，连接BO、CA，若四边形OACB是平行四边形．

（1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）设抛物线的顶点为D，试在线段AC上找出这样的点P，使△PBD是等腰三角形，求点P的坐标；

（3）经过点D的直线把平行四边形OACB的面积分为1:

3两部分，求该直线的函数关系式．

112．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD

的边长为

，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（－1，0），C、D两点在抛物线y＝

x2＋bx＋c上．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒

个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B1点，试判断B1点是否在抛物线上，并说明理由；

（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A2B2C2D2，A2点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离．

113．如图1，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．

（图2、图3供画图探究）

114．如图，直线y＝x－3与x轴、y轴分别相交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点为A，顶点为D，且对称轴是直线x＝1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若平行于x轴的直线y＝m与△BCD的外接圆有公共点，求m的取值范围；

（3）点P是线段BC上的动点，过点P作x轴的垂线，交折线C－D－B于点E，将△BCD沿直线PE向右翻折．设点P的横坐标为x，翻折后的图形与△BCD重叠部分的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值；

（4）在抛物线上是否存在点M，使∠AMB＝∠CBD？

若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

115．如图，已知抛物线经过点A（4，0）、B（3，2）、C（0，4），BD⊥y轴，垂足为D．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）点P从点B出发，沿折线B→D→C以每秒1个单位的速度运动，过点P作PE⊥DB，交抛物线于E，点F是x轴上一点，且始终保持∠PFA＝45°．设点P的运动时间为t（秒），△PEF的面积为S（平方单位）．

①求S关于t的函数关系式；

②当t为何值时，S有最大值，并求这个最大值；

③在S取得最大值时，判断以EF为对角线的平行四边形QEPF的顶点Q是否在

（1）中的抛物线上，并说明理由．

116．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限，且AB＝3

，cos∠OAB＝

，点B关于x轴的对称点为点C，一条抛物线经过O、C、A三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在第一象限的抛物线上是否存在点P，使以点P、O、C、A为顶点的四边形是梯形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O、A分别变换为点E（－4m，0）、F（6m，0）（m为常数且m＞0），设过E、F两点且以EF的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为G，其顶点为D，求S△EGD:

S△EGF的值．

117．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别是（0，1）和（1，0），P是线段AB上的一动点（不与A、B重合），坐标为（m，1－m）（m为常数）．

（1）求经过O、P、B三点的抛物线的解析式；

（2）当P点在线段AB上移动时，过O、P、B三点的抛物线的对称轴是否会随着P的移动而改变？

请说明理由；

（3）当P点移动到（

，

）时，请你在过O、P、B三点的抛物线上至少找出两点，使每个点都能与P、B两点构成等腰三角形，并求出这两点的坐标．

118．孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝ax2（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

（1）若测得OA＝OB＝2

（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过BF作BF⊥x轴于点F，测得OF＝1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；

（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

119．如图，直线y＝3x＋3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点E的坐标为（1，－2），点M是抛物线上一点（D点除外），且△MOE的面积与△DOE的面积相等，求M点坐标；

（3）若点P是抛物线的对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、A、B为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

120．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A坐标为（1，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，C为x轴正半轴上的一个动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，直线DA交y轴于E点．

（1）如图，当C点在x轴上运动时，设AC＝x，请用x表示线段AD的长；

（2）随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？

若变化，请说明理由；若不变，请求出直线AE的解析式．

（3）以线段BC为直径作圆，圆心为点F，当C点运动到何处时直线EF∥直线BO？

此时⊙F和直线BO的位置关系如何？

请说明理由．

（4）G为CD与⊙F的交点，H为直线DF上的一个动点，连结HG、HC，求HG＋HC的最小值，并将此最小值用x表示．