第1讲 机械振动.docx

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第1讲机械振动

第1讲机械振动

【考试说明】

知识点

要求

考向解读

简谐运动、简谐运动的表达式和图象

Ⅰ

1.简谐运动的描述，振幅、周期、频率、相位及表达式x＝Asin（ωt＋φ）的考查

2.简谐运动的位移、回复力、速度、加速度、能量的变化规律

3.弹簧振子和单摆模型，单摆周期公式

4.实验：

利用单摆测定当地重力加速度

5.振动图象理解和应用

单摆的周期与摆长的关系（实验、探究）

Ⅰ

受迫振动和共振

Ⅰ

【自主学习】

典例研析

类型一：

简谐运动的规律与应用

【例1】有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过1/4周期振子有正向最大加速度．

（1）求振子的振幅和周期；

（2）在图中作出该振子的位移—时间图象；

（3）写出振子的振动方程

基础整合

一、简谐运动

1.概念：

如果质点所受的力与它，并且总指，质点的运动说是简谐运动

2.简谐运动的描述

（1）描述简谐运动的物理量

①位移x：

由指向的有向线段表示振动位移，是矢量.

②振幅A：

振动物体离开平衡位置的，是标量，表示振动的强弱.

③周期T和频率f:

做简谐运动的物体完成所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成；它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系.

平衡位置：

物体原来静止的位置．物体振动经过平衡位置时处于平衡状态，如单摆（恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置）

回复力：

使振动的物体返回的力叫做回复力，回复力总指向平衡位置，是以命名的力，它是振动物体在方向上的合外力．

（2）简谐运动的表达式

动力学表达式：

F=-kx

运动学表达式：

x=Asin（ωt+φ）

（3）简谐运动的图象

①物理意义：

表示振子的随变化的规律，为曲线.

②从平衡位置开始计时，函数表达式为

从最大位移处开始计时，函数表达式为

3.简谐运动的能量

简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与有关，越大，能量越大.

针对训练：

1－1：

一质点简谐运动的振动图象如图所示．

（1）该质点振动的振幅是________cm.周期是________s．初相是________．

（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t＝1s时质点的位移．

1－2　如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：

（1）从计时开始经过多长时间第一次达到弹性势能最大？

（2）在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、

速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

（3）该振子在前100s的总位移是多少？

路程是多少？

典例研析

类型二：

受迫振动与共振

【例2】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速运动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则

（1）稳定后，物体振动的频率f=Hz.

（2）欲使物体的振动能量最大，需满足什么条件？

（3）利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提问题的物理道理.

“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无结头”.

基础整合

二、受迫振动和共振

1.受迫振动：

物体在作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）关.

2.共振：

做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者时，振幅达到最大，这就是共振现象.

共振曲线如图

针对训练：

2-1如图所示，是一个单摆的共振曲线（g取10m/s2）

（1）求此单摆的摆长？

（2）若增大摆长,共振曲线的峰值向左移还是向右移?

典例研析

类型三：

单摆

【例3】图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少？

基础整合

三、单摆

1、构造：

一根绳子上端固定，下端系着一个球。

物理上的单摆（单摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。

2．单摆的回复力：

3．单摆振动是简谐运动

特征：

。

但这个回复力的得到并不是无条件的，一定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有这个特征。

这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

条件：

摆角α＜5°。

4．单摆的周期

同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜5°。

条件：

摆角α＜5°

5、等效摆长问题：

两个图的周期分别为：

T1=T2=

6、等效重力加速度问题：

①将一个摆长为

的单摆放在一个光滑的，倾角为

的斜面上，其摆角为

，如图。

A．摆球做简谐运动的回复力为：

B．摆球做简谐运动的周期为：

C．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为：

②将单摆放在加速上升的电梯中则周期为T=

7、简谐运动的两种基本模型

弹簧振子（水平）

单摆

模型示意图

条件

忽略弹簧质量、无摩擦等阻力

细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小

平衡位置

弹簧处于原长处

最低点

回复力

弹簧的弹力提供

摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力

周期公式

T=2π（不作要求）

T=2π

能量转化

弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒

重力势能与动能的相互转化，机械能守恒

针对训练：

3－1　如图所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫

.甲球从弧

形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：

（1）两球第1次到达C点的时间之比．

（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

典例研析

类型四：

实验探究

【例4】将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外）,如图甲所示,将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放,设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁,如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L,并通、过改变L而测出对应的摆动周期T,再以T2为纵轴L为横轴作出函数关系图象,那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.

（1）现有如下测量工具:

A.时针;B.秒表;C.天平;D.毫米刻度尺.本实验所需的测量工具有.

（2）如果实验中所得到的T2-L关系图象如图乙所示,那么真正的图象应该是a、b、c中的.

（3）由图象可知,小筒的深度h=m;当地的重力加速度g=m/s2.

基础整合

四、实验：

用单摆测重力加速度

（1）实验目的：

__________________________________。

（2）实验器材：

___________________________________________________________。

（3）实验原理：

___________________________________________________。

（4）实验步骤：

注意事项：

①选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2cm。

②单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。

③注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不超过5°，可通过估算振幅的办法掌握（如：

摆长1m，振幅约8cm）。

④释放摆球时，不能有横向作用，以免形成锥摆。

⑤计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时。

以后摆球从同一方向通过最低位置时，进行计数。

⑥测摆长时，一定要从球心算起。

测量周期应测量30-50个全振动的时间，求平均值。

针对训练：

4-1在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g=____________．如果已知摆球直径为2.00厘米，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图3所示，那么单摆摆长是_______，如果测定了40次全振动的时间如图4中秒表所示，那么秒表读数是_______秒，单摆的摆动周期是________秒．

针对训练

一、选择题

1．（上海市卢湾区2011届高三上学期期末考试）甲、乙两人观察同一单摆的振动，甲每经过2.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在其平衡位置处；乙每经过3.0s观察一次摆球的位置，发现摆球都在平衡位置右侧的最高处，由此可知该单摆的周期不可能是（）

（A）0.25s（B）0.5s（B）0.5s

（C）1.0s（D）1.5s（D）1.5s

2．（北京市西城区2011届高三第一学期期末考试）振源A带动细绳上各点上下做简谐运动，t=0时刻绳上形成的波形如图所示。

规定绳上质点向上运动的方向为x轴的正方向，则P点的振动图象是

3．（上海市奉贤区2011届高三12月调研测试试卷）如图所示，乒乓球上下振动，振动的幅度愈来愈小，关于乒乓球的机械能下列说法中正确的是（）

（A）机械能守恒（B）机械能增加

（C）机械能减少（D）机械能有时增加，有时减少

4.（湖北省松滋一中城南校区2011届高三物理复习单元卷）如图所示是一个单摆做受迫振动时的共振曲线，表示振幅A与

驱动力的频率f的关系，下列说法正确的是（）

A.摆长约为10cm

B.摆长约为1m

C.若增大摆长，共振曲线的“峰”将向右移动

D.若增大摆长，共振曲线的“峰”将向左移动

5．（上海市徐汇区2011届高三物理第一次联考）在同一地点的两个单摆做简谐运动的图像如图所示，则由图可知，两单摆的（）

（A）摆长一定相等

（B）摆球质量一定相等

（C）摆动的最大偏角一定相等

（D）摆球同时改变速度方向

6.（2010南通通州）下列说法中正确的是▲

A．小球在左右对称的两个斜面上来回滚动属于简谐运动

B．拍皮球时，皮球的上下往复运动属于简谐运动

C．简谐运动回复力的方向总是指向平衡位置

D．弹簧振子做简谐运动，振幅4cm时周期为2s，则振幅2cm时周期为1s

7.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。

不开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15s；在某电压下，电动偏心轮的转速是88r/min。

已知增大电动偏心轮的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期。

为使共振筛的振幅增大，以下做法正确的是

A．降低输入电压B．提高输入电压

C．增加筛子质量D．减小筛子质量

8.如图所示，在一根张紧的水平绳上，悬挂有a、b、c、d、e五个单摆，让a摆略偏离平衡位置后无初速释放，在垂直纸面的平面内振动；接着其余各摆也开始振动。

下列说法中正确的有：

（）

A．各摆的振动周期与a摆相同

B．各摆的振幅大小不同，c摆的振幅最大

C．各摆的振动周期不同，c摆的周期最长

D．各摆均做自由振动

二、填空题

9.（盐城2010第二次调研）如图所示为一单摆，当小球从最低点向右摆动开始计时，经1s又第一次回到最低点O，单摆振幅为5cm。

令向右的方向为正方向，则摆球做简谐运动的位移随时间变化的关系表达式为▲。

10.（2010伍佑中学考前模拟）如图是一个单摆的共振曲线．此单摆的固有周期T是___▲_____S，若将此单摆的摆长增大，共振曲线的最大值将___▲_____（填“向左”或“向右”）移动．

11.（2010镇江考前模拟）有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2～L图像，如图甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是▲（选填“A”或“B”）．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图像（如图乙所示），由图可知，两单摆摆长之比

▲．

12.（湖北省松滋一中城南校区2011届高三物理复习单元卷）

（1）为研究滑块的运动，选用滑块、钩码、纸带、毫米刻度尺、带滑轮的木板、以及由漏斗和细线构成的单摆等组成如图所示的装置，实验中，滑块在钩码作用下拖动纸带做匀加速直线运动，同时让单摆垂直于纸带运动方向做小摆幅摆动，漏斗可以漏出很细的有色液体，在纸带上留下的痕迹记录了漏斗在不同时刻的位置，如图所示

①漏斗和细线构成的单摆在该实验中所起的作用与下列哪个仪器相同？

________（填写仪器序号）

A.打点计时器B.秒表

C.毫米刻度尺D.电流表

②如果用该实验装置测量滑块

加速度，对实验结果影响最大

的原因是：

________________

___________

（2）在探究单摆周期与摆长关系的实验中，

①关于安装仪器及测时的一些实验操作，下列说法中正确的是。

（选填选项前面的字母）

A．用米尺测出摆线的长度，记为摆长

B．先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长

，再将单摆悬挂在铁架台上

C．使摆线偏离竖直方向某一角度

（接近5°），然后静止释放摆球

D．测出摆球两次通过最低点的时间间隔记为此单摆振动的周期

②实验测得的数据如下表所示。

次数

1

2

3

4

5

摆长l/cm

80.00

90.00

100.00

110.00

120.00

30次全振动

时间t/s

53.8

56.9

60.0

62.8

65.7

振动周期T/s

1.79

1.90

2.00

2.09

2.19

振动周期

的平方T2/s2

3.20

3.61

4.00

4.37

4.80

请将笫三次的测量数据标在图中，并在图中作出T2随

变化的关系图象。

③根据数据及图象可知单摆周期的平方与摆长的关系是。

④根据图象，可求得当地的重力加速度为m／s2。

（结果保留3位有效数字）

三、计算题

13.如图所示，一块质量为2kg、涂有碳黑的玻璃板，在拉力F的作用下竖直向上做匀变速直线运动．一个频率为5Hz的振动方向为水平且固定的振针，在玻璃板上画出了如图所示的图线，量得OA=1cm，OB=4cm，OC=9cm．求拉力F的大小．（不计一切摩擦阻力，取g=10m/s2）

第1课时机械振动

【考试说明】

知识点

要求

考向解读

简谐运动、简谐运动的表达式和图象

Ⅰ

1.简谐运动的描述，振幅、周期、频率、相位及表达式x＝Asin（ωt＋φ）的考查

2.简谐运动的位移、回复力、速度、加速度、能量的变化规律

3.弹簧振子和单摆模型，单摆周期公式

4.实验：

利用单摆测定当地重力加速度

5.振动图象理解和应用

单摆的周期与摆长的关系（实验、探究）

Ⅰ

受迫振动和共振

Ⅰ

【自主学习】

典例研析

类型一：

简谐运动的规律与应用

【例1】有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20cm，振子在2s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时（t＝0），经过1/4周期振子有正向最大加速度．

（1）求振子的振幅和周期；

（2）在图中作出该振子的位移—时间图象；

（3）写出振子的振动方程

解析：

（1）振幅A＝10cm，T＝

＝0.2s.

（2）四分之一周期时具有正的最大加速度，故有负向最大位移．如右图所示

（3）设振动方程为y＝Asin（ωt＋φ）

当t＝0时，y＝0，则sinφ＝0

得φ＝0，或φ＝π，当再过较短时间，y为负值，所以φ＝π

所以振动方程为y＝10sin（10πt＋π）cm

答案：

（1）10cm　0.2s　

（2）如解析图

（3）y＝10sin（10πt＋π）cm

基础整合

一、简谐运动

1.概念：

如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总指向平衡位置，质点的运动说是简谐运动

2.简谐运动的描述

（1）描述简谐运动的物理量

①位移x：

由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段表示振动位移，是矢量.

②振幅A：

振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱.

③周期T和频率f:

做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数；它们是表示振动快慢的物理量.二者互为倒数关系.

平衡位置：

物体原来静止的位置．物体振动经过平衡位置时不一定处于平衡状态，如单摆（恢复力为零的位置，并非合外力为零的位置）

回复力：

使振动的物体返回平衡位置的力叫做回复力，回复力总指向平衡位置，是以效果命名的力，它是振动物体在振动方向上的合外力．

（2）简谐运动的表达式

动力学表达式：

F=-kx

运动学表达式：

x=Asin（ωt+φ）

（3）简谐运动的图象

①物理意义：

表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦（或余弦）曲线.

②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=Asinωt

图象如图

从最大位移处开始计时，函数表达式为x=Acosωt

图象如图

3.简谐运动的能量

简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能守恒，振动能量与振幅有关，振幅越大，能量越大.

针对训练：

1－1：

一质点简谐运动的振动图象如图所示．

（1）该质点振动的振幅是________cm.周期是________s．初相是________．

（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当t＝1s时质点的位移．

解析：

（1）由质点振动图象可得A＝8cm，T＝0.2s，φ＝

.

（2）ω＝

＝10πrad/s.质点简谐运动表达式为x＝8sin（10πt＋

），

当t＝1s时，x＝8cm.

答案：

（1）8　0.2　

（2）x＝8sin（10πt＋

）cm　8cm

1－2　如图所示为一弹簧振子的振动图象，求：

（1）从计时开始经过多长时间第一次达到弹性势能最大？

（2）在第2s末到第3s末这段时间内弹簧振子的加速度、

速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？

（3）该振子在前100s的总位移是多少？

路程是多少？

解析：

（1）由图知，在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置O，此时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐加大，经t＝

＝1s，其位移达到最大，此时弹性势能最大．

（2）由图知，在t＝2s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移大小不断加大，加速度的大小也变大，速度大小不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的大小达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．

（3）振子经一周期位移为零，路程为5×4cm＝20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子位移s＝0，振子路程s′＝20×25cm＝500cm＝5m.

答案：

（1）1s

（2）位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．

（3）0　5m

典例研析

类型二：

受迫振动与共振

【例2】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动.匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动.把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期.若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示.当把手以某一速度匀速运动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示.若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则

（1）稳定后，物体振动的频率f=Hz.

（2）欲使物体的振动能量最大，需满足什么条件？

（3）利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提问题的物理道理.

“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无结头”.

解析

（1）由丙图可知，f=1/T=1/4Hz=0.25Hz.

（2）物体振动能量最大时，即振幅最大，故应发生共振，所以应有T=T0=4s.

（3）若单节车轨非常长，或无结头，则驱动力周期非常大，从而远离火车的固有周期，即火车的振幅较小.以便来提高火车的车速.

答案

（1）0.25

（2）（3）见解析

基础整合

二、受迫振动和共振

1.受迫振动：

物体在周期性驱动力作用下的振动.做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关.

2.共振：

做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象.

共振曲线如图

针对训练：

2-1如图所示，是一个单摆的共振曲线（g取10m/s2）

（1）求此单摆的摆长？

（2）若增大摆长,共振曲线的峰值向左移还是向右移?

解析

（1）由单摆的共振曲线知,当驱动力的频率为0.3Hz时单摆发生共振,因此单摆的固有频率为0.3Hz,固有周期为T0=10/3s;由T=2π得单摆的摆长l为l=≈2.8m.

（2）当摆长增大时，周期变大，固有频率变小，曲线的峰值应向左移.

典例研析

类型三：

单摆

【例3】图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图象．根据图象回答：

（1）单摆振动的频率是多大？

（2）开始时刻摆球在何位置？

（3）若当地的重力加速度为10m/s2，试求这个摆的摆长是多少？

基础整合

三、单摆

1、构造：

一根绳子上端固定，下端系着一个球。

物理上的单摆（单摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。

2．单摆的回复力：

3．单摆振动是简谐运动

特征：

回复力大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反。

但这个回复力的得到并不是无条件的，一定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有这个特征。

这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

条件：

摆角α＜5°。