沪科版数学九年级上册231 锐角的三角函数.docx

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沪科版数学九年级上册231锐角的三角函数

第23章　解直角三角形

23．1　锐角的三角函数

第1课时　锐角的三角函数

教学目标

【知识与技能】

1．了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比．

2．理解坡度的概念，并能够计算坡面的坡度．

【过程与方法】

通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．

【情感、态度与价值观】

1．通过学习培养学生的合作意识．

2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．

重点难点

【重点】

锐角三角函数的概念，坡比的概念．

【难点】

锐角三角函数概念的理解．

教学过程

一、创设情境，导入新知

师：

高架桥的起始一段有倾斜的部分，这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢？

学生思考．

二、共同探究，获取新知

1．正切的概念．

教师多媒体课件出示：

如图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面AB和A1B1哪个更陡？

你是怎样判断的？

生：

A1B1更陡．

师：

你是怎样判断的呢？

生甲：

这两个中同样是100的一段，对应的高度A1B1上升得多．

生乙：

（2）倾斜得厉害．

教师多媒体课件出示：

师：

这个图里，你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗？

学生观察后回答：

A1B1更陡．

教师质疑，学生思考、交流．

教师多媒体课件出示图1.

图1

如图，在锐角A的一边上任取一点B，自点B向另一边作垂线，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，自点B1向另一边作垂线，垂足为C1，得到另一个Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似．在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系？

教师读题后学生思考．

生：

锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的．

师：

对，在这些直角三角形中，当锐角A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与邻边的比值总是一个定值．

教师边操作边讲解图2.

图2

在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝＝.

2．坡度、坡角的概念．

教师边作图边讲解：

正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i＝，坡度通常写成h∶l的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角（或称倾斜角），记作α，于是有i＝＝tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗？

生：

能．坡度越大，坡角越大，坡面就越陡．

师：

很好！

三、举例应用，巩固新知

教师多媒体课件出示课本第114页例1.

师：

你能计算出∠A和∠B的正切吗？

学生思考后回答：

能．

师：

怎样计算？

教师找一生回答．

生：

tanA＝＝，tanB＝＝

四、继续探究，层层推进

教师多媒体课件出示图1（同前）．

师：

在这个图中，这些直角三角形都是相似的，当锐角A的大小确定后，不仅∠A的对边与邻边的比随之确定，还有一些量也是确定的，你知道还有哪些量也是确定的吗？

学生思考、交流．

教师提示：

还有哪两条边的比值也是确定的？

生甲：

∠A的对边与斜边的比值也是确定的．

生乙：

邻边与斜边的比值也是确定的．

师：

对．

教师多媒体课件出示图2（同前）．

师：

在这个直角三角形ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝＝.锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝＝.锐角A的正弦、余弦、正切称为锐角A的三角函数．我们介绍了正弦、余弦，下面我们通过具体的实例加深对这些函数的印象．

老师多媒体课件出示课本第115页例2.

师：

要求这三个三角函数的值，需要知道几条边的长？

生：

三条．

师：

现在已知了哪几条边的长？

生：

AC、BC两条边的长．

师：

那么我们需要求什么才能求出三个三角函数的值？

生：

还要求出AB的长．

师：

怎样求呢？

生：

用勾股定理．

师：

很好！

现在请同学们求出AB的长，并进一步求出∠A的各个三角函数的值．

学生做题．

师：

请同学们将你的步骤和结果与课本上的解答相比照，对不正确的地方加以纠正．

学生对照．

教师多媒体课件出示课本第115页例3.

师：

以前是在直角三角形中，用直角三角形的边长之比求三角函数的，现在没有直角三角形怎么办？

学生思考．

生：

作辅助线．

师：

怎样作？

生：

过点P向x轴作垂线，垂足为Q.这样在直角三角形OPQ中求角α的三角函数值就行了．

师：

很好！

作出这样的辅助线就方便了，就变成了我们以前遇到过的类型，同学们能求出吗？

生：

能．

师：

好！

现在请同学们画出辅助线，并求出角α的三角函数值．

学生作图，计算．

师：

请同学们将结果与课本上的解答比较，加以修正．

学生对照，修正．

五、课堂小结

师：

本节课你又学习了什么内容？

学生回答．

师：

你还有什么疑问？

学生提问，教师解答．

第2课时　30°，45°，60°角的三角函数值

教学目标

【知识与技能】

1．熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

【过程与方法】

1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．

【情感、态度与价值观】

经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．

重点难点

【重点】

30°、45°、60°角的三角函数值．

【难点】

与特殊角的三角函数值有关的计算．

教学进程

一、复习回顾，引入新课

教师多媒体课件出示问题：

为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：

（1）含30°和60°两个锐角的三角尺；

（2）皮尺．请你设计一个测量方案，测出一棵大树的高度．

学生讨论，交流想法．

生：

我们组设计的方案如下：

让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B处，这位同学拿起三角尺，使她的视线恰好和斜边重合且过树梢C点，30°角的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB的长度、BE的长度，因为DE＝AB，所以只需在Rt△CDA中求出CD的长度即可．

师：

在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AD＝BE，BE是已知的，设BE＝a米，则AD＝a米，如何求CD呢？

生：

含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：

30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即AC＝2CD，根据勾股定理，得（2CD）2＝CD2＋a2.解得，CD＝a.则树的高度即可求出．

师：

我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°角的正切值，在上图中，tan30°＝＝，则CD＝atan30°，岂不简单！

你能求出30°角的三个三角函数值吗？

二、探究新知

（1）探索30°、45°、60°角的三角函数值．

师：

观察一副三角尺，其中有几个锐角？

它们分别等于多少度？

生：

一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°.

师：

sin30°等于多少呢？

你是怎样得到的？

与同伴交流．

生：

sin30°＝.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a（如图所示），根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为a，所以sin30°＝＝.

师：

cos30°等于多少？

tan30°呢？

生：

cos30°＝＝.tan30°＝＝＝.

师：

我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少？

你是如何得到的？

生：

求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边．利用上图，很容易求得sin60°＝＝，cos60°＝＝，tan60°＝＝.

师生共同分析：

我们一起来求45°角的三角函数值．含45°角的直角三角形是等腰直角三角形．如图，设其中一条直角边为a，则另一条直角边也为a，斜边为a.由此可求得

sin45°＝＝＝，

cos45°＝＝＝，

tan45°＝＝1.

教师多媒体课件出示：

　　　三角函数

角度α　　　

sinα

cosα

tanα

30°

45°

1

60°

　　师：

这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需要熟记．另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值说出相应的锐角的大小．

为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点．先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？

生：

30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为、、，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大．

师：

再来看第二列的函数值，有何特点呢？

生：

第二列是30°、45°、60角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从小到大分别为、、，余弦值随角度的增大而减小．

师：

第三列呢？

生：

第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°＝1比较特殊．

师：

很好！

掌握了上述规律，记忆就方便多了．下面同桌之间可互相检查一下对30°、45°、60°角的三角函数值的记忆情况．相信同学们一定会做得很棒！

（2）进一步探究锐角的三角函数值．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

∵sinA＝，cosA＝，

sinB＝，cosB＝，

∴sinA＝cosB，cosA＝sinB.

∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠B＝90－∠A，

即sinA＝cosB＝cos（90°－∠A），

cosA＝sinB＝sin（90°－∠A）．

任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值．

三、例题讲解，巩固新知

【例1】　计算：

（1）sin30°＋cos45°；

（2）sin260°＋cos260°－tan45°.

分析：

本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角的三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin260°表示（sin60°）2，cos260°表示（cos60°）2；

教师找两生板演，其余同学在下面做，然后集体订正得到：

解：

（1）sin30°＋cos45°＝＋＝；

（2）sin260°＋cos260°－tan45°

＝（）2＋（）2－1

＝＋－1

＝0.

【例2】　在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sinA＝，求cosB的值．

解：

∵∠A＋∠B＝90°，

∴cosB＝cos（90°－∠A）

＝sinA＝.

四、课堂小结

本节课总结如下：

1．探索30°、45°、60°角的三角函数值．

sin30°＝，sin45°＝，sin60°＝；

cos30°＝，cos45°＝，cos60°＝；

tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝.

2．能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算．

3.能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小．

第3课时　一般锐角的三角函数值

教学目标

【知识与技能】

1．会使用计算器求锐角的三角函数值．

2．会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角．

【过程与方法】

在做题、计算的过程中，逐步熟悉计算器的使用