李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社doc.docx

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李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社doc

第一章绪论

近似值/的相对误差为6二

1.设x>O,x的相对误差为求lnx的误差。

解:

而lnx的误差为e（lnx*）=lnx*-lnx=

2.设x的相对误差为2%,求疋的相对误差。

解：

设〃）“，则函数的条件数为C严鬻I

Y.J2X斤_]

又Tf\x）=nxn~l,・••C=1:

——-——1=n'n

又•••Er（（x*）n）-Cp・£r（x*）

且牛（兀*）为2

3.下列备数都是经过四舍血入得到的近似数,

即误并限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字:

x；=LIO21,x；=O.O31,x；=385.6,x*=56.430,x；=7x1.0.

解：

x；=U02l是五位有效数字;

x：

=0.031是二位有效数字:

jc；=385.6是四位有效数字;

兀=56.430是五位有效数字;

x；=7x1.0.是二位有效数字。

4.利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：

⑴X；+£+%；,

（2）心;兀；,（3）兀;/£.

其中x；,x；,x；,x：

均为第3题所给的数。

解：

£（＜）=-X10-4£（X2）=-XlO_3£（x；）=丄xio"

£（x*）=ixlO-3

^x；）=ixlO-*

（1）£（X：

+X；+X；）

=£（X*）+£（X*）+£（X*）

=-xi（r4+-xio'3+-xio-3

222

=1.05x10—3

（2）心x；k；）

=X：

X；|£（X；）+|x；x；|£（X：

）+卜:

X；卜（X；）

x|x10-4+|M021x385.6|x|x10-3

=11」021x0.03l|xixio_l+10.031x385.6

-0.215（3）£（x；/x；）

〜X；£（x*）+|x*|£（x*）

0.03lx-xlO-3+56.430x-xlO'3

=22

56.430x56.430

=I0^5

5计算球体积要使相对误养限为I,问度最半径R时允许的相对误茅限毘多少?

解：

球体体积为V=-ttR>

则何种函数的条件数为

R4ttR

/.£r（V*）7$（/?

*）=3耳（/?

*）

Xv（y*）=l

故度量半径聊允许的相对误差限为曲pxy

6・

设人=28,

按递推公式匕=匕_厂需朋

（n=12…）

计算到匕）0。

若取V783-27.982（5位有效数字），试问计算匕磁将有多大误羞?

若取V783-27.982,aYl00=Y0-27.982

...£%）=£（$）+£（27.982）=-X10-3

.•・％的误差限为-xl0~\

7.求方程x2-56x+\=0的两个根，使它至少具有4位有效数字=27.982）。

解：

x_—56x+1=0,

故方稈的根应为札=28±V783

故x,=28+^783«28+27.982=55.982

%,具有5位有效数字

无具有5位有效数字

8.当N充分大时，怎样求匸勺一^/兀？

N1IA

fN+11

解r（lx=arctan（A^+1）-arctanN

）N1+X2

设a=arclan（N+l）,0=arctanN。

则tanflf=y+1,tan0=N.

rN+i1

-dx

*1+jr

-a-p=arctan（tan（af-/7））

=arctan

tancr-tan0

1+伽atan0

=arctan

N+l—N

1+（N+1）N

=arctan—；

M+N+l

9.正方形的边长人约为了100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1M?

解:

正方形的面积函数为A（x）=X2•••£（A*）=2A*£（X*）.

当疋=100时，若£（"）51,

故测量屮边长误差限不超过0.005cm时，才能使其面积误差不超过\cnr

10.设S=-^r,假定g是准确的，而对t的测量有±0」秒的误差，证明当t增加时S的绝对误旁增加，而相对误旁却减少。

•••F（S*）=gt2f（/*）

当t*增加时，s*的绝对误差增加

£（S*）

汕）=|s*二押£（/*）

11•序列｛儿｝满足递推关系儿=10儿_]-1（n=l,2,…）,

若儿=血=1.41（三位有效数字），计算到九时误差有多大？

这个计算过程稳定吗?

解:

y0=>/2«1.41

•"（儿*）=*1°-2

又•••儿i°儿_1一1

••x=1°儿一1

••£（必*）=10£（儿*）

••f（y2*）=10£（曾）

••£（y2*）=10£（y0*）

・••^（yio*）=lo,Of（yo*）=10限丄X10-2

=-xl08

计算到Mo时误差为|xio\这个计算过程不稳定。

12•计算/=（V2-1）6,取V2-1.4,利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好?

99-70^2。

心）…6岛X）

=2.53/e（x）

若通过（3-2血）3计算y值，则e（y4）=|-3x2x（3-2x'）2e（x*）

_3-2x*

才E（x）

=30yt（F）

若通过

]

（3+2V2）3

计算y值,

£（/）=--3xe（x）

（3+2xr

=6x!

—y'e（x'）

（3+2x）八

=1.0345/e（/）

通过——]~r-7计算后得到的结果最好。

（3+2V2）3

问求对数时误养有多

13./•（力="（兀一丁^匸1）,求/（30）的值。

若开平方用6位函数表,

人？

若改用另一等价公式。

ln（x--1）=-ln（x+-1）

计算，求对数时误差有多大？

解

/（x）=\n（x-y/x2-1）,/（30）=ln（30-V899）

^w=V899,y=/（30）

则/=29.9833

.•.£（“）=—X10-4

故

£（/）

30—w

0.0167

=3x10-

若改用等价公式

ln（x-Vx2-1）=-ln（x+Vx2-1）

则/（30）=-ln（30+>/899）

此时，

30+7

£（/）

59.9833

・咖）

=8x10“

第二章插值法

1.当x=h-l,2时，/（x）=0,—3,4,求/（x）的二次插值多项式。

解:

X。

=1，X]=—1,x2=2，f（X。

）=0,/（xJ=-3,f（x2）=4;

（x-xl）（x-x2）=_1t2

（x0-x,）（x0-x2）2

/w=（x-x0）（x-x2）=l（x_1）（x_2）（再一兀））（石一花）6

z（x）=（x-XoXx-x.）=l（x_1）（x+1）

〜（x2-x0）（x2-X!

）3

则二次拉格朗口插值多项式为

厶（x）=£m（x）

k=0

=—3/q（x）+41（x）=-|（x-l）（x-2）+^（x-l）（x+i）

2.给出f（x）=\nx的数值表

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

lnx

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.356675

-0.223144

川线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。

解：

由表格知，

X。

=0・4,X]=0.5/2=°・6,3=0.7,x4=0.8;f（xQ）=-0.916291,/（%,）=-0.693147/（x2）=-0.510826,/（x3）=-0.356675/（x4）=-0.223144

若采用线性插值法计算In0.54即/（0.54）,

则0.5<0.54<0.6

I、（x）=—~~—=-10（x-0.6）

X]—x2

厶（兀）==-10（x-0.5）

厶（兀）二/（%!

）/）（%）+f（x2）l2（x）

=6.93147（x-0.6）-5.10826（x一0.5）

•・•厶（0.54）=-0.6202186=-0.620219

若采川二次插值法计算In0.54时,

的=吕賤=50（「0.5）（76）

（尤_兀）（尤_尤2）

-xQ）（x}-x2）

=-100（x-0.4）（x-0.6）

Z2（x）=

=50（x-0.4）（x-0.5）

（乂_兀）（/_召）

（x2-xQ）（x2-x{）

厶（x）=/（Xo"o（x）+/3"iW+/（x2）Z2（x）

=-50x0.91629l（x-0.5）（x-0.6）+69.3147（x-0.4）（x-0.6）-0.510826x50（x-0.4）（j-0.5）

•••厶（0.54）=-0.61531984«-0.615320

«■»

3.给全cosx,0°

=f=（l/60）\若函数表具有5位有效数字，研

究用线性插值求cos兀近似值时的总误差界。

解：

求解COSX近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，X是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过稈屮产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0,也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

0°

令/（x）=cosx

^xo=O,/z=（—）°=—x—=^-0606018010800

令Xj=X。

+ih,i=0,1,...,5400

则X5400=-=90

当XE[xk1Xk_}]时，线性插值等项式为

厶（x）=/（兀）

+/（g）

插值余项为

（%）=|cosx-厶（x）|=

又•••在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosxe[0j],故计算中有误差传播过程。

•••玖厂（忑））=\12

E（f（Xk））-^-^1+L（/*（和））'母一林+1丨|母+1一母

Wg）（兰二沁

林一H+1

=2（忑））-（"+]_X+X_耳）

之（八忑））

•・•总误并界为

R=（x）+R2（x）

=#（一cosg）（x—旺）（x—电+]）+£（/"（“））弓x（r）（D+g））<\（卯）2+£（八无））

=1.06x10^+-X10'5

=0.50106xl0-5

4.设为互异节点，求证：

（1）£x：

lj（x）三X*伙=0,!

•••,«）；

（2）£（®-x）乜（x）三0（£=0,1,…，川）;

7=0

证明

（1）令/（X）=xk

若插值节点为=0丄…/,则函数/（x）的〃次插值多项式为LnM=X^j

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