苏科版九年级数学上册 第一章 一元二次方程 典型例题解析教师用1.docx

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苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程典型例题解析教师用1

【培优提高训练】苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程典型例题解析

一、解答题

1.解方程：

（1）2x2+x﹣3=0（用公式法）

（2）（x﹣1）（x+3）=12．

【答案】解：

（1）2x2+x﹣3=0（用公式法）

∵a=2，b=1，c=﹣3

b2﹣4ac=25＞0

x=

∴x1=1,x2=-；

（2）化为一般形式，

得：

x2+2x﹣15=0

（x+5）•（x﹣3）=0

（x+5）=0或（x﹣3）=0

∴x1=﹣5，x2=3．

【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】第

（1）小题不能因式分解，所以用公式法求解；

第

（2）小题要化为方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0才可求解．

2.已知是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，求m的值.

【答案】解：

∵方程有两个不相等的实数根，

∴，

解得：

，

依题意得：

，

∴.

解得：

，

经检验：

是原方程的解，

∵，

∴.

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】先利用判别式求出方程有两个不相等的实数根时m的取值范围，然后再根据根与系数的关系求出m的取值范围，取舍即可

3.已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的两实数根分别为x1、x2，且满足|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，求k的值．

【答案】解：

（1）∵原方程有两个实数根，

∴△=（k+1）2﹣4（k2+1）=2k﹣3≥0

解得：

k≥；

（2）∵k≥，

∴x1+x2=k+1＞0．

又∵x1•x2=k2+1＞0，

∴x1＞0，x2＞0，

∴|x1|+|x2|=x1+x2=k+1．

∵|x1|+|x2|=4x1x2﹣5，

∴k+1=4（k2+1）﹣5，

∴k2﹣k﹣2=0，

∴k1=﹣1，k2=2，

又∵k≥，

∴k=2．

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】

（1）根据方程有两个实数根可得△=（k﹣1）2﹣4（k2+1）≥0，解不等式可得k的范围；

（2）由韦达定理可得x1+x2=k+1＞0、x1•x2=k2+1＞0，根据|x1|+|x2|=4x1x2﹣5可得k+1=4（k2+1）﹣5，解方程结合k的取值范围可得k的值．

4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=－3时，求方程的根.

【答案】解：

（1）∵当m=3时，

△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，

∴原方程无实数根；

（2）当m=-3时，

原方程变为x2+2x-3=0，

∵（x-1）（x+3）=0，

∴x-1=0，x+3=0，

∴x1=1，x2=-3．

【考点】解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法，根的判别式

【解析】【分析】

（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以判断出根的情况；

（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可．

5.已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．

（1）求a的值；   

（2）求出该一元二次方程的两实数根．

【答案】解：

（1）∵x1+x2=a，x1x2=2，

又x1x2=x1+x2﹣2，

∴a﹣2=2，a=4；

（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，

∴（x﹣2）2=2，

解得：

x﹣2= 或x﹣2=﹣，

∴x1=2+，x2=2﹣．

【考点】一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】

（1）根据根与系数的关系的关系x1+x2=a，x1x2=2，如何根据x1x2=x1+x2﹣2得到关于a的方程，解方程即可得到结论；

（2）解方程即可得到结果．

6.若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：

x1+x2=-，x1x2=，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根．

（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值．

（2）已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

【答案】解：

（1）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两个实数根，

∴x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∵（x1﹣1）（x2﹣1）=28，即x1x2﹣（x1+x2）+1=28，

∴m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：

m=﹣4或m=6，

当m=﹣4时原方程无解，

∴m=6；

（2）当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7，

将x=7代入原方程得：

49﹣14（m+1）+m2+5=0，

解得：

m=10或m=4，

当m=10时，方程为x2﹣22x+105=0，解得：

x=7或x=15，

∵7+7＜15，不能组成三角形；

当m=4时，方程为x2﹣10x+21=0，解得：

x=3或x=7，

此时三角形的周长为：

7+7+3=17．

【考点】一元二次方程的根与系数的关系，三角形三边关系

【解析】【分析】

（1）根据韦达定理得x1+x2、x1x2，再代入到（x1﹣1）（x2﹣1）=28即x1x2﹣（x1+x2）+1=28中解方程可得m的值，两个值根据方程有解考虑取舍；

（2）将x=7代入方程求出m的值，将m的两个值分别代回原方程，分别解每一个方程求出x的值，根据三角形三边关系取舍，最后三边相加可得周长．

7.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0．

（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为x1、x2，且满足x12+x22=31+|x1x2|，求实数m的值．

【答案】解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+2=0有实数根，

∴△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，

∴m≥﹣；

（2）根据题意得x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，

∵x12+x22=31+|x1x2|，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=31+|x1x2|，

即（2m+3）2﹣2（m2+2）=31+m2+2，

解得m=2，m=﹣14（舍去），

∴m=2．

【考点】根的判别式，根与系数的关系

【解析】【分析】

（1）根据根的判别式的意义得到△≥0，即（2m+3）2﹣4（m2+2）≥0，解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，再变形已知条件得到（x1+x2）2﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果．

8.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：

在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？

售出玩具多少件？

【答案】解：

设该玩具的销售单价应定为元

根据题意，得 

解得

当时，件，当时，件.

答：

该玩具的销售单价定为元时，售出500件；或售价定为元时售出200件.

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，购进时的单价是30元，销售单价定为x元时，一件的利润是（x−30），销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得到销售的数量是600-10（x-40），得到等式，求出x的值，该玩具销售单价和数量.

9.已知a、b、c为三角形三个边，

+bx（x-1）=

-2b是关于x的一元二次方程吗？

【答案】是

【考点】一元二次方程的定义，三角形三边关系

【解析】解答：

化简

+bx（x-1）=

-2b，得（a+b-c）

-bx+2b=0，∵a、b、c为三角形的三条边，

∴a+b＞c，即a+b-c＞0，

∴

+bx（x-1）=

-2b是关于x的一元二次方程．

分析：

首先将

+bx（x-1）=

-2b化简整理成（a+b-c）

-bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．

10.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB（且AB＞AD）．

（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB；

（2）在

（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？

【答案】

（1）解：

∵AD+BC-2+AB-2=40，AD=BC=x，∴AB=-2x+44；

（2）解：

由题意得，（-2x+44）•x=192，即2x2-44x+192=0，

解得x1=6，x2=16，

∵x2=16＞（舍去），

∴AD=6，

∴AB=-2×6+44=32．

答：

AD长为6米，AB长为32米．

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】

（1）根据图形可得AD+BC-2+AB-2=40，利用已知AD=BC=x，可得AB与x的代数式；

（2）由

（1）中的代数式和矩形场地的面积为192可得关于x的一元二次方程，解方程判断x的值是否满足条件即可.

11.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元。

为了迎接“六一”儿童节和扩大销售，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，并且尽快减少库存，那么每件童装应降价多少元？

【答案】解：

设每件童装应降价x元，由题意得：

（40-x）（20+2x）=1200，

解得：

x1=20，x2=10，

当x=20时，20+2x=60（件），

当x=10时，20+2x=40（件），

 ∵60>40，

 ∴x2=10舍去.

答：

每件童装应降价20元.

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】设每件童装应降价x元，由题意得：

（40-x）（20+2x）=1200，解一元二次方程，再由尽快减少库存得到答案.

12.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1cm，AB=3cm，BC=5cm，动点P从点B出发以1cm/s的速度沿BC的方向运动，动点Q从点C出发以2cm/s的速度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动的时间为ts（t＞0）

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：

2两部分？

【答案】

（1）解：

如图1，作DE⊥BC于E，则四边形ADEB是矩形．

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE2+EC2=DC2，

∴DC==5厘米；

（2）解：

∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴=，即=，

∴QH=t，

∴S△PQC=PC•QH=（5﹣t）•t=﹣t2+3t，

S四边形ABCD=（AD+BC）•AB=（1+5）×3=9，

分两种情况讨论：

①当S△PQC：

S四边形ABCD=1：

3时，

﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+5=0，

解得t1=，t2=（舍去）；

②S△PQC：

S四边形ABCD=2：

3时，

﹣t2+3t=×9，即t2﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程无解，

∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：

2两部分．

【考点】一元二次方程的应用，勾股定理的应用，相似三角形的应用

【解析】【分析】

（1）作DE⊥BC于E，根据勾股定理即可求解；

（2）线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：

2两部分，分两种情况进行求解．

二、综合题

13.解下列方程：

（1）（2x-1）2=4

（2）（用配方法）

（3）x2+2x=4．

（4）

【答案】

（1）解：

∵（2x-1）2=4，

∴2x-1=2或2x-1=-2，

∴x1=，x2=-，

（2）解：

∵x2-4x+1=0，

∴x2-4x+4=-1+4，

∴（x-2）2=3，

∴x1=，x2=，

（3）解：

∵x2+2x=4，

∴x2+2x+1=4+1，

∴（x+1）2=5，

∴x1=-1+，x2=-1-，

（4）解：

∵2（x−3）2=x（x−3），

∴（x-3）【2（x-3）-x】=0，

∴（x-3）（x-6）=0，

∴x1=3，x2=6，

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法，解一元二次方程﹣配方法，解一元二次方程﹣公式法，解一元二次方程﹣因式分解法

【解析】【分析】

（1）根据一元二次方程的解法——直接开平方法解方程即可.

（2）根据一元二次方程的解法——配方法和直接开平方法解方程即可.

（3）根据一元二次方程的解法——配方法和直接开平方法解方程即可.

（4）根据一元二次方程的解法——因式分解法解方程即可.

14.如图所示，在长和宽分别是

、

的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为

的正方形．

（1）用

，

，

表示纸片剩余部分的面积；

（2）当

＝6，

＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．

【答案】

（1）解：

纸片剩余部分的面积为：

，

（2）解：

当a＝6，b＝4时，根据题意有：

，∴

，

∴

即

，

∴剪去的正方形的边长

．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法

【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．

15.已知关于x的一元二次方程x2+2x+a=0，

（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

【答案】

（1）解：

将代入方程

得，

解得:

方程为设另一根为

则

（2）解：

∵方程有两个不等的实根，

即

【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的根与系数的关系

【解析】【分析】

（1）将x=1代入方程求出a的值，再将a的值代入原方程，解方程就可求出方程的另一个根。

（2）利用方程有两个不相等的实数根即b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，求解即可。

16.商场购进某种新商品的每件进价为120元，在试销期间发现，当每件商品的售价为130元时，每天可销售70件；当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此规律，请回答下列问题．

（1）当每件商品的售价为140元时，每天可销售________件商品，商场每天可盈利________元；

（2）设销售价定为x元时，商品每天可销售________件，每件盈利________元；

（3）在销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少时，商场每天盈利达到1500元．

【答案】

（1）60；120

（2）200﹣x；x﹣120

（3）解：

根据题意得：

（200﹣x）（x﹣120）=1500，整理得：

x2﹣320x+25500=0，

解得：

x1=150，x2=170．

答：

每件商品的销售价定为150元或170元时，商场每天盈利达到1500元

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【解答】解：

（1.）70﹣（140﹣130）=60（件），（140﹣120）×60=1200（元）．

故答案为：

60；1200．

（2.）设销售价定为x元时（x≥130），商品每天可销售量为70﹣（x﹣130）=200﹣x（件），

每件的利润为x﹣120（元）．

故答案为：

200﹣x；x﹣120．

【分析】

（1）根据“当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可算出售价为140元时的日销售量，再根据总盈利=单件盈利×销售数量即可求出商场每天的盈利；

（2）根据“当每件商品的售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件”，即可列出售价为x元时的日销售量，再根据盈利=售价﹣进价即可求出单件盈利；（3）根据总盈利=单件盈利×销售数量结合商场每天盈利达到1500元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．

17.某服装批发商计划以每件500元的单价对外批发销售某种品牌的羽绒服，由于临近换季，为了尽快清仓，回收资金，对价格经过两次下调后，以每件320元的单价对外销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）请按此调幅，预测第三次下调后的销售单价是多少元？

【答案】

（1）解：

设平均每次下调的百分率为x．

由题意，得500（1﹣x）2=320．

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意），

符合题目要求的是x1=0.2=20%．

答：

平均每次下调的百分率是20%．

（2）解：

预计第三次下调后的销售单价为320（1﹣20%）=320×0.8=256，

答：

平均每次下调的百分比为20%，预计第三次下调后的销售单价为256元

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】

（1）设平均每次下调的百分率为x．这是一道平均降低率的问题，利用公式a（1-x）n=p,（其中a是降低开始的量，n是降低次数，p是降低结束达到的量）列出方程求解检验即可；

（2）第三次下调就是在320的基础上下调，根据320（1﹣20%）计算即可，

18.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【答案】

（1）解：

（1）△ABC是等腰三角形；

理由：

∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：

∵方程有两个相等的实数根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）解：

当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：

x1=0，x2=﹣1

【考点】一元二次方程的应用

【解析】【分析】

（1）根据x=﹣1是一元二次方程的根，代入得到a=b，即△ABC是等腰三角形；

（2）因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，得到a2=b2+c2，由勾股定理的逆定理，得到△ABC是直角三角形；（3）由△ABC是等边三角形，得到a=b=c，代入方程，求出x的值即可.

19.随着某市养老机构（养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等）建设稳步推进，拥有的养老床位不断增加．

（1）该市的养老床位数从2019年底的2万个增长到2019年底的2.88万个，求该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率；

（2）若该市某社区今年准备新建一养老中心，其中规划建造三类养老专用房间共100间，这三类养老专用房间分别为单人间（1个养老床位），双人间（2个养老床位），三人间（3个养老床位），因实际需要，单人间房间数在10至30之间（包括10和30），且双人间的房间数是单人间的2倍，设规划建造单人间的房间数为t．

①若该养老中心建成后可提供养老床位200个，求t的值；

②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个？

最少提供养老床位多少个？

【答案】

（1）解：

设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程：

2（1+x）2=2.88，

解得：

x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）

（2）解：

①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，

由题意得：

t+4t+3（100﹣3t）=200，

解得：

t=25．

答：

t的值是25．

②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，

由题意得：

y=t+4t+3（100﹣3t）=﹣4t+300（10≤t≤30），

∵k=﹣4＜0，

∴y随t的增大而减小．

当t=10时，y的最大值为300﹣4×10=260（个），

当t=30时，y的最小值为300﹣4×30=180（个）

【考点】一元二次方程的应用，一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用-和差倍分问题

【解析】【分析】

（1）设该市这两年（从2019年度到2019年底）拥有的养老床位数的平均年增长率为x，根据“2019年的床位数=2019年的床位数×（1+增长率）的平方”可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论；

（2）①设规划建造单人间的房间数为t（10≤t≤30），则建造双人间的房间数为2t，三人间的房间数为100﹣3t，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出关于t的一元一次方程，解方程即可得出结论；②设该养老中心建成后能提供养老床位y个，根据“可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数”即可得出y关于t的函数关系式，根据一次函数的性质结合t的取值范围，即可得出结论．

20.已知：

如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；过点P作直线PF∥AD，PF交CD于点F，过点F作EF⊥BD，且与AD、BD分别交于点E、Q；连接PE，设点P的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．

解答下列问题：

（1）填空：

AB=________ cm；

（2）当t为何值时，PE∥BD；

（3）设四边形APFE的面积为y（cm2）

①求y与t之间的函数关系式；

②若用S表示图形的面积，则是否存在某一时刻t，使得S四边形APFE=S菱形ABCD？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）10

（2）解：

∵在菱形ABCD中，∴AB∥CD，∠ADB=∠CDB，

又∵PF∥AD，

∴四边形APFD为平行四边形，

∴DF=AP=t，

又∵EF⊥BD于Q，且∠ADB=∠CDB，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF=t，

∴AE=10﹣t，

当PE∥BD时，△APE∽△ABD，

∴，

∴，

∴t=5，

∴当t=5时，PE∥BD

（3）蛸：

①∵∠FDQ=∠CDO，∠FQD=∠COD=90°，

∴△DFQ∽△DCO．

∴，

即，

∴． 

∴，

同理，，

如图，过点C作CG⊥AB于点G，

∵S菱形ABCD=AB•CG=AC•BD，

即10•CG=×1